2024屆云南省昆明市某中學(xué)高三新課標(biāo)第四次一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

昆明市第一中學(xué)2024屆高中新課標(biāo)高三第四次一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)

在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足Z（2+I）=T,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若{A}={x|ax2-4x+l=o}（a,beR）,則a+b等于（）

B.3或L8821

AC.一D.一或一

I24554

3.直線(xiàn)5x—3>=0是雙曲線(xiàn)工=1（?！?）的一條漸近線(xiàn)，則。=（）

a~25

A.9B.5C.4D.3

4.某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長(zhǎng)分別為8cm,6cm的正

四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為3cm,忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（）

第1頁(yè)/共6頁(yè)

圖1圖2

148,,,

A.—^-cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

5.某校高三年級(jí)有500人，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N（110,100）.估計(jì)該校高三年級(jí)本次考

試學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有（）

參考數(shù)據(jù)：若X?NJ。?），則尸（〃一<7<X三〃+<7）=0.6827,尸（〃一2<7<、<〃+2<7）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3cr）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

6.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng)：

如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.

同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線(xiàn)上），其天頂方向與太陽(yáng)光線(xiàn)的夾角測(cè)得為7.2。.因太

陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽(yáng)光線(xiàn)看成是平行的.已知駱駝一天走100個(gè)視距段，從亞歷山大城到賽伊尼

須走50天.一般認(rèn)為一個(gè)視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測(cè)得地球的周長(zhǎng)約為（）

A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

7.已知。=108261=1。837,。=1。859，則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

8.已知定義在R上的函數(shù)/（x）=e1—e-'+x,則不等式/（x—1）+/（2—2x）?2的解集為（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l]C.[-1,1]D.[l,+oo）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方

第2頁(yè)/共6頁(yè)

圖如圖所示，則（）

B.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為

75

C.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80D.估計(jì)總體中成績(jī)落在[60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225

10.如圖，點(diǎn)N,B,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足〃平面N8C的有（）

11.直線(xiàn)x+y+2=0分別與X軸，N軸交于48兩點(diǎn),點(diǎn)尸在曲線(xiàn)C：了=+2岳上,則A4BP

的面積可能是（）

A.41B.2C.5D.9

12.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4+]+（-1廣二區(qū)1=3〃—4且〃eN*），則下列說(shuō)法正確的是（

A.。2+。4=5，且％一。］=2

B.若數(shù)列｛%｝的前16項(xiàng)和為540,則%=6

第3頁(yè)/共6頁(yè)

D.當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，an+2=("+1),"+1)+%

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點(diǎn)廠(chǎng)是拋物線(xiàn)C:/=2眇(夕〉0)的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以少為圓心，|尸。|為半徑的圓與

直線(xiàn)Gx->+6=0相切，則拋物線(xiàn)C的方程為.

14.已知定義在［2加-1,加+4］上的奇函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3x-L則/(⑼的值為

_??_V2b_

15.已知扇b是非零向量，同=1,(a+bjla,2在b方向上的投影向量為一~相,同，貝爪團(tuán)―6|=

16.定義在—1，0'0,3上的奇函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)為了(X)，且當(dāng)xe0,］卜寸,

/'(X)tanx-/(x)>0,則不等式/(x)sinx的解集為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投籃投中的概率均為

2

(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中的概率；

(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次

總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.在單位圓上的三點(diǎn)B,C構(gòu)成的銳角AA8C中，內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊分別為

凡b,c,sin2c-sin2/=(V2sinC-sin5)sinS?

(1)求Q；

(2)求67—c的取值范圍.

19.設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=2,且2瘋='%?%+］(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令,當(dāng)“最大時(shí)，求〃的值.

20.如圖，直三棱柱48C-481cl中，點(diǎn)。，￡分別為棱44、的中點(diǎn)，

第4頁(yè)/共6頁(yè)

AE1AXBX,AB=AC=AA1=4.

(1)設(shè)過(guò)4D,￡三點(diǎn)的平面交81cl于尸，求鏟的值；

FCi

(2)設(shè)8在線(xiàn)段8c上，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求點(diǎn)〃到平面4DE的距離.

