人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題1.1 集合的概念-重難點題型精講+檢測（原卷版）

第第頁專題1.1集合的概念-重難點題型精講1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．4．常用的數(shù)集及其記法5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．【題型1集合的基本概念】【方法點撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】下列對象不能組成集合的是（）A．不超過20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值【變式1-1】以下各組對象不能組成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實數(shù)解 D．周長為10cm的三角形【變式1-2】下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù) B．北附廣南實驗學校2020～2021學年度第二學期全體高一學生 C．高一年級視力比較好的同學 D．中國著名的數(shù)學家【變式1-3】有下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點O的距離等于1的點的全體；④直角三角形的全體．其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2判斷元素與集合的關(guān)系】【方法點撥】直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例2】下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】下列關(guān)系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【變式2-2】下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A．﹣1∈N B．0?N* C．3∈Q D．【變式2-3】設(shè)集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x?B，則x的值為（）A．2 B．3 C．5 D．6【題型3利用集合中元素的特異性求參數(shù)】【方法點撥】①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；②構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【例3】設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【變式3-1】若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【變式3-2】已知集合A含有三個元素2，4，6，且當a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【變式3-3】已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【題型4用列舉法表示集合】【方法點撥】①求出集合的元素；②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．③用花括號括起來．【例4】集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【變式4-1】集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【變式4-2】集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【變式4-3】將集合{（x，y）|x+y=52x?y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【題型5用描述法表示集合】【方法點撥】①用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．③多層描述時，應(yīng)當準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．【例5】用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合．【變式5-1】用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合．【變式5-2】用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合．【變式5-3】平面直角坐標系中坐標軸上所有點的坐標組成的集合可以用描述法表示為．【題型6集合中的新定義問題】【方法點撥】根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合的相關(guān)知識，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【變式6-2】設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A?B中所有元素之積為（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【變式6-3】定義集合運算：A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{2，0}，B＝{0，8}，則集合A?B的所有元素之和為（）A．16 B．18 C．20 D．22集合的概念-重難點題型檢測一．選擇題1．下列集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x} D．M＝{3，2}，N＝{2，3}2．下列說法中，正確的是（）A．若a∈Z，則﹣a?Z B．R中最小的元素是0 C．“3的近似值的全體”構(gòu)成一個集合 D．一個集合中不可以有兩個相同的元素3．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，則B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}4．若用列舉法表示集合A＝{（x，y）|2y?x=7A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知集合A中含有5和a2+2a+4這兩個元素，且7∈A，則a3的值為（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣277．集合{1，3，5，7}用描述法表示出來應(yīng)為（）A．{x|x是不大于7的非負奇數(shù)} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7}8．設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20二．多選題9．下列各組對象能構(gòu)成集合的是（）A．擁有手機的人 B．2020年高考數(shù)學難題 C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)10．已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，則a為（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣111．下面四個說法中錯誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1，1} D．0與{0}表示同一個集合12．設(shè)M、N是兩個非空集合，定義M?N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，則P?Q中元素的個數(shù)不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6三．填空題13．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一個元素，則a的取值范圍是．14．集合A={x∈N|83?x∈N?}，用列舉法可以表示為15．已知x∈{1，2，x2﹣x}，則實數(shù)x為．16．設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，P中含有0，2兩個元素，Q中含有1，6兩個元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，則P+Q中元素的個數(shù)是．四．解答題17．已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三個元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．18．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑息俜匠蘹（x2+2x+1）＝0的解集；②在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合．19．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）方程組2x?（2）1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所構(gòu)成的集合；（3）直角坐標平面上的第二象限內(nèi)的點所構(gòu)成的集合；（4）所有三角形構(gòu)成的集合．20．設(shè)A是由一些實數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則11?a∈A