高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第12章算法初步統(tǒng)計統(tǒng)計案例第2節(jié)隨機抽樣

第二節(jié)隨機抽樣考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)抽樣方法三年未單獨考查命題分析本節(jié)主要考查分層抽樣、系統(tǒng)抽樣，一般以選擇題填空題形式出現(xiàn).(對應(yīng)學(xué)生用書P162)1．簡單隨機抽樣(1)抽取方式：逐個不放回抽??；(2)每個個體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個個體編號；(2)確定分段間隔k，對編號進行分段.當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l＋k，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．提醒：1．辨明兩個易誤點(1)簡單隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取，是不放回抽樣，且每個個體被抽到的概率相等．(2)分層抽樣中，易忽視每層抽取的個體的比例是相同的，即eq\f(樣本容量n,總體個數(shù)N).2．三種抽樣方法的比較類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次抽到的可能性最大．()(2)在100件玩具中隨機拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡單隨機抽樣．()(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)較多且分布均衡的總體．()(4)要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平．()(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體 B．個體C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本解析：選A由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.3．某科考隊有男隊員56人，女隊員42人，用分層抽樣的方法從全體隊員中抽出一個容量為14的樣本，則男、女隊員各抽取的人數(shù)分別為()A．6,8 B．8,6C．9,5 D．5,9解析：選B男隊員人數(shù)eq\f(14,98)×56＝8，女隊員人數(shù)eq\f(14,98)×42＝6.4．(教材習(xí)題改編)某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的人有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工則應(yīng)在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為()A．333433 B．255619C．204030 D．305020解析：選B35歲以下：125×eq\f(100,500)＝25；35～49歲：280×eq\f(100,500)＝56；50歲以上：95×eq\f(100,500)＝19.(對應(yīng)學(xué)生用書P163)簡單隨機抽樣[明技法]抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況．(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．[提能力]【典例】(1)下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗解析：選DA、B是系統(tǒng)抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C是分層抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣．(2)下列關(guān)于簡單隨機抽樣的說法，正確的是()①它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限；②它是從總體中逐個地進行抽?。虎鬯且环N不放回抽樣；④它是一種等可能性抽樣，每次從總體中抽取一個個體時，不僅各個個體被抽取的可能性相等，而且在整個抽樣過程中，各個個體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性．A．①② B．③④C．①②③ D．①②③④解析：選D由簡單隨機抽樣的特征可知：①②③④都正確．[刷好題]1．下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的是()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗解析：選B因為A，D中總體的個體數(shù)較大，不適合用抽簽法；C中甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，因此未達到攪拌均勻的條件，也不適合用抽簽法；B中總體容量和樣本容量都較小，且同廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可視為攪拌均勻了．2．(2018·新余期末)某班對八校聯(lián)考成績進行分析，利用隨機數(shù)表法抽取容量為7的樣本時，先將70個同學(xué)按01,02,03，…，70進行編號，然后從隨機數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個個體的編號是()(注：下面為隨機數(shù)表的第8行和第9行)6301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．07 B．44C．15 D．51解析：選B從第9行第9列的數(shù)開始，按2位數(shù)向右讀，大于70和重復(fù)的去掉．選出的數(shù)依次為29,64,56,07,52,42,44，故第7個個體的編號是44.故選B．系統(tǒng)抽樣[明技法]解決系統(tǒng)抽樣問題的2個關(guān)鍵步驟(1)分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個樣本．(2)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了．[提能力]【典例】(1)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：min)的莖葉圖如圖所示．若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B由系統(tǒng)抽樣可知，35人分為7組，每組5人，第1組成績均大于151，最后兩組成績均小于139，所以成績在[139,151]上的有4人．(2)“五一”國際勞動節(jié)期間，某超市舉辦了一次有獎購物促銷活動．期間準(zhǔn)備了一些有機會中獎的號碼(分段為001～999)，在公證部門的監(jiān)督下按照隨機抽樣方法進行抽取，確定后兩位為88的號碼為本次的中獎號碼．則這些中獎號碼為：______________.解析：根據(jù)該問題提供的數(shù)據(jù)信息，可以發(fā)現(xiàn)本次活動的中獎號碼是每隔一定的距離出現(xiàn)的，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的有關(guān)概念，可知該問題中是運用系統(tǒng)抽樣法確定中獎號碼的，其間隔數(shù)為100.所以，中獎號碼依次為088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.答案：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988[刷好題]1．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14解析：選B由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一個，因為包含整數(shù)個組，所以抽取個體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12.2．將參加夏令營的600名學(xué)生按001,002，…，600進行編號．采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分別住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9解析：選B由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17；第Ⅲ營區(qū)被抽中的人數(shù)為50－25－17＝8.分層抽樣[析考情]分層抽樣是歷年高考的重要考點之一，高考中常把分層抽樣、頻率分布、概率綜合起來進行考查，反映了當(dāng)前高考的命題方向．這類試題難度不大，但考查的知識面較為寬廣，在解題中要注意準(zhǔn)確使用所學(xué)知識，不然在一個點上的錯誤就會導(dǎo)致整體失誤．[提能力]命題點1：與頻率分布相結(jié)合問題【典例1】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如圖所示的部分頻率分布直方圖．觀察圖中的信息，回答下列問題．(1)求分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此估計本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段[120,130)內(nèi)的概率．解：(1)分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估計平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，得[110,120)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)，[120,130)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110,120)分數(shù)段內(nèi)抽取2人，分別記為m，n；在[120,130)分數(shù)段內(nèi)抽取4人，分別記為a，b，c，d.設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，所有基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15個，其中事件A包含9個．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).命題點2：與概率相結(jié)合問題【典例2】某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．解：(1)因為在20至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，在大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目．所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．(2)應(yīng)抽取大于40歲的觀眾人數(shù)為eq\f(27,45)×5＝eq\f(3,5)×5＝3(名)．(3)用分層抽樣方法抽取的5名觀眾中，20至40歲的有2名(記為Y1，Y2)，大于40歲的有3名(記為A1，A2，A3).5名觀眾中任取2名，共有10種不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A設(shè)A表示隨機事件“5名觀眾中任取2名，恰有1名觀眾年齡為20至40歲”，則A中的基本事件有6種：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2故所求概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[悟技法]進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常用到的2個關(guān)系(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．[刷好題]某市化工廠三個車間共有工