21.已知二元關(guān)系/(x,y)=(2x+y)2—(x+2y)2+ay2+b,曲線(xiàn)E：/(xj)=0,曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)

C(2,0),￡>(4,6),直線(xiàn)/：x=l,若。為/上的動(dòng)點(diǎn)，4,8為E與x軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)N在點(diǎn)3的左側(cè),

與K的另一個(gè)交點(diǎn)為。與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

(1)求a,6；

(2)求證：直線(xiàn)VN過(guò)定點(diǎn).

22.已知函數(shù)/(%)=a(Inx)2-2xInx+2x+4a>0.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若l<aWe2,2a+b<0,證明：/⑴只有一個(gè)零點(diǎn).

第5頁(yè)/共6頁(yè)

昆明市第一中學(xué)2024屆高中新課標(biāo)高三第四次一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)

在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足Z（2+I）=T,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本題可根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則得出z=-2i,即可得出結(jié)果.

55

【詳解】因?yàn)閦（2+i）=-i,

-i-i（2-i）12.

所以z=17T=（2+i）（2T）=_y_不'

則Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一二,一]],在第三象限，

故選：C.

2.若抄｝=｛》辰2-4x+l=o｝（a,beR）,則a+b等于（）

88T1

B昵C.一D.一或一

-I554

【答案】B

第1頁(yè)/共22頁(yè)

【解析】

【分析】由題意可知小―4%+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，討論。=0和叱0,由根的判別式可得答案.

【詳解】?.,抄｝=k辰2_4x+l=o｝（°/eR）,‘辦2-4》+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)（2=0時(shí)，｛'｝=｛；｝，止匕時(shí)a+/?=；；

當(dāng)QWO時(shí)，A=16-4a=0,所以Q=4,此時(shí)6

2

1919

Q+Z?=4H—=—.故6=一或a+Z>=1.

2242

故選：B.

22

3.直線(xiàn)5x—3了=0是雙曲線(xiàn)0一匕=1伍〉0）的一條漸近線(xiàn)，則。=（）

a25

A.9B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，列方程求。的值.

22

【詳解】直線(xiàn)5x—3〉=0是雙曲線(xiàn)=—2=1（?！?）的一條漸近線(xiàn)，

a25

由直線(xiàn)5x—3y=0的斜率為*,得9=*,所以a=3.

3a3

故選：D.

4.某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長(zhǎng)分別為8cm,6cm的正

四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為3cm,忽略收納罐的厚度，貝!1該香料收納罐的容積為（）

里百

圖1圖2

1483

A.—cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

【答案】C

【解析】

第2頁(yè)/共22頁(yè)

【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，計(jì)算求值，即得答案.

【詳解】由題意可知，該香料收納罐的容積為:、3義仔+62+斤W）=148cm3.

故選：C.

5.某校高三年級(jí)有500人，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N。10,100）.估計(jì)該校高三年級(jí)本次考

試學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有（）

參考數(shù)據(jù)：若X?NJ。，，則尸（〃一cr<XV〃+<7）=0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2cr）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3b）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

【答案】C

【解析】

【分析】X?N（110,100）,P（X〉120）=l-0+,由概率計(jì)算人數(shù)即可.

【詳解】X?N（110,100）,〃=110,o-=10,

因?yàn)镻（〃-cr<X<〃+cr）=0.6827,

所以尸（X〉120）J一尸（11°一1°；旌11°+1°）=1一°，27川586,

所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?2。分以上的人數(shù)約為500x0.1586779人.

故選：C.

6.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng)：

如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.

同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線(xiàn)上），其天頂方向與太陽(yáng)光線(xiàn)的夾角測(cè)得為7.2。.因太

陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽(yáng)光線(xiàn)看成是平行的.已知駱駝一天走100個(gè)視距段，從亞歷山大城到賽伊尼

須走50天.一般認(rèn)為一個(gè)視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測(cè)得地球的周長(zhǎng)約為（）

第3頁(yè)/共22頁(yè)

A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

【答案】B

【解析】

【分析】首先讀懂題意，根據(jù)比例關(guān)系，即可求解地球周長(zhǎng).

