小升初典型奧數(shù)：容斥原理（講義）-2023-2024學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教版

容斥原理容斥原理【知識(shí)精講+典型例題+高頻真題+答案解析】編者的話：同學(xué)們，恭喜你已經(jīng)開(kāi)啟了奧數(shù)思維拓展的求知之旅，相信你已經(jīng)正確規(guī)劃了自己的學(xué)習(xí)任務(wù)，本套資料為小升初思維拓展、分班考、擇?？级O(shè)計(jì)，針對(duì)小升初的高頻知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面精講，易錯(cuò)點(diǎn)逐個(gè)分解，強(qiáng)化練習(xí)高頻易錯(cuò)真題，答案解析非常通俗易懂，可助你輕松掌握、理解、運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題！編者的話：同學(xué)們，恭喜你已經(jīng)開(kāi)啟了奧數(shù)思維拓展的求知之旅，相信你已經(jīng)正確規(guī)劃了自己的學(xué)習(xí)任務(wù)，本套資料為小升初思維拓展、分班考、擇校考而設(shè)計(jì)，針對(duì)小升初的高頻知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面精講，易錯(cuò)點(diǎn)逐個(gè)分解，強(qiáng)化練習(xí)高頻易錯(cuò)真題，答案解析非常通俗易懂，可助你輕松掌握、理解、運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題！目錄導(dǎo)航資料說(shuō)明第一部分：知識(shí)精講：把握知識(shí)要點(diǎn)，掌握方法技巧，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維。第二部分：典型例題：選題典型、高頻易錯(cuò)、考試母題，具有理解一題，掌握一類的優(yōu)勢(shì)。第三部分：高頻真題：精選近兩年統(tǒng)考真題，助您學(xué)習(xí)有方向，做好題，達(dá)到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重點(diǎn)、難點(diǎn)題精細(xì)化解析，猶如名師講解，可以輕松理解。第一部分第一部分知識(shí)精講知識(shí)清單方法技巧知識(shí)清單方法技巧在日常生活中，人們常常需要統(tǒng)計(jì)一些數(shù)量，在統(tǒng)計(jì)的過(guò)程中，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)有些數(shù)量重復(fù)出現(xiàn)，為了使重復(fù)出現(xiàn)的部分不致被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，既先不考慮重復(fù)的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排除出去，使計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)．這種計(jì)數(shù)方法稱為包含排除法，也叫做容斥原理或重疊問(wèn)題．一般方法：在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考．容斥原理1：兩量重疊問(wèn)題A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)容斥原理2：三量重疊問(wèn)題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)﹣既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù)．第二部分第二部分典型例題例題1：小明家有爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、妹妹和姑姑．其中喜歡吃草莓的有爺爺和媽媽，喜歡吃香蕉的有爸爸、妹妹、媽媽和姑姑．喜歡吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．（1）小明家喜歡吃草莓或香蕉的共有幾人？（2）小明家喜歡吃草莓或西瓜的共有幾人？【答案】5人；5人．【分析】（1）其中喜歡吃草莓的有爺爺和媽媽，有2人；喜歡吃香蕉的有爸爸、妹妹、媽媽和姑姑，有4人．求小明家喜歡吃草莓或香蕉的共有幾人，把這兩部分的人數(shù)相加，再減去媽媽1人即可．（2）其中喜歡吃草莓的有爺爺和媽媽，有2人；喜歡吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶，有3人；把這兩部分的人數(shù)相加即可．【解答】解：（1）2+4﹣1＝6﹣1＝5（人）答：小明家喜歡吃草莓或香蕉的共有5人．（2）2+3＝5（人）答：小明家喜歡吃草莓或西瓜的共有5人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B．例題2：勞動(dòng)教育是新時(shí)代黨對(duì)教育的新要求，是大中小學(xué)生必須參與的教育活動(dòng)，光明小學(xué)組織“農(nóng)田基地”勞動(dòng)，40人參加“農(nóng)田除雜草”勞動(dòng)，25人參加“農(nóng)田施肥”勞動(dòng)，其中兩項(xiàng)都參加的有10人。參加這兩項(xiàng)勞動(dòng)的學(xué)生一共有多少人？【答案】55人?！痉治觥坑脜⒓印稗r(nóng)田除雜草”勞動(dòng)的40人加參加“農(nóng)田施肥”勞動(dòng)的25人的和，減去兩項(xiàng)都參加的10人即得總?cè)藬?shù)?！窘獯稹拷猓?0+25﹣10＝65﹣10＝55（人）答：參加這兩項(xiàng)勞動(dòng)的學(xué)生一共有55人。【點(diǎn)評(píng)】解答依據(jù)是：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素的個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。例題3：三（1）班有50人，每人至少參加一個(gè)小組，參加美術(shù)小組的有29人，參加書(shū)法小組的有27人，兩個(gè)小組都參加的有多少人？【答案】6人?！痉治觥坑脜⒓用佬g(shù)小組的人數(shù)加上參加書(shū)法小組的人數(shù)，求出兩者的總?cè)藬?shù)，這里面把兩個(gè)小組都參加的人數(shù)多算了一次，所以再減去50，即可求出兩個(gè)小組都參加的人數(shù)。【解答】解：29+27﹣50＝56﹣50＝6（人）答：兩個(gè)小組都參加的有6人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。例題4：參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有22人，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有26人，兩個(gè)都參加的有10人，都沒(méi)參加的有2人，這個(gè)班級(jí)共有學(xué)生多少人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，有關(guān)系式：全班人數(shù)＝參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)+參加語(yǔ)文競(jìng)賽的人數(shù)﹣兩個(gè)都參加的人數(shù)﹣兩個(gè)都沒(méi)參加的人數(shù)．