2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：根與系數(shù)的關(guān)系（壓軸題）解析版

根與系數(shù)的關(guān)系

?思想方法

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重(互斥性)不漏(完備性)；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分(同一性)；

3.逐級分類(逐級性)。

?知識點(diǎn)總結(jié)

一、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

bc

如果一元二次方程a%2+b久+。=0(4力0)的兩個實數(shù)根是％],%,那么看+%2=——，xx=—.

~~a12a

注意：它的使用條件為分0,A>0.

也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得

的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.

?典例分析

【典例1]已知：關(guān)于X的一元二次方程依2+2久+1-2k=0有兩個實數(shù)根治，x2.

=

(1)若同+|%2|272,求k的值；

(2)當(dāng)k取哪些整數(shù)時，/，X2均為整數(shù)；

(3)當(dāng)k取哪些有理數(shù)時，%1，冷均為整數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)分兩種情況：①若兩根同號，②若兩根異號；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合根的判別式解答即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得若肛+到=—%為整數(shù)，可得整數(shù)々=±1,±2,然后結(jié)合兩根之積、解方程

分別驗證即可；

(3)顯然，當(dāng)k=—1時，符合題意；由兩根之積可得左應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k=\則方程可變形

為％2+2mx+m—2=0,即為(％+m)2=m2—m+2,再結(jié)合整數(shù)的意義即可解答.

【解題過程】

解：(1)=22-4/c(l-2fc)=4-4fc+8k2=8(fc2-1=8(fc-i)2+1>0,

???不論人為何值，關(guān)于x的一元二次方程k久2+2x+1—2k=0都有兩個實數(shù)根xi，久2，

關(guān)于x的一元二次方程k/+2x+1-2fc=0有兩個實數(shù)根%i，刀2,

,21-2k

+%2=一談途2=一〕，

分兩種情況：①若兩根同號，由|巧|+|%2|=2近可得：％1+%2=2近，或久1+%2=—2魚，

當(dāng)％1+冷=2立時，則一京=2V2,解得k=—容

?VZ

當(dāng)％1+功二—2應(yīng)時，則一看=—2應(yīng)\解得人—乎；

2

②若兩根異號，由|%1|+咫1=2用可得:(%1—X2)=8,

即(％1+%2)2—4%1%2=8,

(2、2l-2k門

-4x^=8，

解得：k=1,

綜上，發(fā)的值為1或±孝；

(2),?,關(guān)于％的一元二次方程+2%+1—2k=0有兩個實數(shù)根%1，%2，

2l-2k

???％i+冷=一%=~^，

若%1，%2均為整數(shù)，

則治+冷=一彳為整數(shù)，

??.整數(shù)k=±1,±2,

當(dāng)/￡=±2時，/％2=看不是整數(shù)，故應(yīng)該舍去；

當(dāng)k=l時，此時方程為d+2%—1=0,方程的兩個根不是整數(shù)，故舍去；

當(dāng)k=—1時，此時方程為—久2+2刀+3=0,方程的兩個根為/=—1,亞=3,都是整數(shù)，符合題意;

綜上，當(dāng)k取一1時，%i，利均為整數(shù)；

(3)顯然，當(dāng)々=—1時，符合題意；

當(dāng)人為有理數(shù)時，由于=左=?—2為整數(shù)，

.次應(yīng)該是整數(shù)的倒數(shù)，不妨設(shè)k='w0),m為整數(shù)，

則方程生遙+2%+1—2fc=0即為％2+2mx4-m—2=0,

配方得：(%+m)2=m2—m+2,

即％=—m±Vm2-m+2,

當(dāng)m=2即k時，方程的兩根為=0,%2=—4,都是整數(shù)，符合題意；

12,7

當(dāng)機(jī)K2時，m2-m+2=(m--)不是完全平方數(shù)，故不存在其它整數(shù)加的值使上式成立;

Z4

綜上，k=-1或

?學(xué)霸必刷

1.(22-23九年級上?湖北襄陽?自主招生)設(shè)方程a/+b%+。=0(aW0)有兩個根久i和％2，且1V巧<2<

X2<4,那么方程c%2—b%+。=0的較小根%3的范圍為()

A.-V%3<1B.—4VX3V—2C.-5V%3V—工D.-1<%3<一,

【思路點(diǎn)撥】

由根與系數(shù)的關(guān)系得出％1+%2=—*%「肛=；，再設(shè)方程c/—bx+a=o的為巾，n,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

系得出m+n=—(2+$,=￡甘從而得出方程cN—版+a=0的兩根為一高，一看，然后由1<小

<2<%2<4,求出一白，一^的取值范圍，從而得出結(jié)論.