【詳解】由亞歷山大城到賽伊尼走100x50=5000,則地球大圓周長(zhǎng)的視距段為x,

則二得250000個(gè)視距段，

360x

則地球的周長(zhǎng)為250000x157=39250000米=39250千米.

故選：B

7.已知a=log26,b=log37,c=log59，則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】

3

【分析】取中間值一,2,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較可得.

2

【詳解】因?yàn)閍=log26>log24=2,

23

2

b=log37>log33=-,且b=log37<log39=2,

23

c=log59<log552="

所以c<6<a.

故選：A.

8.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=ei—ei+x,則不等式/(x—1)+/(2—2x)?2的解集為()

第4頁(yè)/共22頁(yè)

A.(-oo,-l]B.(-℃,1]c.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】分析得到函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱(chēng)，且在R上單調(diào)遞增，列不等式求解集即可.

【詳解】由于/(x)=e1—e-+x—1+1,

令/=x-l,則g?)=e'-e-'+f,

因?yàn)閥=e'在R上單調(diào)遞增，y=e-'在R上單調(diào)遞減，

y=—e-'在R上單調(diào)遞增，＞=/在R上單調(diào)遞增，

所以g?)=e'-十+/在R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)間(/)=e'-e-'+f定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

又g(_/)=e-'_e'_/=_(e'——'+/)=_g(。，

所以g")為奇函數(shù)，關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng)，

所以〃x)關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱(chēng)，且在R上單調(diào)遞增，

即/(2-m)+/(m)=2,

由/(x-1)+/(2—2x)22可得/(x-1)22—/(2-2x)=f(2x),

貝1Jx-122x,得x〈T,

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性求解不等式，解題的關(guān)鍵是函數(shù)性質(zhì)的靈

活應(yīng)用.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)(單位：分)，成績(jī)的頻率分布直方

圖如圖所示，貝I()

第5頁(yè)/共22頁(yè)

B.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為

75

C.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80D.估計(jì)總體中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225

【答案】AD

【解析】

【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得。=0.005,進(jìn)而可求每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即

可.

【詳解】由10x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,可得。=0.005,故A正確;

前三個(gè)矩形的面積和為10x（2a+3（7+7a）=0.6,

所以這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為80,故B錯(cuò)誤;

由成績(jī)的頻率分布直方圖易知，這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75,故C錯(cuò)誤;

總體中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3axl0xl500=225,故D正確.

故選：AD

10.如圖，點(diǎn)N,B,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿(mǎn)足兒W〃平面N8C的有（）

第6頁(yè)/共22頁(yè)

【答案】AD

【解析】

【分析】結(jié)合線(xiàn)面的位置關(guān)系以及線(xiàn)面平行的判定定理確定正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,連接￡￡),由下圖可知MN//OE//NC,平面NBC，ZCu平面N8C,所以

MN//平面ABC,A正確.

對(duì)于B,設(shè)〃是EG的中點(diǎn)，A是。尸的中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，AB//NH,

MN//AH//BC,/W7/C",故六邊形肱陽(yáng)C8N為正六邊形，所以A,B,C,H,N,M六點(diǎn)共面,

B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知MV//Z。，由于平面N8C,所以上WN平面

ABC,所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,設(shè)/C0|NE=。，由于四邊形/ECN是矩形，所以。是NE中點(diǎn)，由于8是九化中點(diǎn)，所以

MN//BD,

由于跖VN平面Z8C，平面N8C,所以VN//平面Z8C,D正確.

第7頁(yè)/共22頁(yè)

故選：AD.