把數(shù)代入即可求出全班人數(shù)．【解答】解：22+26﹣10+2＝48﹣10+2＝38+2＝40（人）答：這個(gè)班級(jí)共有學(xué)生40人．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用容斥問(wèn)題原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用．第三部分第三部分高頻真題1．五年級(jí)一班共48人，一次數(shù)學(xué)測(cè)試中做對(duì)第一題的有36人，做對(duì)第二題的有30人，每人至少做對(duì)一道題。兩道題都做對(duì)的有多少人？2．參加某項(xiàng)活動(dòng)的人員中有47人會(huì)說(shuō)英語(yǔ)，有38人會(huì)說(shuō)法語(yǔ)，兩種都會(huì)的有22人，另外15人只會(huì)講漢語(yǔ)．一共有多少人參加了活動(dòng)？3．三年級(jí)一班有45人，參加體育課外小組的有27人，參加音樂(lè)課外小組的有31人，每人至少參加一個(gè)課外小組，三年級(jí)一班兩個(gè)課外小組都參加的有多少人？4．四年級(jí)一班同學(xué)參加跳繩和踢毽子比賽，每人至少參加一個(gè)項(xiàng)目，有30人參加跳繩，有26人參加踢毽子，兩項(xiàng)都參加的有13人，四年級(jí)一班一共有多少人？5．學(xué)校舉辦“我的中國(guó)夢(mèng)”書(shū)畫(huà)作品比賽，共有210幅作品分別獲得一、二等獎(jiǎng)和優(yōu)秀獎(jiǎng)，其中優(yōu)秀獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的作品共148幅，獲得一二等獎(jiǎng)的作品共140幅，獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和優(yōu)秀獎(jiǎng)的作品各有多少幅？6．某小學(xué)有115人參加了音樂(lè)、美術(shù)興趣小組，其中76人參加音樂(lè)小組，54人參加美術(shù)小組，同時(shí)參加這兩個(gè)小組的有多少人？7．同學(xué)們收集圖片．張明、李紅、蔡正明、王丹、熊威、高偉、梅芳7個(gè)人收集了名山圖片，吳鳳、李紅、王丹、戴月紅、高偉這5人收集了河流圖片，吳心怡、張冬、李可這3人收集了奧運(yùn)圖片．（1）收集名山圖片和奧運(yùn)圖片的共有多少人？（2）收集名山圖片和河流圖片的共有多少人？8．紅火小學(xué)三年有210名學(xué)生，四年有170名學(xué)生。大家都扎了疫苗，兩個(gè)年級(jí)共有多少名學(xué)生扎了疫苗？9．三（1）班同學(xué)每人都至少訂一種雜志，有32人訂了《數(shù)學(xué)王國(guó)》，有26人訂了《作文天地》，其中有12人兩種雜志都訂了，三（1）班一共有多少人？10．2021年是紅軍長(zhǎng)征勝利85周年。一個(gè)44人的國(guó)際旅游團(tuán)到中央紅軍長(zhǎng)征勝利紀(jì)念園參觀，其中會(huì)講英語(yǔ)的有37人，會(huì)講漢語(yǔ)的有25人，每人至少會(huì)講英語(yǔ)和漢語(yǔ)中的一種，英語(yǔ)和漢語(yǔ)都會(huì)講的有多少人？11．三（5）班45名同學(xué)參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，答對(duì)第一題的有23人，答對(duì)第二題的有18人，兩道題都答對(duì)的有17人，兩道題都沒(méi)答對(duì)的有幾人？12．實(shí)驗(yàn)小學(xué)組織了一次只有2次射門(mén)機(jī)會(huì)的足球比賽，其中第一次射門(mén)成功的86人，第二次射門(mén)成功的53人，兩次都沒(méi)有射進(jìn)的12人，兩次都射進(jìn)的有31人。參加射門(mén)比賽的共有多少人？13．三（1）班每人至少訂一份報(bào)紙，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有36人，訂《語(yǔ)文報(bào)》的有28人，兩種都訂的有12人，三（1）班一共有多少人？14．同學(xué)們要到動(dòng)物園去參觀老虎館和熊貓館．參觀老虎館的有70人，參觀熊貓館的有65人，兩個(gè)館都參加的有40人．去動(dòng)物園的一共有多少人？15．學(xué)校成立“雙滑社團(tuán)”，既會(huì)輪滑又會(huì)滑雪的學(xué)生才有資格報(bào)名。全校有500名學(xué)生，只會(huì)輪滑的有180人，只會(huì)滑雪的有200人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有50人。多少人有報(bào)名資格？16．學(xué)校成立了科技和書(shū)法兩個(gè)興趣小組。四（4）班共有40名同學(xué)，每人至少參加一個(gè)興趣小組，有24人參加科技小組，17人參加書(shū)法小組。有多少人參加了兩個(gè)興趣小組？17．三（1）班同學(xué)訂閱《語(yǔ)文報(bào)》的有28人，訂閱《數(shù)學(xué)報(bào)》的有27人，這兩種報(bào)都訂閱了的有15人，如果每人至少訂閱了一種報(bào)刊，這個(gè)班一共有多少個(gè)同學(xué)？18．三（1）班有45人，其中19人喜歡吃蘋(píng)果，16人喜歡吃橘子，8人既喜歡吃蘋(píng)果又喜歡吃橘子。喜歡吃蘋(píng)果和橘子的有多少人？這兩種水果都不喜歡吃的有多少人？19．三（1）班有48人，參加體育隊(duì)的有36人，參加舞蹈隊(duì)的有27人，每人至少參加一個(gè)隊(duì)，那么這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有多少人？20．在三（1）班思維課堂上，老師出了兩道考察思維能力的題。做對(duì)第一道題的有28人，做對(duì)第二道題的有30人，（每人至少做對(duì)一道題）。兩道題都做對(duì)的有多少人？21．兒童節(jié)那天，實(shí)驗(yàn)小學(xué)參加展演的節(jié)目有歌唱類，舞蹈類、小品類、魔術(shù)類、相聲類等，種類繁多，其中出演舞蹈類節(jié)目的有47人，出演小品類節(jié)目的有35人，兩項(xiàng)都參加的有15人。出演舞蹈類節(jié)目和出演小品類節(jié)目的一共有多少人？22．某班在四年級(jí)、五年級(jí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)選10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)被評(píng)為三好學(xué)生的有4人，五、六年級(jí)連續(xù)被評(píng)為三好學(xué)生的有3人，四、六年級(jí)被評(píng)為三好學(xué)生的有5人，四、五、六年級(jí)都沒(méi)被評(píng)過(guò)三好學(xué)生的有20人，問(wèn)這個(gè)班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？23．我們班參入調(diào)查了飯后吃水果情況：30人喜歡吃蘋(píng)果，27人喜歡吃梨，10人兩種都喜歡，問(wèn)我們班有多少人？24．聰聰調(diào)查了五（1）班50名同學(xué)最喜歡吃的水果情況。有25的同學(xué)最喜歡吃香蕉，有325．