X1%2

【解題過程】

解：方程a/+bx+。=0(aH0)有兩個根%1和％2，

bC

???x1+x2=--fx1-x2=

設(shè)方程c%2—bx+a=。的兩根為m,n,

miba

則zn+n=-C,mn=一C,

,bbra1

vm+n=-=---(v—Jmn=----,

caC%1-X2

/、1%1+%2/I1、

■-m+n=-(%1+x2)--=-+-)>

???方程c/-bx+a=°的兩根為一看，—十

<22<<4

</犯

11111

1

-<-<-<-

小42

-<x2

11111

-1

2<--<-<--<-

血X2

11

----

-<-224

5

x2

???方程c/-bx+a=。的較小根右的范圍為一1＜的＜一5。

故選：D.

2.(22-23九年級下?安徽安慶?階段練習(xí))若方程/+2px-3p-2=0的兩個不相等的實數(shù)根久i、力滿足

2323

Xi+Xi=4-(x2+%2),則實數(shù)〃的所有值之和為()

35

A.0B.-TC.-1D.--

44

【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到Xi2+2p%i—3p—2=0,Xi+%2=—2p,進(jìn)而推出

3232322

%!=3p%i+2%i—2p%i,貝"Xx+=3p%i+2/—2p%i+x2+x2=3p%2+2久2—2p%2+乂3

222

即可推出(3p+2)(%i+x2)+(1-2P)(/2+%2)=4,然后代入%1+x2=—2p,Xi+%2=(%i+%2尸—4p

得到2P(4p+3)(p+1)=0,再根據(jù)判別式求出符號題意的值即可得到答案.

【解題過程】

解：,??％1、%2是方程%2+2p%—3P—2=。的兩個相等的實數(shù)根，

???%/+2p%i—3p—2=0,%i+久2=_2p,%i%2=—3p—2,

+2p%i=3p+2,

.,.%13+2p%12=3p%i+2%],

.,.%13=3p%i+2巧—2p%i2,

.,.%!3+%x2=3p%i+2巧—2p%i2+%i2,

同理得％2,+%22=3p%2+2%2—2p%22+x22^

2323

VX1+%1=4—(%2+%2)?

323

+%1+(x2+X2)=4,

2222

：.3px1+2%i—2p%i+%i+3p%2+2%2—2p%2+^2=4,

22

???(3p+2)(%i+x2)+(1—2p)(%i+x2)=4,

???(3p+2)(-2p)+(1-2P)[(—2p)2-2(-3p-2)]=4,

???—6p2—4p4-(1—2p)(4p2+6p+4)=4,

???—6p2—4p+4P2+6p+4—2P(4p2+6p+4)=4,

_2P2+2p—2P(4p2+6p+4)=0,

???—2p(4p2+6p+4+p—1)=0,

???2p(4p2+7p+3)=0,

???2p(4p+3)(p+1)=0,

3

解得Pl=0，。2=-1，。3=一￡，

???△=(2p)2+4(3p+2)>0,

：.p2+3p+2>0,

???(p+l)(p+3)>0,

,p=-1不符合題意，

3

■■Pl+P3=—I

??.符合題意，

故選B.

3.(22-23八年級下?安徽合肥?期末)若關(guān)于"的一元二次方程/—2x+a2+b2+ab=。的兩個根為的

=m,x2=n,且a+b=l.下列說法正確的個數(shù)為()

@m-n>0；@m>0,n>0：@a2>a；④關(guān)于x的一元二次方程(x+l)2+a2—a=0的兩個根為打

二771—2,%2=幾一2?

A.1B.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】

^23

217_

a-a+-a^+-

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得％22利用消去得到14

i%2=mn=a+b+abfa+b=1bnm

>0,從而即可對①進(jìn)行判斷；由于％1+次=瓶+幾=2>0,xrx2=mn>0,利用有理數(shù)的性質(zhì)可對②

2

進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義得到△=4-4(小+/?2+。初20,gp4-4(a-a+l)>0,則可對③

進(jìn)行判斷；利用水+b2+ab=a2—a+1把方程/—2x+a2+b2+ab=?；癁?％—l)2+a2—a+1=0,

由于方程(％—l)2+a2—a=0可變形為[(%+2)—l]2+/—Q=o,所以％+2=zn或％+2=荏,于是可對④

進(jìn)行判斷.