11.直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，V軸交于43兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在曲線(xiàn)c：［=+上,貝！U4SP

的面積可能是（）

A.V2B.2C.5D.9

【答案】BC

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)C的方程并確定出對(duì)應(yīng)圖象，然后根據(jù)到直線(xiàn)的距離結(jié)合求解出A48尸面積的取值

范圍，由此可判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，V軸交于48兩點(diǎn),

所以/(-2,0),5(0,-2),則|幽=2&,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在曲線(xiàn)C：y=J—%2+2亞X上,

所以點(diǎn)尸在半圓（x—正『+/=2（y20）上，

圓心c（夜,o）到直線(xiàn)x+歹+2=o的距離為&=l^2l=1+72.

點(diǎn)（0,0）到直線(xiàn)x+y+2=Q的距離為4=1=收，

第8頁(yè)/共22頁(yè)

所以點(diǎn)尸到直線(xiàn)x+y+2=0的距離的范圍是[J5,1+2行],

-2V2xV2272x（1+272）1

所以△4BP的面積取值范圍是一--,---------------即[2,4+j2],所以BC正確，

故選：BC.

12.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4+1+（—1廣＜%_1=3〃—4（〃》2且〃eN*），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.。2+。4=5,且。3-％=2

B.若數(shù)列｛4｝的前16項(xiàng)和為540,則q=6

C.數(shù)列｛4｝的前4左（左eN*）項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為6k2-k

D.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，as="++%

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，賦值法求解即可；B選項(xiàng)，先得到出“2+。2左=3（2左+1）—4=6左—1,求出數(shù)列｛4｝的

前16項(xiàng)和中偶數(shù)項(xiàng)之和，從而得到前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和，賦值法得到%w=3/-左+4,從而得到

%5+%3+a”+。9+%+%+%+a1=392+8%=448,求出答案；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上得到

。2加+2+。2加=6加-1,從而利用等差數(shù)列求和公式求解；D選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到%左+1=3左2_后+4,

令〃=2左—1可得答案.

【詳解】A選項(xiàng)，。什1+（-1）〃一1?%_]=3〃一4中，令〃=2得。3-％=3x2—4=2,

令〃=3得。4+。2=3乂3—4=5,A正確；

+a

B選項(xiàng)，an+l+（—I）”〔?%_]=3〃-4中，令〃=2左+1得出左+2ik=3（2左+1）—4=6左一1,

所以。4+%=6x1—1=5,必+。6=6x3—1=17,。12+40=6x5—1=29,

。16+%4=6x7—1=41,

相加得的+。4+。6+。8+。10+。12+。14+。16=5+17+29+41—92,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前16項(xiàng)和為540,所以前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和為540-92=448,

第9頁(yè)/共22頁(yè)

H1

%+i+（-l）-a“_i=3〃一4中，令n=2k得au+l-alk_x=3x2左一4=6左一4,

所以。2A：+i=6k—4+。2后一1=6k—4+6（k—1）—4+a2k=???=6k—4+6（k—1）—4+,,,+6x1—4+%

左（1+左）

=6x-----4k+4=3k9—k+%,

故％5+%3+/i+。9+%+%+。3+。1—3x72—7+〃]+3X62—6+%+,?,+3xI2—1+6+%

=392+8%=448,

解得a、=7,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知。2加+2+42加=6加一1,

｛4｝的前4M后eN*）項(xiàng)中的共有偶數(shù)項(xiàng)球項(xiàng)，故最后兩項(xiàng)之和為。妹.2+%"=6（2左—1）一1,

所以數(shù)列｛4｝的前4M左eN*）項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為

/、左（5+12左一7）7十“

%+/+,??+。4左一2+a4k—5+11H--F62k—1）—1=------------=6k-k,C正確；

〃+]

D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知〃2左+1=3左之一左+%,令n=2k-1,則左=——,

w+12

故〃_3x（）〃+l+a-5+1Q+1）

取?！?2-Jx------+^i------------+%

故當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，an+2=+++0,口正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到4+2-4=/（〃）時(shí)，數(shù)列求通項(xiàng)公式或者求和時(shí)，往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，這類(lèi)題目

的處理思路可分別令"=2左-1和"=2左，用累加法進(jìn)行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點(diǎn)廠(chǎng)是拋物線(xiàn)=2py（p〉0）的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以少為圓心，|尸。|為半徑的圓與

直線(xiàn)Gx-y+6=0相切，則拋物線(xiàn)C的方程為.