三個(gè)小朋友比賽口算，小強(qiáng)做對(duì)了25道題，小明做對(duì)了18道題，小亮做對(duì)了20道題。小明做對(duì)的18道題小強(qiáng)也都做對(duì)了，小亮做對(duì)的題中有10道題小強(qiáng)也做對(duì)了。小強(qiáng)和小明一共做對(duì)了多少道不同的題？小強(qiáng)和小亮一共做對(duì)了多少道不同的題？26．某小學(xué)共有學(xué)生540人，在一次自愿參加的線上心理輔導(dǎo)講座活動(dòng)中，共有50人向輔導(dǎo)老師進(jìn)行了提問(wèn)。提問(wèn)的人中，有36人用文字進(jìn)行了提問(wèn)，25人用語(yǔ)音進(jìn)行了提問(wèn)，那么，既用文字又用語(yǔ)音提問(wèn)的有多少人？27．某藝術(shù)中心有62名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11名，會(huì)吹長(zhǎng)笛的有56名，兩樣都不會(huì)的有4名。兩樣都會(huì)的有多少名？28．一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有12人全做對(duì)，其中第一道題有24人做對(duì)，第二道題有20人做錯(cuò)。兩道題都做錯(cuò)的有多少人？29．47名學(xué)生組織游泳和跳水訓(xùn)練，其中參加游泳的有12人，參加跳水的有15人，兩項(xiàng)都不參加的有26人。求兩項(xiàng)訓(xùn)練都參加的有多少人？30．四（1）班參加文藝小組的有16人，參加科技小組的有25人，兩項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班參加課外小組的學(xué)生一共有多少人？31．三（1）班有45人，期中考試語(yǔ)文得優(yōu)的有33人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有26人，所有人至少有一科得優(yōu)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？32．在學(xué)校舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加跳高和跳遠(yuǎn)的共有35人，其中參加跳高的有28人，參加跳遠(yuǎn)的有16人，兩項(xiàng)都參加的有多少人？33．老師組織三（1）班的同學(xué)參加打籃球和跳繩兩項(xiàng)課外活動(dòng)，參加打籃球的有22人，參加跳繩的有26人，既參加打籃球又參加跳繩的有5人。三（1）班參加打籃球和參加跳繩的一共有多少人？34．四年級(jí)（1）班有52人，參加美術(shù)小組的有14人，參加音樂(lè)小組的有28人，有8人兩個(gè)小組都參加了，這個(gè)班兩個(gè)小組都沒(méi)參加的有多少人？35．二年（3）班45名小朋友去圖書(shū)館借書(shū)，有20名小朋友借了童話書(shū)，有30名小朋友借了故事書(shū)，那么有多少名小朋友既借了童話書(shū)又借了故事書(shū)呢？36．一批游客中，有34的人懂法語(yǔ)，有45的人懂英語(yǔ)，兩種語(yǔ)言都懂的人占37．八一小學(xué)六（1）班有26人參加了美術(shù)小組，有29人參加了音樂(lè)小組，其中有13人兩個(gè)小組都參加，還有8人什么組都沒(méi)有參加。這個(gè)班共有學(xué)生多少人？38．某班有48名學(xué)生，每人至少訂閱一份《數(shù)學(xué)報(bào)》或《學(xué)習(xí)報(bào)》．已知1112的學(xué)生訂閱了《數(shù)學(xué)報(bào)》，139．某班有26人參加數(shù)學(xué)興趣小組，30人參加英語(yǔ)興趣小組，其中數(shù)學(xué)、英語(yǔ)都參加的有12人，兩個(gè)小組都不參加的有4人，則這個(gè)班學(xué)生人數(shù)有多少人？40．學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，三（1）班參加跳繩比賽的有15人，參加接力比賽的有10人。這兩項(xiàng)比賽都參加的有6人，三（1）班一共有多少人參加這兩項(xiàng)比賽？41．大課間體育活動(dòng)展示，每人至少參加一項(xiàng)。四（3）班第2小組報(bào)名參加跳繩展示的有8人，報(bào)名參加踢毽子展示的有6人。（1）第2小組最多有幾人？最少有幾人？（2）若已知第2小組有10人，請(qǐng)問(wèn)兩項(xiàng)都參加的有幾人？42．101名學(xué)生去春游，帶礦泉水的有70人，帶水果的有50人，每人至少帶一樣。既帶礦泉水又帶水果的有多少人？43．學(xué)校為了豐富學(xué)生的校園生活，讓學(xué)生的個(gè)性特長(zhǎng)得到優(yōu)質(zhì)發(fā)展，本學(xué)期開(kāi)設(shè)了多門(mén)選修課，五（3）班45名同學(xué)中，有26人選擇了球類課程，有18人選擇了舞蹈類課程，有10人這兩類課程都選擇了。（1）至少選擇其中一類課程的有多少人？（2）這兩類課程都沒(méi)有選擇的有多少人？44．三年級(jí)舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加“摸石頭過(guò)河”的有39人，參加“兩人三足”的有53人，兩項(xiàng)都參加的有27人。參加趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的一共有多少人？45．二（3）班有學(xué)生45名，現(xiàn)有兩份報(bào)紙可以訂閱，每人至少訂一份。已知訂《少年日?qǐng)?bào)》的有32人，訂《東方少年報(bào)》的有25人，那么兩種報(bào)紙都訂的有幾人？46．五年級(jí)一班共有36名學(xué)生，在六一表演中有12人參加了舞蹈表演，有16人參加了合唱，既要表演舞蹈又要參加合唱的有7人，那么既不參加舞蹈表演、又不參加合唱的有多少人？47．三年級(jí)2班有54人，所有的同學(xué)都參加了興趣小組，參加舞蹈小組的有27人，參加聲樂(lè)小組的有34人，兩個(gè)興趣小組都參加的有多少人？48．陽(yáng)光小學(xué)四（2）班的同學(xué)中有18人喜歡打乒乓球，15人喜歡打羽毛球，9人既愛(ài)打乒乓球又愛(ài)打羽毛球。全班喜歡打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？49．三（1）班有31人參加閱讀和書(shū)法兩項(xiàng)競(jìng)賽，全部獲獎(jiǎng)。其中閱讀獲獎(jiǎng)的有12人，書(shū)法獲獎(jiǎng)的有27人，兩科都獲獎(jiǎng)的有多少人？50．六（2）班有54人，其中23喜歡踢足球，5參考答案與試題解析1．五年級(jí)一班共48人，一次數(shù)學(xué)測(cè)試中做對(duì)第一題的有36人，做對(duì)第二題的有30人，每人至少做對(duì)一道題。兩道題都做對(duì)的有多少人？【答案】18人?！痉治觥扛鶕?jù)容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣總?cè)藬?shù)解答即可。【解答】解：36+30﹣48＝66﹣48＝18（人）答：兩道題都做對(duì)的有18人?！军c(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。2．參加某項(xiàng)活動(dòng)的人員中有47人會(huì)說(shuō)英語(yǔ)，有38人會(huì)說(shuō)法語(yǔ)，兩種都會(huì)的有22人，另外15人只會(huì)講漢語(yǔ)．