人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題1.1 集合的概念-重難點(diǎn)題型精講+檢測(cè)（原卷版）

第第頁(yè)專題1.1集合的概念-重難點(diǎn)題型精講1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．(3)無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．4．常用的數(shù)集及其記法5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．(2)具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．【題型1集合的基本概念】【方法點(diǎn)撥】給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對(duì)象”都是這個(gè)集合的元素，沒(méi)有被“研究的對(duì)象”都不是這個(gè)集合的元素．【例1】下列對(duì)象不能組成集合的是（）A．不超過(guò)20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值【變式1-1】以下各組對(duì)象不能組成集合的是（）A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實(shí)數(shù)解 D．周長(zhǎng)為10cm的三角形【變式1-2】下列各對(duì)象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù) B．北附廣南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020～2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生 C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué) D．中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家【變式1-3】有下列各組對(duì)象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；④直角三角形的全體．其中能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2判斷元素與集合的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例2】下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】下列關(guān)系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【變式2-2】下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A．﹣1∈N B．0?N* C．3∈Q D．【變式2-3】設(shè)集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x?B，則x的值為（）A．2 B．3 C．5 D．6【題型3利用集合中元素的特異性求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①集合問(wèn)題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問(wèn)題時(shí)，要明確集合中的元素是什么；②構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書(shū)寫(xiě)時(shí)可以不考慮先后順序(無(wú)序性)．③利用集合元素的特性求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【例3】設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【變式3-1】若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【變式3-2】已知集合A含有三個(gè)元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【變式3-3】已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【題型4用列舉法表示集合】【方法點(diǎn)撥】①求出集合的元素；②把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次．③用花括號(hào)括起來(lái)．【例4】集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【變式4-1】集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【變式4-2】集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【變式4-3】將集合{（x，y）|x+y=52x?y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【題型5用描述法表示集合】【方法點(diǎn)撥】①用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．②用描述法表示集合時(shí)，若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或取值范圍．③多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合內(nèi)．【例5】用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合．【變式5-1】用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合．【變式5-2】用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合．【變式5-3】平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合可以用描述法表示為．【題型6集合中的新定義問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問(wèn)題，結(jié)合集合的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【變式6-2】設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A?B中所有元素之積為（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【變式6-3】定義集合運(yùn)算：A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{2，0}，B＝{0，8}，則集合A?B的所有元素之和為（）A．16 B．18 C．20 D．22集合的概念-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．下列集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x} D．M＝{3，2}，N＝{2，3}2．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若a∈Z，則﹣a?Z B．R中最小的元素是0 C．“3的近似值的全體”構(gòu)成一個(gè)集合 D．一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素3．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，則B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}4．若用列舉法表示集合A＝{（x，y）|2y?x=7A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知集合A中含有5和a2+2a+4這兩個(gè)元素，且7∈A，則a3的值為（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣277．集合{1，3，5，7}用描述法表示出來(lái)應(yīng)為（）A．{x|x是不大于7的非負(fù)奇數(shù)} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7}8．設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20二．多選題9．下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．擁有手機(jī)的人 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題 C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)10．已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，則a為（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣111．下面四個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1，1} D．0與{0}表示同一個(gè)集合12．設(shè)M、N是兩個(gè)非空集合，定義M?N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，則P?Q中元素的個(gè)數(shù)不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6三．填空題13．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一個(gè)元素，則a的取值范圍是．14．集合A={x∈N|83?x∈N?}，用列舉法可以表示為15．已知x∈{1，2，x2﹣x}，則實(shí)數(shù)x為．16．設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，P中含有0，2兩個(gè)元素，Q中含有1，6兩個(gè)元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是．四．解答題17．已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．18．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑息俜匠蘹（x2+2x+1）＝0的解集；②在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合．19．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）方程組2x?（2）1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所構(gòu)成的集合；（3）直角坐標(biāo)平面上的第二象限內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的集合；（4）所有三角形構(gòu)成的集合．20．設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則11?a∈A