【解題過程】

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得=爪幾=a?+爐+a6,

va+b=1,

/.b=1—a,

.,.mn=a2+(1—a)2+a(l—a)=a2—a+1=(a—0>0,所以①正確；

=mn=

???久1+x2+2>0,%i%2—血幾>0,

：.m>0,n>0,所以②正確；

???A>0,

???4—4(a2+h2+ab)>0,

即4—4(a2—a+1)>0,

.?.a>a2,所以③錯誤；

va2+b2+ab=a2—a+1,

.,?方程%2—2%+M+匕2+防=o化為?！猯)2+a2—a+1=0,

即(％—1)2+a2—a=0,

?.?方程(％+l)2+a2—a=0可變形為[(%+2)—l]2+a2—a=0,

.-.x+2=ni或1+2=ri,

解得％1=6一2,x2=n—2f所以④正確.

故選：C.

4.(22-23九年級上?浙江?自主招生)設(shè)點(diǎn)6、°、d是4個兩兩不同的實數(shù)，若a、b是方程%2-8cx-9d=0

的解，c、d是方程%2—8。%—9b=0的解，貝！Ja+b+c+d的值為.

【思路點(diǎn)撥】

由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b,c+d的值，兩式相加得的值，根據(jù)一元二次方程根的定義可得M

—8ac—9d=0,代入可得F—72a+9c—8ac=0,同理可得c?—72c+9a—8ac=0,兩式相減即可得a+c

的值，進(jìn)而可得a+b+c+d的值.

【解題過程】

解：由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=8c,c+d=8a,兩式相加得a+b+c+d=8(a+c).

因為a是方程式2—8cx—9d=0的根，所以小—8ac—9d=0,又d=8a—c,

所以次—72a+9c—Sac=0①

同理可得c2-72c+9a-Sac=0②

①-②得(a—c)(a+c—81)=0.

因為a7c,所以a+c=81,所以a+b+c+d=8(a+c)=648.

故答案為648.

5.(23-24九年級上?江蘇南通?階段練習(xí))已知實數(shù)a,hc滿足：a+6+c=2,abc=4.求|a|+網(wǎng)+|c|的

最小值

【思路點(diǎn)撥】

用分類討論的思想，解決問題即可.

【解題過程】

解：不妨設(shè)。是a,b,c中的最大者，即a2b,a>c,由題設(shè)知a>0,

4

且b+c=2—a,be=a

于是b,c是一元二次方程/-(2-a)x+J=。的兩實根，

—(2—a)2—4x>0,BP(a2+4)(a—4)>0,

所以a>4.

又當(dāng)a=4,b=c=—1時，滿足題意.

故a,b,c中最大者的最小值為4.

因為abc=4>0,所以a,b,c為全大于0或一正二負(fù).

①若a,b,。均大于0,a,b,。中的最大者不小于4,這與a+b+c=2矛盾.

②若a,b,。為或一正二負(fù)，

不妨設(shè)a>0,b<0,c<0,貝力可+網(wǎng)+|c|=a—b—c=a—(2—a)=2a—2,

va>4,

故2a—226,

當(dāng)a=4,b=c=—l時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立.

故|a|+網(wǎng)+|c|的最小值為6.

故答案為：6.

6.(22-23九年級上?四川成都?期末)將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成。(％+九)2+々=0(QH0,〃、〃、

左均為常數(shù))的形式，如果只有系數(shù)。不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方

程”.已知關(guān)于x的一元二次方程a/+b%+c=o(aWO)與方程(％+1)2—2=0是“同源二次方程”，且方

程a/+bx+c=0(aHO)有兩個根為％1、x?,則b-2c=,ax1+xrx2+a%2的最大值是.

【思路點(diǎn)撥】

利用a%2+b》+c=o(a。。)與方程(％+1)2—2=0是“同源二次方程”得出b=2a,c=a—2,即可求出

b-2c；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得％1+久2=—2,%1%2=一，進(jìn)而得出+%1%2+。%2=—2

(a+?+l,設(shè)a+5=f(t>0),得口2一，。+1=0,根據(jù)方程1?a+1=o有正數(shù)解可知△=力2

-4>0,求出t的取值范圍即可求出a%i+%i%2+。%2的最大值.