一共有多少人參加了活動(dòng)？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】用47加上38求出它們的和，這樣兩種都會(huì)的多算了一次，然后減去22就是至少會(huì)一種的英語(yǔ)和法語(yǔ)，然后再加上15即可．【解答】解：47+38﹣22+15＝63+15＝78（人）答：一共有78人參加了活動(dòng)．【點(diǎn)評(píng)】本題為基本的容斥原理題目，其公式為：A類B類元素個(gè)數(shù)總和＝屬于A類元素個(gè)數(shù)+屬于B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．3．三年級(jí)一班有45人，參加體育課外小組的有27人，參加音樂(lè)課外小組的有31人，每人至少參加一個(gè)課外小組，三年級(jí)一班兩個(gè)課外小組都參加的有多少人？【答案】13人。【分析】參加體育課外小組的人數(shù)+參加音樂(lè)課外小組的人數(shù)﹣總?cè)藬?shù)＝兩個(gè)課外小組都參加的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?7+31﹣45＝58﹣45＝13（人）答：三年一班兩個(gè)課外小組都參加的有13人。【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。4．四年級(jí)一班同學(xué)參加跳繩和踢毽子比賽，每人至少參加一個(gè)項(xiàng)目，有30人參加跳繩，有26人參加踢毽子，兩項(xiàng)都參加的有13人，四年級(jí)一班一共有多少人？【答案】43人?！痉治觥扛鶕?jù)容斥原理，用跳繩的30人加參加踢毽子的26人，求出和，然后再減去兩項(xiàng)都參加的13人（重復(fù)計(jì)算的人數(shù)），就是四年級(jí)一班總?cè)藬?shù)?！窘獯稹拷猓?0+26﹣13＝56﹣13＝43（人）答：四年級(jí)一班一共有43人?！军c(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。5．學(xué)校舉辦“我的中國(guó)夢(mèng)”書(shū)畫(huà)作品比賽，共有210幅作品分別獲得一、二等獎(jiǎng)和優(yōu)秀獎(jiǎng)，其中優(yōu)秀獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的作品共148幅，獲得一二等獎(jiǎng)的作品共140幅，獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和優(yōu)秀獎(jiǎng)的作品各有多少幅？【答案】62、78、70幅。【分析】140+148＝288（幅），是一、二、二、優(yōu)秀獎(jiǎng)數(shù)量的和，比一、二、優(yōu)秀獎(jiǎng)總數(shù)210幅多的數(shù)量就是二等獎(jiǎng)的數(shù)量，即288﹣210＝78（幅）；那么一等獎(jiǎng)就有140﹣78＝62（幅），優(yōu)秀獎(jiǎng)有148﹣78＝70（幅）；據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓?40+148＝288（幅）288﹣210＝78（幅）140﹣78＝62（幅）148﹣78＝70（幅）答：獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和優(yōu)秀獎(jiǎng)的作品各有62、78、70幅?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查容斥原理，解答本題的關(guān)鍵先求出二等獎(jiǎng)的數(shù)量。6．某小學(xué)有115人參加了音樂(lè)、美術(shù)興趣小組，其中76人參加音樂(lè)小組，54人參加美術(shù)小組，同時(shí)參加這兩個(gè)小組的有多少人？【答案】15。【分析】根據(jù)容斥問(wèn)題公式，用參加音樂(lè)小組的人數(shù)加上參加美術(shù)小組的人數(shù)，減去總?cè)藬?shù)，就是參加兩個(gè)小組的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?6+54﹣115＝130﹣115＝15（人）答：同時(shí)參加這兩個(gè)小組的有15人?！军c(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。7．同學(xué)們收集圖片．張明、李紅、蔡正明、王丹、熊威、高偉、梅芳7個(gè)人收集了名山圖片，吳鳳、李紅、王丹、戴月紅、高偉這5人收集了河流圖片，吳心怡、張冬、李可這3人收集了奧運(yùn)圖片．（1）收集名山圖片和奧運(yùn)圖片的共有多少人？（2）收集名山圖片和河流圖片的共有多少人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）7個(gè)人收集了名山圖片，3人收集了奧運(yùn)圖片，沒(méi)有重疊的人數(shù)，把這兩部分的人數(shù)相加即可．（2）7個(gè)人收集了名山圖片，5人收集了河流圖片，其中李紅、王丹、高偉這3人兩樣都收集了，所以用7與5的和，減去重疊的人數(shù)3就是收集名山圖片和河流圖片的共有多少人．【解答】解：（1）7+3＝10（人）答：收集名山圖片和奧運(yùn)圖片的共有10人．（2）7+5﹣3＝12﹣3＝9（人）答：收集名山圖片和河流圖片的共有9人．【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題．8．紅火小學(xué)三年有210名學(xué)生，四年有170名學(xué)生。大家都扎了疫苗，兩個(gè)年級(jí)共有多少名學(xué)生扎了疫苗？【答案】380名。【分析】用三年的人數(shù)加上四年的人數(shù)，求兩個(gè)年級(jí)的總?cè)藬?shù)即可?！窘獯稹拷猓?10+170＝380（名）答：兩個(gè)年級(jí)共有380名學(xué)生扎了疫苗?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要利用整數(shù)加減法的運(yùn)算法則計(jì)算。9．三（1）班同學(xué)每人都至少訂一種雜志，有32人訂了《數(shù)學(xué)王國(guó)》，有26人訂了《作文天地》，其中有12人兩種雜志都訂了，三（1）班一共有多少人？【答案】46人?！痉治觥坑喠恕稊?shù)學(xué)王國(guó)》的人數(shù)+訂了《作文天地》的人數(shù)﹣兩種雜志都訂的人數(shù)＝總?cè)藬?shù)?！窘獯稹拷猓海?2+26）﹣12＝58﹣12＝46（人）答：三（1）班一共有46人?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。10．2021年是紅軍長(zhǎng)征勝利85周年。一個(gè)44人的國(guó)際旅游團(tuán)到中央紅軍長(zhǎng)征勝利紀(jì)念園參觀，其中會(huì)講英語(yǔ)的有37人，會(huì)講漢語(yǔ)的有25人，每人至少會(huì)講英語(yǔ)和漢語(yǔ)中的一種，英語(yǔ)和漢語(yǔ)都會(huì)講的有多少人？【答案】18人?！痉治觥肯扔?7加25求出會(huì)講英語(yǔ)的和會(huì)講漢語(yǔ)的人數(shù)和，再減去總?cè)藬?shù)44就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是英語(yǔ)和漢語(yǔ)都會(huì)講的人數(shù)。