【答案】X2=8J

【解析】

【分析】根據(jù)題意知拋物線(xiàn)方程C：f=2眇（夕〉0）的焦點(diǎn)/[o,]）,利用點(diǎn)少到直線(xiàn)

第10頁(yè)/共22頁(yè)

Gx-y+6=0的距離為怛。|列出方程，解得夕=4,從而求解.

【詳解】由題意知拋物線(xiàn)C：必=2眇（夕〉0）的焦點(diǎn)小切，

又因?yàn)辄c(diǎn)尸到直線(xiàn)瓜—y+6=0的距離為歸。|,

所以：U2+6\|_p,又因?yàn)椋簆>0,解得：2=4,

a=-/二一

43+12

則拋物線(xiàn)。的方程為：x2=8j.

故答案為：x2=8j.

14.已知定義在［2加—1,加+4］上的奇函數(shù)〃x）,當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=3￥-l,則“加）的值為

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合奇函數(shù)的性，質(zhì)運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/a）是定義在［2加-1,加+4］上的奇函數(shù)，

所以有（2加-1）+（加+4）=0,得以=-1,

所以/（—1）=一/⑴=一（3-1）=一2.

故答案為：-2

-II/_V2b_

15.已知行力是非零向量，同=1,e+b）D,2在b方向上的投影向量為一萬(wàn)-,利，則團(tuán)―們=

【答案】V5

【解析】

【分析】同=1,由得屋3=—1，￡在B方向上的投影向量為—-旌可得忖=血，再

由歸_/得卜一..

【詳解】已知扇B是非零向量，同=1,

第11頁(yè)/共22頁(yè)

由(〃+b)_La,有++a%=0,可得73=-1，

—41ba-b41|一|「

Z在B方向上的投影向量為一-丁詞，則有慟二一~T9得小也，

由卜=忖+R|-2a-b-5,所以卜_囚二君.

故答案為：V5

16.定義在[一|?,o]D[o,|■]上的奇函數(shù)/&)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且當(dāng)xe[o,]]時(shí),

/'(x)tanx—/(>)〉0,則不等式/(x)<2/[6]sinx的解集為.

【答案】[多用U[詞

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=」魚(yú)，通過(guò)研究尸(X)的奇偶性與單調(diào)性求解不等式.

smx

【詳解】令尸(乃=/也，因?yàn)?X)是定義在(―g,o]u[o,g]上的奇函數(shù)，

sinxI2Jv2J

sm(-x)-smxsmx

所以廠(chǎng)(%)為偶函數(shù).

當(dāng)xe吟時(shí)，sinx>0,cosx>0,

由已知f\x)tanx-/(x)>0,

所以F，(x)=八x)sin1/(x)cosx==八X)fanx-/(x))>0,

sinxsinx

則尸(x)在［ogj上單調(diào)遞增，

/(7)

6

由f(x)<sinx可化為<

sinx.兀

sm—

6

71

即F(x)<，得0<x<一；

6

第12頁(yè)/共22頁(yè)

當(dāng)sinx<0,則小立〉——乙，

I2，smxsin.)

jr

即F(x)>F(——),

6

由F(x)為偶函數(shù)，則尸(x)在(q,0)上單調(diào)遞減,

,口兀71

得——<X<——,

26

所以不等式/(%)<2/^—sinx的解集為［一耳廠(chǎng).

故答案為:［多用U〔詞?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛本題解題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)E(x)=/地并發(fā)現(xiàn)尸(X)是偶函數(shù)，通過(guò)研究其單調(diào)性來(lái)

sinx

解不等式，特別要注意分段討論，因?yàn)閟inx的符號(hào)不能確定.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次投籃投中的概率均為

2

(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中的概率；

(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次

總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)93

O

(2)分布列見(jiàn)解析，2

【解析】

【分析】(1)應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式計(jì)算即可；

(2)應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式結(jié)合對(duì)立事件的概率公式計(jì)算概率，寫(xiě)出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得；

【小問(wèn)1詳解】

記該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中為事件“B”，

…/小1111111113

則尸(5)=-x—x——I——X—x——I——X—X—=—.