【解題過程】

解：根據(jù)新的定義可知，方程a%2+b%+c=。(。。0)可變形為a(%+1)2-2=0,

.,.a(%+l)2—2=ax2+bx+c,

展開，ax2+2ax+a—2=ax2+bx+c,

可得b=2a,c=a—2,

:?b-2c=2a—2(a—2)=4；

一

,,ra2

.x1+%2=—2,%1%2=

.-.ax1+xrx2+ax2=a(x1+x2)+=-2a+^=-2(a+?+L

,??方程a/+b%+c=0(awO)有兩個根為小、％2，

.??△=b2—4ac=(2a)2—4a(a-2)=8a>0,且aW0,

：.a>0,

1

設(shè)a+^=t(t>0),得a?—t?a+1=0,

,方程a?—t-a+l=O有正數(shù)解，

=t2-4>0,

解得t22,即a+，22,

：.axx++a%2=—2(a+工)+1W—3.

故答案為：4,-3.

7.(23-24九年級上?山東濟(jì)南?期末)已知久y+x+y=44,x2y+xy2=484,求好+好.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了代數(shù)式求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、因式分解的應(yīng)用等知識點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)

知識成為解題的關(guān)鍵.

設(shè)%y=zn,x+y=n,等量代換后可得44=m+幾、484=mn,則zn、九為儼—44t+484=0的根，可解

得m=n=22,然后再對久3+y3變形后將7n=n=22代入計算即可.

【解題過程】

解：設(shè)久y=zn,x4-y=n,

44=xy+%+y=m+n,484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn,

:./為岸—44t+484=0的根,

???m=n=22,

?,?%3+y3=(%+y)(x2+y2—xy)

—(x+y)[(x+y)2—3xy]

=n[n2—3m]

=n3—3mn

=9196.

8.(2024九年級?全國?競賽)記一元二次方程/+3%—5=0的兩根分別為%i、%2?

11

(1)求丁一工1+丁%2-工的值；

(2)求3妊+6%1+好的值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解.在利用根與系數(shù)的關(guān)系/一2=；,%1+X2

=一2時，需要弄清楚a、b、c的意義.

a

(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求得求1在+占i的值的值；

(2)由一元二次方程的解可得就+3打一5=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【解題過程】

(1)+'2=—二一5,

11

------I-------

久1—1%2―1

%2-1+汽1—1

(%1—1)(%2—1)

+12—2

%1久2-(%1+%2)+1

-3-2

=-5-(-3)+1

-5；

(2)1?1X1是一元二次方程%2+3%-5=0的根，

+3%i—5=0,

-??+3%1=5,

又%1+%2=—3兩萬2——5,

???3xj+6%1+%2=2(3+3%t)+(%i+%2)2—2%I%2=29.

9.(23-24九年級下?北京?開學(xué)考試)已知關(guān)于x的方程好一2m+m2f=。有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求九的取值范圍；

(2)若71為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的較大根是較小根的3倍，求機(jī)的值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程a/+bx+c=0(a中0),當(dāng)判別

式A>0時方程有兩個不相等的實數(shù)根，△=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，A<0時方程沒有實數(shù)根，若方

程的兩個實數(shù)根為％1、久2，則%+尤2=—3，

(1)根據(jù)方程/-2mx+m2-n=0有兩個不相等的實數(shù)根得出判別式A>0,列出不等式即可得答案；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)果得出出直，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程求出山的值即可.

【解題過程】

(1)解：?關(guān)于x的方程x2-2?nx+?n2Tl=。有兩個不相等的實數(shù)根，

：.△=(—2m)—4(m2—n)>0,

解得：n>0.

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根為血、%2,且Xi>X2，

.,.%!+x2=2m,?久2=加？—n,

由(1)可知：n>0,

?力為符合條件的最小整數(shù)，

■?■n=1,

???該方程的較大根是較小根的3倍，

=3%2，

22

?\4%2=2m,3X2=m—1,

m224

.,.o3x—=mz—1,

解得：7nl=-2,m2=2.

當(dāng)m=2時，牝=1，則=3%2=3,符合題意，

當(dāng)m=—2時，久2=—1，則％i=3第2=—3V%2，與％1>%2不符，舍去,

.,.m=2.