【解答】解：37+25﹣44＝62﹣44＝18（人）答：英語(yǔ)和漢語(yǔ)都會(huì)講的有18人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。11．三（5）班45名同學(xué)參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，答對(duì)第一題的有23人，答對(duì)第二題的有18人，兩道題都答對(duì)的有17人，兩道題都沒(méi)答對(duì)的有幾人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題干可知至少答對(duì)一題的總?cè)藬?shù)是18+23﹣17＝24人，由此利用總?cè)藬?shù)﹣至少答對(duì)一題的人數(shù)＝兩題都不對(duì)的人數(shù)．【解答】解：45﹣（18+23﹣17）＝45﹣24＝21（人）答：兩道題都沒(méi)答對(duì)的有21人．【點(diǎn)評(píng)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．12．實(shí)驗(yàn)小學(xué)組織了一次只有2次射門(mén)機(jī)會(huì)的足球比賽，其中第一次射門(mén)成功的86人，第二次射門(mén)成功的53人，兩次都沒(méi)有射進(jìn)的12人，兩次都射進(jìn)的有31人。參加射門(mén)比賽的共有多少人？【答案】120人?！痉治觥肯扔?6加53求出兩者的人數(shù)和，再減去重復(fù)計(jì)算的31人，就是至少射進(jìn)一次的人數(shù)，然后再加上兩次都沒(méi)有射進(jìn)的人數(shù)即可?！窘獯稹拷猓?6+53﹣31+12＝108+12＝120（人）答：參加射門(mén)比賽的共有120人?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理，關(guān)鍵是求出至少射進(jìn)一次的人數(shù)，知識(shí)點(diǎn)是容斥原理一：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B。13．三（1）班每人至少訂一份報(bào)紙，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有36人，訂《語(yǔ)文報(bào)》的有28人，兩種都訂的有12人，三（1）班一共有多少人？【答案】52人。【分析】訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的人數(shù)+訂《語(yǔ)文報(bào)》的人數(shù)﹣兩種都訂的人數(shù)＝總?cè)藬?shù)?！窘獯稹拷猓?6+28﹣12＝64﹣12＝52（人）答：三（1）班一共有52人?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。14．同學(xué)們要到動(dòng)物園去參觀老虎館和熊貓館．參觀老虎館的有70人，參觀熊貓館的有65人，兩個(gè)館都參加的有40人．去動(dòng)物園的一共有多少人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，利用容斥問(wèn)題原理，有關(guān)系式：參觀老虎館的人數(shù)+參觀熊貓館的人數(shù)﹣兩個(gè)館都參加人數(shù)＝去參觀的總?cè)藬?shù)．把數(shù)代入計(jì)算即可．【解答】解：70+65﹣40＝135﹣40＝95（人）答：去動(dòng)物園的一共有95人．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用容斥問(wèn)題原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用．15．學(xué)校成立“雙滑社團(tuán)”，既會(huì)輪滑又會(huì)滑雪的學(xué)生才有資格報(bào)名。全校有500名學(xué)生，只會(huì)輪滑的有180人，只會(huì)滑雪的有200人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有50人。多少人有報(bào)名資格？【答案】70人。【分析】用總?cè)藬?shù)減去只會(huì)輪滑的人數(shù)、減去只會(huì)滑雪的人數(shù)，再減去兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)即可?！窘獯稹拷猓?00﹣180﹣200﹣50＝120﹣50＝70（人）答：70人有報(bào)名資格?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。16．學(xué)校成立了科技和書(shū)法兩個(gè)興趣小組。四（4）班共有40名同學(xué)，每人至少參加一個(gè)興趣小組，有24人參加科技小組，17人參加書(shū)法小組。有多少人參加了兩個(gè)興趣小組？【答案】1人?！痉治觥扛鶕?jù)容斥原理，參加科技小組的人數(shù)+參加書(shū)法小組的人數(shù)﹣總?cè)藬?shù)＝參加書(shū)法小組的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?4+17﹣40＝41﹣40＝1（人）答：有1人參加了兩個(gè)興趣小組?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。17．三（1）班同學(xué)訂閱《語(yǔ)文報(bào)》的有28人，訂閱《數(shù)學(xué)報(bào)》的有27人，這兩種報(bào)都訂閱了的有15人，如果每人至少訂閱了一種報(bào)刊，這個(gè)班一共有多少個(gè)同學(xué)？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先計(jì)算出訂制兩種報(bào)紙的總?cè)藬?shù)，因?yàn)橛袃煞N報(bào)紙都訂制的人數(shù)重復(fù)數(shù)了，所以訂制兩種報(bào)紙的總?cè)藬?shù)就比班級(jí)實(shí)際人數(shù)多，即訂制兩種報(bào)紙的總?cè)藬?shù)減去兩種報(bào)紙都訂的人數(shù)，就是班級(jí)實(shí)際的人數(shù)．【解答】解：27+28﹣15＝55﹣15＝40（人）答：這個(gè)班一共有40個(gè)同學(xué)．【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥問(wèn)題，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）．18．三（1）班有45人，其中19人喜歡吃蘋(píng)果，16人喜歡吃橘子，8人既喜歡吃蘋(píng)果又喜歡吃橘子。喜歡吃蘋(píng)果和橘子的有多少人？這兩種水果都不喜歡吃的有多少人？【答案】27人，18人?！痉治觥堪严矚g蘋(píng)果的和喜歡橘子的人數(shù)加起來(lái)：19+16＝35（人），因?yàn)?人既喜歡吃蘋(píng)果又喜歡吃橘子，所以喜歡這兩種水果（至少喜歡一種）的是35﹣8＝27（人），那么總?cè)藬?shù)減去這27人，剩下的就是兩種水果都不喜歡的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?9+16﹣8＝35﹣8＝27（人）45﹣27＝18（人）答：喜歡吃蘋(píng)果和橘子的有27人，兩種水果都不喜歡吃的有18人。