—2222222228

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事件4,幺2,4分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中,

第13頁(yè)/共22頁(yè)

根據(jù)題意可知X=0,1,2,3,4.

故尸（x=o）=尸（刁尸（4）尸（4）=；

O

尸（X=1）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（4）尸（4）尸（4）=；,

尸（x=2）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（刁尸仁）尸（4）=；

尸（x=3）=尸（⑷尸（4）尸（4）+尸（書(shū)尸（a）尸（4）=；,

尸（X=4）=尸（4）尸（4）尸（4）=3*3；=.

所以于x的分布列為:

X01234

]_j_]_

P

84448

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X!+1X』+2XL+3XL+4X1=2.

84448

18.在單位圓上的三點(diǎn)/,B,C構(gòu)成的銳角448C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為

a,Z）,c,sin2c-sin2^=（VlsinC-sin8）sin8.

（1）求a；

（2）求J%—°的取值范圍.

【答案】（1）V2

（2）（0,V2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理，角轉(zhuǎn)邊得到°2+戶(hù)一/=①~再結(jié)合余弦定理，即可得到

TT

A=-,由外接圓半徑及正弦定理求出結(jié)果.

4

（2）根據(jù)條件，利用正弦定理邊化為角，根據(jù)兩角差的正弦公式，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)及角的范圍，可求

出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

第14頁(yè)/共22頁(yè)

由sin2C-sin24=(asinC-sin8)sin8及正弦定理得：c2-a2=41bc-b2

212

+仝曰方申工田汨Ab+c—ay[2bcV2

由COS%=----------=-----=---

2bc2bc2

TT

又因?yàn)?</<兀，所以4二一

4

因?yàn)锳NBC外接圓半徑為1,a=2siih4=.

【小問(wèn)2詳解】

bc

因?yàn)锳4BC的外接圓半徑A=l,所以=2,

sin8sinC

所以b=2siaS,c-2sinC,

所以y/2b—c-2V2sin5—2sinC—2V2sin(——C)—2sinC=2cosC+2sinC—2sinC=2cosC，

0<C<-

9TT冗

又因?yàn)?48C為銳角三角形，即；，故一<C<一,

八c3?！肛?2

0<B=----C<—

I42

6

所以0<cosC<=，所以0<2cosC(行，

2

所以0<J2—c<J5，即、區(qū)―c的取值范圍是(0,、歷).

19.設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛4,｝的前"項(xiàng)和為5"，%=2,且2A/^=?4+1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令,當(dāng)“最大時(shí)，求”的值.

(10)

【答案】(1)%=2〃

(2)9或10

【解析】

【分析】(1)利用公式%=S”-S.T，求得數(shù)列｛的“T｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列是

首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，可求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

b>b.

(2)，最大時(shí)，則J尸,列不等式求”的值.

\bn,

第15頁(yè)/共22頁(yè)

【小問(wèn)1詳解】

%=2,且2=J，"〃+1*N).

則有％〉°，4S，=%?%,

當(dāng)〃=1時(shí)，/=E=,所以。2=4,

當(dāng)時(shí)，an=Sn-Sn_x=^^-^^,所以4M—%T=4,

則數(shù)列｛。2“一1｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，所以的“一1=2+4("—1)=2(2〃-1),

數(shù)列缶2〃｝是首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，所以出"=4+4(〃—1)=2(2〃)，

所以％=2n.

【小問(wèn)2詳解】

由己知得：b=a-｛^\=2〃(21,4=2,4=以，bx<b2,4不是最大項(xiàng),

"“(10)(10)5225

設(shè)數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為bn(?>2),貝U：J,

也地+i

即：22(〃—1)[\]且?2(〃+1)[[],解得9W〃V10,

所以年最大時(shí)，”的值為9或10.