10.（23-24九年級上?安徽淮南?階段練習(xí)）若關(guān)于％的一元二次方程/+2%-m2-m=0.

（1）若仇和口分別是該方程的兩個根，且四？=一2,求zn的值；

（2）當(dāng)租=1,2,3,…，2024時，相應(yīng)的一元二次方程的兩個根分別記為刖、/?i，的、角，

111111

戊2024、02024,求工+瓦+石+石+…+工嬴+說的值?

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的+久2=-可得：［+=='=高，進(jìn)一步可

CL341人2人1人2ill?ill

II

尋找=+=的規(guī)律，即可求解

【解題過程】

（1）解：?.?關(guān)于X的一元二次方程%2+2x-m2-m=0,a和0分別是該方程的兩個根,

:.鄧=—m2—m

'：a/3=—2,

???—2=—m2—m

.,.m=1或TH=-2；

(2)解：設(shè)方程/+2%—血2—7n=o的兩個根為：％1，%2

.bc、

z

貝+x2=--=—2,%],x2="=—m—m,

i1_久i+犯_22

"%1'x2xyx2-rn7+rn~m(m+l')

112112112

?—i———,―|———---———---

,--

Bi—lx2a2P22x3'?3P33x4

112

仇2024夕20242024X2025

111111c1

一+才+—+Q+…+-----+7—=2x(------1--------F...H--------------

?iPI。2P2。2024P2024Vlx22x32024x2025-

…/11111\

=2X-2+2-3++2024-2025/

=2X(1-2025)

_4048

=2025

11.(22-23九年級上?湖北武漢?期中)己知a、￡是關(guān)于x的一元二次方程%2+(2巾+3)久+巾2=。的兩個

不相等的實數(shù)根

(1)直接寫出m的取值范圍

(2)若滿足5+￡=—1,求加的值.

(3)若a>2,求證：0〉2；

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)一元二次方程/+(2巾+3)X+巾2=0的兩個不相等的實數(shù)根，得△>(),即可列式作答；

(2)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得a+￡=—(2爪+3)和a￡=m2,因為十+/=—1,所以誓

=1,解得mi=3,m2=-1,結(jié)合加>一點(diǎn)即可作答；

(3)因為(a-2)(0—2)=a￡-2(a+0)+4,結(jié)合a+￡=-(2m+3)和得m2+2(2m+3)+4=

(m+2)2+6,則(a—2)(/?—2)N6>0,又因為a>2,即可證明0>2.

【解題過程】

(1)解：,?一元二次方程/+(2m+3)%+mz=0的兩個不相等的實數(shù)根

—b2—4ac=(2m+3)2—4xIxm2-4m2+12m+9—4m2-12m+9>0,

即>-|；

(2)解：3+.=魯+苴=等=-1，且a+S=_?=_(2zn+3),a/3=^=m2

2m+3y

=1

整理得巾2一2巾一3=0,

解得：mi-3,m2--1

3

,?,由(1)知m>-

：.m=3

檢驗：當(dāng)m=3時，m20,即?n=3；

(3)證明：因為(a-2)GB—2)=a0-2(a+0)+4,

把a(bǔ)+￡=-(2m+3)和a/?=代入上式，

得血2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6,

v(m+2)2>0,

.,.(m+2)2+6>6

.-.(a-2)(/?-2)>6>0

va>2,

.'.tz—2>0,

—2>0,

即3>2.

12.(22-23九年級?浙江?自主招生)已知方程/+4%+1=0的兩根是a、￡.

(1)求［一例的值;

⑵求伊第的值;

(3)求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于a、￡的倒數(shù)的立方.(參考公式：%3+y3=(x+y)

(x2+y2—xy).

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+/?=—4,a萬=1,再求得(a—0產(chǎn)的值，進(jìn)而求得|a一0的

值.

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將g+E化為嗎+理，然后通分化簡可得毒，最后將a+￡=—4,a￡=l代

707aVPva\JaP

入計算即可；

(3)由題意可得新一元二次方程的兩個根為G)3和0)3,然后求得?)3+@)3和弓丫弓丫的值，然后根據(jù)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解答.

【解題過程】

(1)解：?方程/+4x+1=0的兩根是a、B

??.a+/?=—4,a/?=1

??.(a-0)2=(a+0)2—4鄧=12

??\oc-—2V3；

（2）解：由（1）可知：a<0,8V0,

a2+儼

——+2

ap

(a+0)2—2aB

+2

鄧

=16,

q+Z?卜2+62j_'

—ap[a2p2—鄧

a+0[(a+S)2_2aS1

一鄧[a?侯一鄧

-4T16-2

=-52

W\p)=\ap)=1

所以新的一元二次方程/+52%+1=0.

