2024-2025學年江蘇省南通市某中學高三（上）期初數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年江蘇省南通市如皋中學高三（上）期初數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合U=R,集合4={%|-3<x<1],B={%|0<%<2],則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.（—3,0）B.（—1,0）

C.（0,1）D,（2,3）

2.已知圓錐的底面半徑為"，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為

（）

A.&B.當瓦rC.生回rD.返n

3333

3.頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是（）

A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.x2=±6y

4.方程10g3X=log6X?log/的實數(shù)解有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.已知直線久-4y+9=0與橢圓+5=l（0<6<4）相交于4B兩點，橢圓的兩個焦點是F2,線段

4B的中點為C（-l,2）,則△CF1F2的面積為（）

A.2避B.4^/2C.24D.44

6.已知圓C的方程為/+（y-2）2=a,貝U"a>2”是“函數(shù)y=因的圖象與圓C有四個公共點”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知雙曲線C：\=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為Fi，&，點M是雙曲線C右支上一點，直線

FiM交雙曲線C的左支于N點.若|%N|=2,尸2Ml=3,\MN\=4,且△的外接圓交雙曲線C的一條

漸近線于點P0o，yo）,則|yo|的值為（）

A.鄧B考C.邛D.3

8.%,尸2分別是橢圓今+f|=l（a>b〉0）的左、右焦點，過&作直線交橢圓于4B兩點，已知g1B

Fi，AABFr=30°,則橢圓的離心率為（）

A.書在B.普芷C.V6-V2D.76-V3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.已知曲線C：mx2+ny2=1,下列結(jié)論中正確的有()

A.若zn>0,則C是橢圓，其焦點在久軸上

B.若租=幾>0,貝UC是圓，其半徑為/

C.若則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若zn=0,n>0,則C是兩條直線

10.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為4,點M是其側(cè)面4)。遇1上的一個動點(含邊界)，點P是線段C

上的動點，則下列結(jié)論正確的是()

C15----71G

A.存在點P,M,使得二面角M-DC—P大小為?pip

B.存在點P,M,使得平面BiDiM與平面P8D平行.....IL

C.當P為棱CCi的中點且PM=2#時，則點M的軌跡長度為餡兀A^~----------%

D.當M為的中點時，四棱錐M—2BCD外接球的表面積為等

11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)上存在一點E(2,t)到其焦點的距離為3,點P為直線久=-2上一點，過點

P作拋物線C的兩條切線，切點分別為4B,。為坐標原點.則()

A.拋物線的方程為產(chǎn)=4xB.直線48一定過拋物線的焦點

C.線段長的最小值為4避D.OP1AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.過點(2,3)的等軸雙曲線方程為.

13.過點P(l,2)的直線I與曲線y=產(chǎn)千有且僅有兩個不同的交點，則/斜率的取值范圍為.

14.已知過點(0,a)可作三條直線與曲線/(X)=苧-久2+1相切，則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(%)=2ex(x+1).

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)求函數(shù)/(久)在區(qū)間[t,t+l](t>一3)上的最小值g(t).

16.(本小題16分)

設(shè)橢圓總+噲=l(a>6>0)的左焦點為F，右頂點為力，離心率為I，已知力是拋物線y2=2px(p>0)的焦

點，F(xiàn)到拋物線的準線I的距離為今

①求橢圓的方程和拋物線的方程;

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(II)設(shè)I上兩點P,Q關(guān)于久軸對稱，直線力P與橢圓相交于點BCB異于點4),直線8Q與x軸相交于點D,若

△APD

的面積為坐，求直線4P的方程.

17.(本小題16分)

如圖，直三棱柱ABC-公場的的體積為1,AB1BC,AB=2,BC=1.

(1)求證：BC1J.&C；

(2)求二面角Bi-AiC-B的余弦值.

18.(本小題16分)

設(shè)雙曲線C的方程為*2=l(a>0,b>0),直線I過拋物線y2=8x的焦點和點(0,6).己知C的焦距為6且一

條漸近線與/平行.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知直線機過雙曲線C上的右焦點，若機與C交于點4B(其中點4在第一象限)，與直線》=方交于點7,

過T作平行于。力的直線分別交直線。B,x軸于點P,Q,求售.

19.(本小題16分)

已知函數(shù)/(久)=電署，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)=1有兩個不同的根%1，x2.

(i)求。的取值范圍；

(工)證明：%i+%2>2.

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參考答案

1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.0

8.A

9.CD

10.BC

ll.ACD

12*3=1

13.［-2,-1)u(0,|］

14.(1,1)

15.解:(l)f'(x)=2ex(x+2),

由/''(x)>0,得x>-2；由/''(久)<0,得久<-2,

/(X)在(-2,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,-2)上單調(diào)遞減，

f(x)的極小值為-2e-2,無極大值.