【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理，解題的關(guān)鍵是確定喜歡這兩種水果的人數(shù)。19．三（1）班有48人，參加體育隊(duì)的有36人，參加舞蹈隊(duì)的有27人，每人至少參加一個(gè)隊(duì)，那么這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有多少人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】參加體育代隊(duì)和參加舞蹈隊(duì)的人數(shù)之和是36+27＝63人，這比已知的總?cè)藬?shù)多了63﹣48＝15人，這就是重復(fù)加的兩個(gè)隊(duì)都參加的人數(shù)．【解答】解：36+27﹣48＝63﹣48＝15（人）答：這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有15人．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于典型的利用容斥原理解答的問(wèn)題，如果利用畫(huà)圖的方法分析更簡(jiǎn)潔易懂．20．在三（1）班思維課堂上，老師出了兩道考察思維能力的題。做對(duì)第一道題的有28人，做對(duì)第二道題的有30人，（每人至少做對(duì)一道題）。兩道題都做對(duì)的有多少人？【答案】13人?！痉治觥肯扔?8加上30求出做對(duì)第一道題與做對(duì)第二道題的人數(shù)和，再減去三（1）班的總?cè)藬?shù)45就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩道題都做對(duì)的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?8+30﹣45＝58﹣45＝13（人）答：兩道題都做對(duì)的有13人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問(wèn)題。21．兒童節(jié)那天，實(shí)驗(yàn)小學(xué)參加展演的節(jié)目有歌唱類，舞蹈類、小品類、魔術(shù)類、相聲類等，種類繁多，其中出演舞蹈類節(jié)目的有47人，出演小品類節(jié)目的有35人，兩項(xiàng)都參加的有15人。出演舞蹈類節(jié)目和出演小品類節(jié)目的一共有多少人？【答案】67人?！痉治觥扛鶕?jù)容斥原理公式：總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B解答即可?！窘獯稹拷猓?5+47﹣15＝82﹣15＝67（人）答：出演舞蹈類節(jié)目和出演小品類節(jié)目的一共有67人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。22．某班在四年級(jí)、五年級(jí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)選10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)被評(píng)為三好學(xué)生的有4人，五、六年級(jí)連續(xù)被評(píng)為三好學(xué)生的有3人，四、六年級(jí)被評(píng)為三好學(xué)生的有5人，四、五、六年級(jí)都沒(méi)被評(píng)過(guò)三好學(xué)生的有20人，問(wèn)這個(gè)班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？【答案】41，38?！痉治觥坑迷u(píng)過(guò)三好學(xué)生的人數(shù)加上沒(méi)評(píng)過(guò)三好學(xué)生的人數(shù)就等于本班的學(xué)生數(shù)。評(píng)過(guò)的學(xué)生分為只在四年級(jí)、五年級(jí)、六年級(jí)評(píng)過(guò)的，四、五年級(jí)連續(xù)的、五、六年級(jí)連續(xù)的，四、六年級(jí)連續(xù)的，四、五、六連續(xù)的這7種情況。當(dāng)，四、五、六連續(xù)的是0時(shí)最多，是3時(shí)最少。【解答】解：如圖：1+4+5+2+3+3+3+20＝21+20＝41（人）1+4+5+2+3+3+20＝18+20＝38（人）答：這個(gè)班最多有41名同學(xué)，最少有38名同學(xué)?！军c(diǎn)評(píng)】明確數(shù)量之間的包含關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。23．我們班參入調(diào)查了飯后吃水果情況：30人喜歡吃蘋(píng)果，27人喜歡吃梨，10人兩種都喜歡，問(wèn)我們班有多少人？【答案】47人。【分析】先用30加上27求出兩者的人數(shù)和，然后減去重疊的人數(shù)10即可?！窘獯稹拷猓?0+27﹣10＝57﹣10＝47（人）答：我們班有47人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。24．聰聰調(diào)查了五（1）班50名同學(xué)最喜歡吃的水果情況。有25的同學(xué)最喜歡吃香蕉，有3【答案】35人?！痉治觥壳笠粋€(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法解答；據(jù)此分別求出最喜歡吃香蕉的和最喜歡吃蘋(píng)果的有多少人，再求和即可?！窘獯稹拷猓?0×25＝20+15＝35（人）答：最喜歡吃香蕉的和最喜歡吃蘋(píng)果的一共有35人?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的運(yùn)用，是熟練掌握整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。25．三個(gè)小朋友比賽口算，小強(qiáng)做對(duì)了25道題，小明做對(duì)了18道題，小亮做對(duì)了20道題。小明做對(duì)的18道題小強(qiáng)也都做對(duì)了，小亮做對(duì)的題中有10道題小強(qiáng)也做對(duì)了。小強(qiáng)和小明一共做對(duì)了多少道不同的題？小強(qiáng)和小亮一共做對(duì)了多少道不同的題？【答案】25道，35道。【分析】小明做對(duì)了18道題，小明做對(duì)的18道題小強(qiáng)也都做對(duì)了，所以小強(qiáng)做對(duì)的題的道數(shù)就是小強(qiáng)和小明一共做對(duì)的不同的題的道數(shù)；小亮做對(duì)的題中有10道題小強(qiáng)也做對(duì)，則小亮和小強(qiáng)做對(duì)總道數(shù)減10，是兩人做對(duì)的不同的題的道數(shù)?！窘獯稹拷猓?5+18﹣18＝25（道）25+20﹣10＝35（道）答：小強(qiáng)和小明一共做對(duì)了25道不同的題，小強(qiáng)和小亮一共做對(duì)了35道不同的題。【點(diǎn)評(píng)】掌握用兩人做對(duì)題的道數(shù)之和減去兩人都做對(duì)題的道數(shù)，就是兩人一共做對(duì)的不同的題的道數(shù)是解答此題的關(guān)鍵。26．某小學(xué)共有學(xué)生540人，在一次自愿參加的線上心理輔導(dǎo)講座活動(dòng)中，共有50人向輔導(dǎo)老師進(jìn)行了提問(wèn)。