13.（22-23九年級上?福建泉州?期末）已知關(guān)于%的方程6%2一（血_1）%+2=0有實數(shù)根.

（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求他的值；

（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)血的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)關(guān)于％的方程m%2—（7n—i）%+2=0有兩個根，且為實數(shù)根，先利用一元二次方程的根的判別式

確定血的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知不+%2=詈，若方程的兩根之和為整數(shù),

即三為整數(shù)，即可確定血的值;

(2)分兩種情況討論：當(dāng)m=0時，此時關(guān)于x的方程為％+2=0,求解可得刀=一2,符合題意；當(dāng)mH0

5-1)士乎-1。團(tuán)把

時，對于關(guān)于％的方程加久2—(7n-1戶+2=?？捎?=,若方程的根為有理根，且小為整

數(shù)，貝3=爪2-io7n+i為某一有理數(shù)的平方，據(jù)此分析即可獲得答案.

【解題過程】

(1)解：?.?關(guān)于x的方程血/-(m-l)x+2=0有兩個根，且為實數(shù)根，

：.mH0,且4=[—(m—I)]2—4mX2=m2—10m+1>0,

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知XI+X2=—『

若方程的兩根之和為整數(shù)，即*為整數(shù)，

m—1.1

?年是整數(shù)，

.-.m=±1,

當(dāng)m=1時，A=l—10+1=—8<0,不符合題意；

當(dāng)m=-1時，△=1+10+1=12>0,—=^=2,為整數(shù)，符合題意；

771—1

m的值為一1;

(2)當(dāng)巾=0時，此時關(guān)于％的方程為x+2=0,解得x=-2；

MD土喘T°m+

當(dāng)m力0時，對于關(guān)于x的方程爪/-(m_i)x+2=0的根為：x=士

若方程的根為有理根，且小為整數(shù)，

則A=m2—10m+1為完全平方數(shù)，

設(shè)加2—10m+1=/(々為正整數(shù))，

則：m=10±V100-4+4fc2=5±V^T^；

??,M為整數(shù),

設(shè)24+42=九2(九為正整數(shù))，

???(fc+n)(n—fc)=24,

ffc+n=12_pf/c+n=6_p.fk+n=8+幾=24

,?(n-k=2或3-k=4或bi-k=3或tn—々=1'

f5

-5￡-1c--323

解得

或k,=—

ffc-7-5-

n(不合題意，舍去)或分(不合題意，舍去)

ln2-n——

222

.-.m—10m4-1=l=1或nt2—107Tl+1=5=25；

當(dāng)血2—107n+i=i時，解得m=10或m=0（舍去）；

當(dāng)m2—10m+1=25時，解得m=—2或m=12,

綜上所述，若方程的根為有理根，則整數(shù)血的值為0或10或-2或12.

14.（22-23九年級下?浙江?自主招生）設(shè)加為整數(shù)，關(guān)于％的方程（租2+血—2）/—（7m+2）%+12=0有

兩個整數(shù)實根.

（1）求m的值.

2222

（2）設(shè)△ABC的三邊長a,瓦c滿足c=4y/2fm+am—12a=0,m+bm—12b=0.求△ZBC的面積.

【思路點(diǎn)撥】

（1）設(shè)原方程的兩個解分別為X1,X2,根據(jù)兩個整數(shù)實根，則久1+%2=；7，X1X2=；^J都是整數(shù)，進(jìn)

771^+771—ZHl^-rnT-Z

而分類討論，即可求解；

（2）由（1）得出的他的值，然后代入將tn?+Q27n—12。=0,TH?+匕27n一管力=0進(jìn)行化簡，得出a,b

的值.然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a,力的值，用三角形的面積公式得出三角形的面積.