20.如圖，直三棱柱4BC-481cl中，點(diǎn)。，E分別為棱44、CC；的中點(diǎn),

AE1AXBVAB=AC=AAX=4.

第16頁(yè)/共22頁(yè)

（1）設(shè)過(guò)D,￡三點(diǎn)的平面交耳G于尸，求右7的值;

（2）設(shè)X在線(xiàn)段上，當(dāng)?！ǖ拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求點(diǎn)〃到平面4DE的距離.

【答案】（1）2

⑵也

21

【解析】

B.F

【分析】（1）先將平面4DE延展，在圖中表示出4尸和尸C，根據(jù)三角形相似即可求出于不的值；

（2）由題意可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，確定〃的位置，由點(diǎn)到平面的距離的向量表示公

DH^n

式d=即可求出點(diǎn)”到平面ADE的距離.

【小問(wèn)1詳解】

如圖延長(zhǎng)/。交84于尸，連接PE交片G于/，

如圖所示：

因?yàn)?。為?片的中點(diǎn)，DBX\\AB,且。回

所以凡是星的中點(diǎn)，即PB{=BB{=2CXE,

因?yàn)椤杆膢|GE,

PB.B.F-

所以△尸8rs△AEC/,所以號(hào)=合=2.

。［心rCj

【小問(wèn)2詳解】

第17頁(yè)/共22頁(yè)

由題知M1平面ABC,則441±AB,

因?yàn)?用〃45,且所以48_L4E,所以481平面幺。。/1，

所以481ZC,如圖所示，以A為原點(diǎn)，AC,AB,44］分別為x,夕，z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，

所以2（0,0,0）,￡>（0,2,4）,￡（4,0,2）,5（0,4,0）,C（4,0,0）,設(shè)H（x,4—x,0）,（0<x<4）,

AD=（0,2,4）,AE=（4,0,2）,

因?yàn)?。〃最短，所以。XLBC,

所以麗?就=(x,2—x,—4>(4,—4,0)=8x—8=0,解得x=l,

所以8(1,3,0),則麗=(1,1,-4),

-,、n-AD=02y+4z=0

設(shè)平面的法向量〃=(x/,z),貝卜_.即《

n-AE=04x+2z=0

所以3=(1,4,—2),

~DH^iri+r4+(-4)X(-2)13A/21

所以點(diǎn)H到平面ADE的距離d=/+42+(1

問(wèn)21

21.已知二元關(guān)系/(xj)=(2x+y>—(x+2歹y+”2+b,曲線(xiàn)￡：/(xj)=0,曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)

C（2,0）,￡>（4,6）,直線(xiàn)/：x=l,若0為/上的動(dòng)點(diǎn)，A,2為E與x軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè),

。/與￡的另一個(gè)交點(diǎn)為03與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

（1）求。，b；

（2）求證：直線(xiàn)VN過(guò)定點(diǎn).

第18頁(yè)/共22頁(yè)

【答案】(1)。=2,6=-12

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由題意將/(2,0)=0,/(4,6)=0代入方程/(x,#=0運(yùn)算可得解;

6mt3/—12

(2)設(shè)的y："U=x+/,與曲線(xiàn)E方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得%+%=，=,由

3~m2~-173m2~-17

A,Q,M三點(diǎn)共線(xiàn)，由3,。，N三點(diǎn)共線(xiàn)，列式消元運(yùn)算可求得/的值，得證.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，/(2,0)=0,/(4,6)=0,代入方程(2x+y)2—(x+2y『+ay2+b=o,

42—4+6=0

可得

(2x4+6)2-(4+2x6)2+36a+Z)=0,

解得a=2,b=—12.

【小問(wèn)2詳解】

22

由(1)可知(2x+y)2—(x+2yy+2y2—12=0,整理得曲線(xiàn)E：亍—會(huì)=1,

設(shè)心：叼=X+/,”區(qū),必)，N(x2,y2),2(1,Jo),

得°機(jī)2機(jī)步+

由題意知4-2,0),8(2,0),聯(lián)立〈3X^=12，—I)/_63/-12=0,

6mt