提問(wèn)的人中，有36人用文字進(jìn)行了提問(wèn)，25人用語(yǔ)音進(jìn)行了提問(wèn)，那么，既用文字又用語(yǔ)音提問(wèn)的有多少人？【答案】11人?！痉治觥扛鶕?jù)“提問(wèn)的人中，有36人用文字進(jìn)行了提問(wèn)，25人用語(yǔ)音進(jìn)行了提問(wèn)”，可得兩者的總?cè)藬?shù)：36+25＝61（人），再減去總?cè)藬?shù)50就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是既用文字又用語(yǔ)音提問(wèn)的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?6+25﹣50＝61﹣50＝11（人）答：既用文字又用語(yǔ)音提問(wèn)的有11人。【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的容斥原理問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握容斥原理的解題規(guī)律：既A又B＝（A+B）﹣總?cè)藬?shù)。27．某藝術(shù)中心有62名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11名，會(huì)吹長(zhǎng)笛的有56名，兩樣都不會(huì)的有4名。兩樣都會(huì)的有多少名？【答案】9名?！痉治觥坑脮?huì)彈鋼琴的人數(shù)加會(huì)吹長(zhǎng)笛的人數(shù)加兩樣都不會(huì)的人數(shù)，再減總?cè)藬?shù)即可求解?！窘獯稹拷猓?1+56+4﹣62＝67+4﹣62＝71﹣62＝9（名）答：兩樣都會(huì)的有9名?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理的靈活運(yùn)用。28．一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有12人全做對(duì)，其中第一道題有24人做對(duì)，第二道題有20人做錯(cuò)。兩道題都做錯(cuò)的有多少人？【答案】8人?！痉治觥康谝坏李}有24人做對(duì)，包括只做對(duì)一道和兩道都做對(duì)的，因此只做對(duì)第一道題的有（24﹣12）人；已知第二道題有20人做錯(cuò)，也包括只做錯(cuò)一道和兩道都做錯(cuò)的，則兩道都做錯(cuò)的有[20﹣（24﹣12）]人?！窘獯稹拷猓?0﹣（24﹣12）＝20﹣12＝8（人）答：兩道題都做錯(cuò)的有8人?！军c(diǎn)評(píng)】此題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，要熟練掌握。29．47名學(xué)生組織游泳和跳水訓(xùn)練，其中參加游泳的有12人，參加跳水的有15人，兩項(xiàng)都不參加的有26人。求兩項(xiàng)訓(xùn)練都參加的有多少人？【答案】6人?！痉治觥?7名學(xué)生組織游泳和跳水訓(xùn)練，兩項(xiàng)都不參加的有26人，用47減去26就是參加訓(xùn)練的總?cè)藬?shù)。然后用12加上15求出參加游泳與參加跳水的人數(shù)和，再減去參加訓(xùn)練的總?cè)藬?shù)就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩項(xiàng)訓(xùn)練都參加的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?7﹣26＝21（人）12+15﹣21＝27﹣21＝6（人）答：兩項(xiàng)訓(xùn)練都參加的有6人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可以借助圖形解決問(wèn)題。30．四（1）班參加文藝小組的有16人，參加科技小組的有25人，兩項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班參加課外小組的學(xué)生一共有多少人？【答案】33人?！痉治觥扛鶕?jù)題意可知，參加文藝小組的人數(shù)+參加科技小組的人數(shù)﹣兩項(xiàng)都參加的人數(shù)＝參加課外小組的總?cè)藬?shù)，依此列式并計(jì)算即可?！窘獯稹拷猓?6+25﹣8＝41﹣8＝33（人）答：這個(gè)班參加課外小組的學(xué)生一共有33人?！军c(diǎn)評(píng)】當(dāng)兩部分有重復(fù)時(shí)，從和中減去重復(fù)的部分，就是原來(lái)的總數(shù)。31．三（1）班有45人，期中考試語(yǔ)文得優(yōu)的有33人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有26人，所有人至少有一科得優(yōu)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？【答案】14人?！痉治觥坑深}意可知，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的人數(shù)＝語(yǔ)文得優(yōu)的人數(shù)+數(shù)學(xué)得優(yōu)的人數(shù)﹣總?cè)藬?shù)，據(jù)此求解即可?！窘獯稹拷猓?3+26﹣45＝59﹣45＝14（人）答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有14人。【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用。32．在學(xué)校舉辦的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加跳高和跳遠(yuǎn)的共有35人，其中參加跳高的有28人，參加跳遠(yuǎn)的有16人，兩項(xiàng)都參加的有多少人？【答案】9人。【分析】先用16加28求出參加跳遠(yuǎn)和參加跳高的人數(shù)和，再減去總?cè)藬?shù)35就是重復(fù)計(jì)算的人數(shù)，也就是兩項(xiàng)都參加的人數(shù)。【解答】解：16+28﹣35＝44﹣35＝9（人）答：兩項(xiàng)都參加的有9人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。33．老師組織三（1）班的同學(xué)參加打籃球和跳繩兩項(xiàng)課外活動(dòng)，參加打籃球的有22人，參加跳繩的有26人，既參加打籃球又參加跳繩的有5人。三（1）班參加打籃球和參加跳繩的一共有多少人？【答案】43人?！痉治觥扛鶕?jù)容斥原理公式總?cè)藬?shù)＝（A+B）﹣既A又B解答即可?！窘獯稹拷猓?2+26﹣5＝48﹣5＝43（人）答：三（1）班參加打籃球和參加跳繩的一共有43人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。34．四年級(jí)（1）班有52人，參加美術(shù)小組的有14人，參加音樂(lè)小組的有28人，有8人兩個(gè)小組都參加了，這個(gè)班兩個(gè)小組都沒(méi)參加的有多少人？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】用14人加上28人求出兩者的和，由于8人是重復(fù)計(jì)算的部分，再減去8人，就是至少參加一項(xiàng)的人數(shù)是：28+14﹣8＝34（人），然后用總?cè)藬?shù)52人減去至少參加一項(xiàng)的人數(shù)，就是兩個(gè)小組都沒(méi)參加的人數(shù)，即52﹣34＝18（人）．