【解題過程】

（1）解：vm2+m—2W0,

.,.mH—2或zn=1,

???方程有兩個實數(shù)根，

=b2—4ac—[—（7m+2）]2—4x12x（m24-m-12）

=m2—20m+580=（m—10）2+480>0

設(shè)原方程的兩個解分別為%1，%2

?.%+%2=當(dāng)/62=洋都是整數(shù)，

.*.m2+m—2=1,2,3,4,6,12

m2+m-2=l,解得：皿=譚叵（舍去）

m2+m—2=2,解得：m=匚4叵（舍去）

m2+m-2=3,解得：m=匚1且（舍去）

m2+m—2=4,解得：m=—3或zn=2

m2+m—2=6,解得：蓄至（舍去）

m2+m—2=12,解得：m=T±J麗(舍去)

當(dāng)爪=一3時，肅三=半=—9不是整數(shù)，舍去

當(dāng)血=2時，=寧=4符合題意，

綜上所述，m=2；

(2)把m=2代入兩等式，化簡得十一6。+2=0,b2-6b+2=0,

當(dāng)a=b時，a=b=3±V7,

當(dāng)aHb時，a、b是方程/—6%+2=0的兩根，而A>0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，?+/?=6>0,ah=2>0,則a>0、h>0,

①a豐b,c=4近時，由于M+ZJ2=(a+b)2—2ab=36—4=32=",

故△4BC為直角三角形，且NC=90。，SA4BC=%b=L

@a=b=3—V7,c=4V^■時，因2(3—V7)<4金，

故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去；；

③a=b=3+V7,c=4四時，因2(3+77)>4或，故能構(gòu)成三角形，

SA4BC=5x4V^xJ(3+VT)2—(2>/^)-4-\/4+；

綜上，△ABC的面積為1或4j4+3V7.

15.(22-23九年級上?湖南常德?期中)閱讀材料：

材料1：若關(guān)于x的一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的兩個根為久1，%2>則問+冷=一去向久2=*

材料2:已知一元二次方程%2-久一1=0的兩個實數(shù)根分別為加，"，求7712n+7ral2的值.

解：?.?一元二次方程%2一萬一1=0的兩個實數(shù)根分別為m,n,

2

：.m+n=1,mn=—1,則m2n+mn=mn(m+n)=—1x1=—1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：

(1)材料理解：一元二次方程%2-3^-1=0的兩個根為X1，*2，則打+冷=,%1%2=

(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程3X—1=0的兩根分別為〃八"，求3+：的值.

(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足s2—3s—1=0,t2—3t—1=0,且SKt,求g—寺的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；

(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出m+n=—5=3,nm=￡=-l,再根據(jù)/+：=*/=

⑺+哈2叫最后代入求值即可；

(3)由題意可將s、f可以看作方程式—3x—1=0的兩個根，即得出s+t=—9=3,s-t=^=-l,從而

可求出(t—s)2=(t+s)2—4st=13,即t—5=相或1—s=-V13,最后分類討論分別代入求值即可.

【解題過程】

(1)解：,?,一元二次方程/一3%-1=0的兩個根為Xi，x2,

,b-3Qci]

■■■X1+x2=x1-x2=-=--=-l.

故答案為：3,-1；

(2)v,一■元二次方程N(yùn)—3%—1=0的兩根分別為m、n,

.bc

,.m+n=--=3,mn=-=-l,

?巴+?=*+九2

"mn-mn

(m+n)2—2mn

mn

_32-2x(-1)

==4

=-11;

(3)?實數(shù)s、，滿足s2—3s—1=0,t2—3t—1=0,

??.s、，可以看作方程%2-3x-l=。的兩個根，

bc

■--s+t=--=3,st=-=-l,

v(t—S)2=(t+s)2—4st

=32-4x(-1)

=13

?*t—s="\/13或t—s=—V13,

當(dāng)t-s=VH時，

當(dāng)t-s=—VH時,

:十,等=相，

綜上分析可知，：一3的值為vn或一6?.

16.(23-24八年級上?北京海淀?期中)小聰學(xué)習(xí)多項式研究了多項式值為0的問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)mx+n=?；?/p>

px+q=0時，多項式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值為0,把此時x的值稱為多項

式/的零點(diǎn).