(2)由(1)知/Q)在(―2,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,—2)上單調(diào)遞減，

t>-3,t+1>—2.

①當—3<t<—2時,Qx)在［t,-2)上單調(diào)遞減,在(—2/+1］上單調(diào)遞增，g(t)=)(—2)=-2eR

②當t2-2時，f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞增,g(t)=f(t)=2e\t+1).

_f—2e_2,—3<t<—2

g?)=［2N(t+l),t>-2-

16.解：(I)設(shè)尸的坐標為(-c,0),

￡_工

a2

依題意可得?。,

a—c=-1

2

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解得Q=1,C=-1,p=2,

于是拉=a2—c2=p

所以橢圓的方程為/+誓=1,拋物線的方程為y2=4%.

(II)直線/的方程為冗=一1,由題意，設(shè)直線ZP的方程為汽=my+1(血。0),

聯(lián)立方程組K;蔡;+1,

77

解得點故Q(T,9,

'%=my+1

聯(lián)立方程組%2+逐=i，

消去工,整理得(3m2+4)y2+6my=0,

解得y=0,或y=一而詈7，

.D(一3m2+4~6m.

?'以3m2+44而+小

直線BQ的方程為

(3―5)。+D-導*+"金=0,

令y=。，解得“修普故砥津，0)，

.Mni12-3?n26m2

"'AU'~=137n2+2=-3小2+2'

又?.公4PD的面積為乎，

.1*67n22_^/6

XX，

1123m2+2|m|-T

整理得37n2-2通|利+2=0,

解得=里，--?m=土當,

二直線4P的方程為3*+my—3=0,或3x—my—3=0.

17.(1)證明：直三棱柱ABC-AiBiCi的體積為：V=^XAB-BC-AA^=^x2X1xAAr=1,

則A4i=1=BC,四邊形BCQBi為正方形，

直棱柱力BC-&B1C1中，BBil平面4BC,又AB1BC,

以B為原點，BC,BA,BBi所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

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則8(0,0,0),%(0,0,1),C(l,0,0),4式0,2,1),"1,0,1),

西=(1,0,1),A^C=(1-2-1)

BCi,A\C=1x1+0x(—2)+1x(—1)=0,

所以跖1碇，即8cliAC

(2)解：BC=(1,0,0),兩=(0,2,1),

設(shè)平面8C4i的法向量：nJ=

則濡?兩>=2yi+zi=0'取Vi=l，特%=(0，1，—2),

瓦？=(1,0,-1),瓦不=(020)，

設(shè)面B1CZ1的法向量厄=(%2)2/2)，

則慎舐口取比2=L得正=(1,。,1)，

設(shè)二面角Bi-AC-B的大小為氏

則1cos?=|cos<^2>|=K_gi=-^L=^0,

因為。為銳角，所以二面角Bi-AC-B余弦值為學.

18.解：(1)因為拋物線必=8式的焦點為(2,0),

所以直線1的斜率例=-，

因為雙曲線C的一條漸近線與/平行，

所以2=號即。=2.

又因為雙曲線C的焦距為2c=6,即c=3,

所以力2=c2—a2=5,

77

所以雙曲線C的方程為［一卷=1.

45

(2)雙曲線C的右焦點為(3,0),

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由題意知直線血的斜率存在且不為0,

設(shè)直線m的方程為％=my+3(mW0),4(巧,力),久起必)，

空—乃二1

聯(lián)立14_蒜+3，消去%得(5m2-4)丫2+30my+25=0,5m2—4W0,

且4=400(1+m2)>0,

所以丫八1+J丫"2=一5;7n藝2-4'y八/J24=51m2—4

將久=拊入久=my+3得yr=一亮，

所以T4一為.

337n

直線PQ方程為y=崇工-今一親，與直線08：y=京聯(lián)立，

而彳曰__4myiy2+5工1丫2_4nly/2+5(myi+3)y2_3znyiy2+5y2

E/P-3m(%2yi—%iy2)-3m[(my2+3)yi—(my1+3)372]—3m(yi—y2)'

因為yiy2=一高(yi+'2)，

所以yp=T(yi+y2)+5y2=-|(yi-y2)=—2.

3m(yi-y2)3m(yi-y2)67n

因為y<?=0,所以yp=

所以P為TQ的中點，即用=L

19.(1)解：由題意得f(x)=喀=匕譬，%e(0,+8),「(X)=一震，

由/'(%)=0,得久=1.

若a>0,則當0<%<1時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，當％>1時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減;

若a<0,則當0V%<1時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，當久>1時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.

綜上，當。>0時，/(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

當。<0時，/(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(L+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)