【解答】解：52﹣（28+14﹣8）＝52﹣34＝18（人）答：這個(gè)班兩個(gè)小組都沒(méi)參加的有18人．【點(diǎn)評(píng)】容斥原理的計(jì)算公式：A+B﹣既A又B＝至少參加一項(xiàng)的人數(shù)．35．二年（3）班45名小朋友去圖書(shū)館借書(shū)，有20名小朋友借了童話書(shū)，有30名小朋友借了故事書(shū)，那么有多少名小朋友既借了童話書(shū)又借了故事書(shū)呢？【答案】5名?！痉治觥客瑫r(shí)借了兩種書(shū)的小朋友數(shù)＝借童話書(shū)的人數(shù)+借故事書(shū)的人數(shù)﹣班級(jí)總?cè)藬?shù)，將題目中給出的數(shù)值代入上述公式即可解答?！窘獯稹拷猓?0+30﹣45＝50﹣45＝5（名）答：有5名小朋友既借了童話書(shū)又借了故事書(shū)?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理的靈活運(yùn)用。36．一批游客中，有34的人懂法語(yǔ)，有45的人懂英語(yǔ)，兩種語(yǔ)言都懂的人占【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】把總?cè)藬?shù)看作單位“1”，至少懂一種語(yǔ)言的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的34+4【解答】解：38÷（1?9＝8÷＝80（人）答：這批游客共有80人．【點(diǎn)評(píng)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)．37．八一小學(xué)六（1）班有26人參加了美術(shù)小組，有29人參加了音樂(lè)小組，其中有13人兩個(gè)小組都參加，還有8人什么組都沒(méi)有參加。這個(gè)班共有學(xué)生多少人？【答案】50人?！痉治觥扛鶕?jù)“A類人數(shù)+B類人數(shù)﹣既A又B類人數(shù)+既不A又不B類人數(shù)＝該班人數(shù)”即可求解?！窘獯稹拷猓?6+29﹣13+8＝55﹣13+8＝42+8＝50（人）答：這個(gè)班共有學(xué)生50人?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥原理的應(yīng)用。38．某班有48名學(xué)生，每人至少訂閱一份《數(shù)學(xué)報(bào)》或《學(xué)習(xí)報(bào)》．已知1112的學(xué)生訂閱了《數(shù)學(xué)報(bào)》，1【答案】16人?！痉治觥肯雀鶕?jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義分別求出訂閱《數(shù)學(xué)報(bào)》的人數(shù)和訂閱兩種報(bào)刊的人數(shù)，再根據(jù)容斥原理公式解答即可?！窘獯稹拷猓?8×1148×148﹣（44﹣12）＝16（人）答：訂閱《學(xué)習(xí)報(bào)》的學(xué)生有16人?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用。39．某班有26人參加數(shù)學(xué)興趣小組，30人參加英語(yǔ)興趣小組，其中數(shù)學(xué)、英語(yǔ)都參加的有12人，兩個(gè)小組都不參加的有4人，則這個(gè)班學(xué)生人數(shù)有多少人？【答案】48人?！痉治觥磕嘲嘤?6人參加數(shù)學(xué)興趣小組，30人參加英語(yǔ)興趣小組，兩者共有26+30＝56人，然后再減去其中數(shù)學(xué)、英語(yǔ)都參加的有12人，即重疊的人數(shù)12人就是至少參加一項(xiàng)的人數(shù)，最后加上兩個(gè)小組都不參加的4人，可得這個(gè)班學(xué)生的人數(shù)?！窘獯稹拷猓?6+30﹣12+4＝56﹣12+4＝48（人）答：這個(gè)班學(xué)生人數(shù)有48人。【點(diǎn)評(píng)】?jī)闪恐丿B問(wèn)題：A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。40．學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，三（1）班參加跳繩比賽的有15人，參加接力比賽的有10人。這兩項(xiàng)比賽都參加的有6人，三（1）班一共有多少人參加這兩項(xiàng)比賽？【答案】19人。【分析】根據(jù)容斥原理“A類與B類元素個(gè)數(shù)的總和＝A類元素的個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)﹣既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)”，用參加跳繩的15人加參加接力比賽的10人的和，減去兩項(xiàng)都參加的16人即得總?cè)藬?shù)。【解答】解：15+10﹣6＝25﹣6＝19（人）答：三（1）一共有19人參加這兩項(xiàng)比賽?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。41．大課間體育活動(dòng)展示，每人至少參加一項(xiàng)。四（3）班第2小組報(bào)名參加跳繩展示的有8人，報(bào)名參加踢毽子展示的有6人。（1）第2小組最多有幾人？最少有幾人？（2）若已知第2小組有10人，請(qǐng)問(wèn)兩項(xiàng)都參加的有幾人？【答案】（1）14人，8人；（2）4人?！痉治觥浚?）當(dāng)參加這兩項(xiàng)的同學(xué)都分別只報(bào)名了一項(xiàng)，此時(shí)人數(shù)最多，所以最多有（8+6）人；當(dāng)報(bào)名參加跳繩的同學(xué)同時(shí)也報(bào)名參加踢毽子時(shí)，人數(shù)最少為8人；（2）既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況），據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓海?）8+6＝14（人）答：第2小組最多有14人，最少有8人。（2）8+6﹣10＝14﹣10＝4（人）答：兩項(xiàng)都參加的有4人。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了容斥問(wèn)題的靈活運(yùn)用，解答規(guī)律是：既A又B＝A+B﹣總數(shù)量（兩種情況）。42．101名學(xué)生去春游，帶礦泉水的有70人，帶水果的有50人，每人至少帶一樣。既帶礦泉水又帶水果的有多少人？【答案】19人。【分析】根據(jù)容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣總?cè)藬?shù)解答即可?！窘獯稹拷猓?0+50﹣101＝120﹣101＝19（人）答：既帶礦泉水又帶水果的有19人。【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用容斥原理解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，可借助圖形解決問(wèn)題。43．學(xué)校為了豐富學(xué)生的校園生活，讓學(xué)生的個(gè)性特長(zhǎng)得到優(yōu)質(zhì)發(fā)展，本學(xué)期開(kāi)設(shè)了多門(mén)選修課，五（3）班45名同學(xué)中，有26人選擇了球類課程，有18人選擇了舞蹈類課程，有10人這兩類課程