(1)已知多項式(3x+1)(久一2),則此多項式的零點(diǎn)為；

(2)已知多項式B=Q—l)(bx+c)=a/—缶―1萬一箱一個零點(diǎn)為1,求多項式8的另一個零點(diǎn)；

(3)小聰繼續(xù)研究(x—3)(x—1),xQ—4)及(％—|)(x—|)等，發(fā)現(xiàn)在x軸上表示這些多項式零點(diǎn)的兩個

點(diǎn)關(guān)于直線久=2對稱，他把這些多項式稱為“2系多項式”.若多項式M=(2ax+b)(cx—5c)=b/

—4cx—2a—4是“2系多項式"，求a與c的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)多項式的零點(diǎn)的定義即可求解；

(2)根據(jù)多項式的零點(diǎn)的定義將％=1代入a/—缶―1戶—5=0,求得a=2,再解一元二次方程即可求

解；

⑶令ex—5c=0,求得M的一個零點(diǎn)為5,根據(jù)“2系多項式”的定義求得方程b/—4cx—2a—4=0的兩

個根為/=—1,肛=5,再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【解題過程】

(1)解：令(3x+l)(x—2)=0,

.,-3x+1=0或1—2=0,

,%=—百或%=2,

則此多項式的零點(diǎn)為一!或2；

故答案為：—或2；

(2)解：???多項式B=(x—l)(bx+c)=a/一缶―1戶—|有一個零點(diǎn)為1,

.,.將x=1代入a/—(a—l)x—|=0,得a—(a—1)—1=0,

解得Q=2,

：.B=2x2-x-l=(x-l)(2x+1),

-1

令2x+l=0,解得工二一了

???多項式3的另一個零點(diǎn)為一,；

(3)解：,."=(2ax+6)(cx—5c)=b/_4cx—2a—4是“2系多項式”，

令ex—5c=0,解得x=5,即M的一個零點(diǎn)為5,

???設(shè)M的另一個零點(diǎn)為y,則亨=2,解得丫=一1,

即2。％+b=0時，x=—1,則—2a+b=0①，

令M=bx2—4cx—2a—4=0,

根據(jù)題意，方程b%2一4次一2。-4=0的兩個根為久1=一1,%2=5,

4c^—2ci^^4

???Xi+%2=—丁=5+(—1)=4,打?犯二衛(wèi)=5x(—1)=—5,

：.c=b(2),5b—2Q—4=0③，

解①②③得c=b=1,a=1,

1-

?t?Cl~~jc-1.

17.(22-23九年級上?湖北黃石?期末)(1)%i，*2是關(guān)于%的一元二次方程好―2(/￡+1*+/+2=0的

兩實根，且(久1+1)-(%2+1)=8,求k的值.

22

(2)已知：a,夕(a>°)是一元二次方程/一%-1=0的兩個實數(shù)根，設(shè)Si=a+0,s2=a+)5,

5?=腔+優(yōu).根據(jù)根的定義，有a?—a—1=0,-=3將兩式相加，得(a?+尸)—g+0)

—2=0,于是，得$2—5i—2=0.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

①直接寫出Si，S2的值.

②經(jīng)計算可得：S3=4,s=11,當(dāng)nN3時，請猜想s”s—i，s_2之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給

S4=7,5n

出證明.

【思路點(diǎn)撥】

2

(1)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出句+%2=2(k+l),xi%2=fc+2.由(久i+1)(*2+1)=8,

可得X1X2+(X1+X2)+1=8,即得出關(guān)于k的一元二次方程，解出k的值，再根據(jù)一元二次方程根的判別

式驗證，舍去不合題意的值即可；

（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+￡=—?=l,aS=?=—1,進(jìn)而可求出si=a+0=1,

222

s2=a+p=Qa+/?）—2a/?=3；②由一元二次方程的解的定義可得出a?—a—1=0,兩邊都乘以

an-2,得：a11—an-i—an-2=0①，同理可得：優(yōu)一仗t一印.=0②，再由①+②，得：（d+優(yōu)）一

n

（a"T+伊t）-（a52+仗—2）=o.最后結(jié)合題意即可得出S"-sn—-sn_2=（a+段）一（即一1+印一）

n

一（a-2+儼-2）=0,即Sn=Sn_i+Sn_2.

【解題過程】

解：(1)TX1，X2是關(guān)于X的一元二次方程/一2(卜+1戶+k2+2=0的兩實根,

2

.b-2(Zc+l)ck+2j7?Q

+%2=—~=-------—=2(fc+1),%i%2=-=-y=+2,

???(Xi+1)(%2+1)=xlx2+(X1+%2)+1=々2+2+2(/c+1)+1=8,

整理，得：fc2+2/c-3=0,

解得：ki=-3,攵2=1.

當(dāng)憶=-3時，A=b2—4ac=[-2(fc+l)]2-4(fc2+2)=