高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第12章算法初步統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例第2節(jié)隨機(jī)抽樣

第二節(jié)隨機(jī)抽樣考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)抽樣方法三年未單獨(dú)考查命題分析本節(jié)主要考查分層抽樣、系統(tǒng)抽樣，一般以選擇題填空題形式出現(xiàn).(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P162)1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)抽取方式：逐個(gè)不放回抽取；(2)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.2．分層抽樣(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．3．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；(2)確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．提醒：1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個(gè)抽取，是不放回抽樣，且每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等．(2)分層抽樣中，易忽視每層抽取的個(gè)體的比例是相同的，即eq\f(樣本容量n,總體個(gè)數(shù)N).2．三種抽樣方法的比較類別各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍共同點(diǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取最基本的抽樣方法總體中的個(gè)體數(shù)較少抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，某一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次抽到的可能性最大．()(2)在100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．()(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個(gè)數(shù)較多且分布均衡的總體．()(4)要從1002個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個(gè)容量為20的樣本，需要剔除2個(gè)學(xué)生，這樣對(duì)被剔除者不公平．()(5)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．在這個(gè)問題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體 B．個(gè)體C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個(gè)樣本解析：選A由題目條件知，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時(shí)間是個(gè)體；從5000名居民某天的閱讀時(shí)間中抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是從總體中抽取的一個(gè)樣本，樣本容量是200.3．某科考隊(duì)有男隊(duì)員56人，女隊(duì)員42人，用分層抽樣的方法從全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為14的樣本，則男、女隊(duì)員各抽取的人數(shù)分別為()A．6,8 B．8,6C．9,5 D．5,9解析：選B男隊(duì)員人數(shù)eq\f(14,98)×56＝8，女隊(duì)員人數(shù)eq\f(14,98)×42＝6.4．(教材習(xí)題改編)某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的人有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為()A．333433 B．255619C．204030 D．305020解析：選B35歲以下：125×eq\f(100,500)＝25；35～49歲：280×eq\f(100,500)＝56；50歲以上：95×eq\f(100,500)＝19.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P163)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣[明技法]抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況．(2)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．[提能力]【典例】(1)下面的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)解析：選DA、B是系統(tǒng)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；C是分層抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；D是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)下列關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的說法，正確的是()①它要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；②它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取；③它是一種不放回抽樣；④它是一種等可能性抽樣，每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，不僅各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等，而且在整個(gè)抽樣過程中，各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性．A．①② B．③④C．①②③ D．①②③④解析：選D由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征可知：①②③④都正確．[刷好題]1．下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)解析：選B因?yàn)锳，D中總體的個(gè)體數(shù)較大，不適合用抽簽法；C中甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，因此未達(dá)到攪拌均勻的條件，也不適合用抽簽法；B中總體容量和樣本容量都較小，且同廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可視為攪拌均勻了．2．(2018·新余期末)某班對(duì)八校聯(lián)考成績(jī)進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取容量為7的樣本時(shí)，先將70個(gè)同學(xué)按01,02,03，…，70進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個(gè)個(gè)體的編號(hào)是()(注：下面為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行)6301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．07 B．44C．15 D．51解析：選B從第9行第9列的數(shù)開始，按2位數(shù)向右讀，大于70和重復(fù)的去掉．選出的數(shù)依次為29,64,56,07,52,42,44，故第7個(gè)個(gè)體的編號(hào)是44.故選B．系統(tǒng)抽樣[明技法]解決系統(tǒng)抽樣問題的2個(gè)關(guān)鍵步驟(1)分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本．(2)起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了．[提能力]【典例】(1)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：min)的莖葉圖如圖所示．若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B由系統(tǒng)抽樣可知，35人分為7組，每組5人，第1組成績(jī)均大于151，最后兩組成績(jī)均小于139，所以成績(jī)?cè)赱139,151]上的有4人．(2)“五一”國際勞動(dòng)節(jié)期間，某超市舉辦了一次有獎(jiǎng)購物促銷活動(dòng)．期間準(zhǔn)備了一些有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)的號(hào)碼(分段為001～999)，在公證部門的監(jiān)督下按照隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行抽取，確定后兩位為88的號(hào)碼為本次的中獎(jiǎng)號(hào)碼．則這些中獎(jiǎng)號(hào)碼為：______________.解析：根據(jù)該問題提供的數(shù)據(jù)信息，可以發(fā)現(xiàn)本次活動(dòng)的中獎(jiǎng)號(hào)碼是每隔一定的距離出現(xiàn)的，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的有關(guān)概念，可知該問題中是運(yùn)用系統(tǒng)抽樣法確定中獎(jiǎng)號(hào)碼的，其間隔數(shù)為100.所以，中獎(jiǎng)號(hào)碼依次為088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988[刷好題]1．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14解析：選B由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一個(gè)，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12.2．將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生按001,002，…，600進(jìn)行編號(hào)．采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分別住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在第Ⅰ營(yíng)區(qū)，從301到495在第Ⅱ營(yíng)區(qū)，從496到600在第Ⅲ營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9解析：選B由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學(xué)生按編號(hào)依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號(hào)碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17；第Ⅲ營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)為50－25－17＝8.分層抽樣[析考情]分層抽樣是歷年高考的重要考點(diǎn)之一，高考中常把分層抽樣、頻率分布、概率綜合起來進(jìn)行考查，反映了當(dāng)前高考的命題方向．這類試題難度不大，但考查的知識(shí)面較為寬廣，在解題中要注意準(zhǔn)確使用所學(xué)知識(shí)，不然在一個(gè)點(diǎn)上的錯(cuò)誤就會(huì)導(dǎo)致整體失誤．[提能力]命題點(diǎn)1：與頻率分布相結(jié)合問題【典例1】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如圖所示的部分頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問題．(1)求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率．解：(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估計(jì)平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，得[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)，[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，分別記為m，n；在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，分別記為a，b，c，d.設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，所有基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15個(gè)，其中事件A包含9個(gè)．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).命題點(diǎn)2：與概率相結(jié)合問題【典例2】某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20至40歲401858大于40歲152742總計(jì)5545100(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．解：(1)因?yàn)樵?0至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，在大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目．所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．(2)應(yīng)抽取大于40歲的觀眾人數(shù)為eq\f(27,45)×5＝eq\f(3,5)×5＝3(名)．(3)用分層抽樣方法抽取的5名觀眾中，20至40歲的有2名(記為Y1，Y2)，大于40歲的有3名(記為A1，A2，A3).5名觀眾中任取2名，共有10種不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A設(shè)A表示隨機(jī)事件“5名觀眾中任取2名，恰有1名觀眾年齡為20至40歲”，則A中的基本事件有6種：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2故所求概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[悟技法]進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的2個(gè)關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．[刷好題]某市化工廠三個(gè)車間共有工