專題09 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）（云南專用）（解析版）

專題09二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01二次函數(shù)與不等式 1題型02根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解 9題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題 15題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合 23題型05二次函數(shù)與實(shí)際問題 27中考練場(chǎng) 35 題型01二次函數(shù)與不等式【解題策略】二次函數(shù)與不等式的關(guān)系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠?取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無(wú)解無(wú)解【其它情況】1）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；2）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．【典例分析】例1．（2023·浙江）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax（a是常數(shù)，a<0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y=?3a的上方，且A．1<m<32 B．43<m<2 C．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵a<0，∴y=?3a>0，∵點(diǎn)A，B都在直線y=?3a的上方，且y1可列不等式：4am∵a<0，可得4m設(shè)拋物線y1=4m∴4m2?8m+3<0可看作拋物線y當(dāng)y1=0時(shí)，可得解得m1∵4>0，∴y∴4m2?8m+3<0根據(jù)題意還可列不等式：am∵a<0，∴可得m2整理得?3m設(shè)拋物線y2=?3m∴?3m2+4m<0可看作拋物線y當(dāng)y2=0時(shí)，可得解得m1∵?3<0，∴拋物線y2∴?3m2+4m<0的解為m<0綜上所述，可得43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽模擬）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是A.?1<x<5 B.x>5

C.x<?【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，對(duì)稱軸為直線x=2，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，又∵拋物線開口向下，∴不等式ax2+bx+c<0故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，二次函數(shù)的性質(zhì)，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(?1,p)，B(3,q)兩點(diǎn)，則不等式axA.x>?1 B.x<3

C.x<?1或x>3 D.?1<x<3【答案】C

【解析】解：∵拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(?1,p)，B(3,q)兩點(diǎn)，

∴拋物線y=ax2+c與直線y=?mx+n交于(1,p)，(?3,q)兩點(diǎn)，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x<?3或x>1時(shí)，拋物線y=ax2+c在直線y=?mx+n的上方，

∴不等式ax2+c>mx+n的解集為x<?1或x>3，

即不等式ax22．（2023·江蘇）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx?4的圖像與x

(1)b=_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)?1；(2)k≤?3；(3)3,?52或【分析】（1）把A(?2,0)代入y=1（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)Dm,12m2平移后得拋物線為y=1（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為Pp,12p2?p?4，根據(jù)原拋物線y=1【詳解】（1）解：把A(?2,0)代入y=10=1解得b=?1，故答案為?1；（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵b=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=設(shè)Dm,∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=∴tan∠AOD=解得m=?1或m=8（舍去），當(dāng)m=?1時(shí)，12∴D?1,?∵y=1∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為y=1把D?1,?52代入y=解得a=3或a=?1（舍去），∴平移后得拋物線為y=∵過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在y=12x+32?92的對(duì)稱軸x=?3的左側(cè)，y∴k≤?3；（3）解：由y=12x?12?∵頂點(diǎn)為Pp,q在y=∴q=1∴平移后的拋物線為y=12x?p∵原拋物線y=1∴原拋物線的頂點(diǎn)C1,?92∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，∴Q1,∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵△PCQ是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴QC∴p2?2p?7∴p=1（舍去），或p=3或p=?1，當(dāng)p=3時(shí)，12當(dāng)p=?1時(shí)，12∴點(diǎn)P坐標(biāo)為3,?52或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)y≤?2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)y=x2+2x?5(2)?3≤x≤1【分析】（1）把A(1,?2)和B(0,?5)代入y=x（2）把y=?2代入函數(shù)解析式求解x的值，再利用函數(shù)圖象可得y≤?2時(shí)x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)∴c=?51+b+c=?2，解得：b=2∴拋物線為y=x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：?1,?6；（2）當(dāng)y=?2時(shí)，x+12∴x+1解得：x1=1，

如圖，當(dāng)y≤?2時(shí)，∴?3≤x≤1．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．題型02根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解【解題策略】拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對(duì)稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.【典例分析】例1．（2023·遼寧）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，0A．a(chǎn)bc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而得出abc的正負(fù)；利用對(duì)稱軸為直線x=1，可得出2a+b與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，可得出b2與4ac的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為3，0【詳解】解：A、由二次函數(shù)的圖形可知：a>0，b<0，B、因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，則?b2a=1C、因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2?4ac>0，即D、因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為3，0，且對(duì)稱軸為直線x=1，所以它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，正確求得a，b，c的正負(fù)以及巧妙利用拋物線的對(duì)稱軸是解決問題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖南）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)

【答案】4【分析】與拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1+32=2，由CD∥x軸，可得【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1+3∵當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即C0,c∵CD∥x軸，∴C，D關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴D4,c∴CD=4?0=4；故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查的是利用拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解對(duì)稱軸方程，熟練的利用拋物線的對(duì)稱性解題是關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·浙江）設(shè)二次函數(shù)y=ax?mx?m?k(a>0,m,k是實(shí)數(shù))A．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a B．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2aC．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a D．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2a【答案】A【分析】令y=0，則0=ax?mx?m?k，解得：x1=m，x2=m+k，從而求得拋物線對(duì)稱軸為直線【詳解】解：令y=0，則0=ax?m解得：x1=m，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=當(dāng)k=2時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+1，把x=m+1代入y=ax?mx?m?2，得∵a>0∴當(dāng)x=m+1，k=2時(shí)，y有最小值，最小值為?a．故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)k=4時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=m+2，把x=m+2代入y=ax?mx?m?4，得∵a>0∴當(dāng)x=m+2，k=4時(shí)，y有最小值，最小值為?4a，故C、D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對(duì)稱軸．利用拋物線的對(duì)稱性求出拋物線對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．2.（2023·湖南）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對(duì)稱軸，則下列說(shuō)法正確的是

(

)

A.b恒大于0 B.a，b同號(hào)

C.a，b異號(hào) D.以上說(shuō)法都不對(duì)【答案】C

【解析】解：∵直線l為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對(duì)稱軸，

∴對(duì)稱軸為直線x=?b2a>0，

當(dāng)a<0時(shí)，則b>0，

當(dāng)a>0時(shí)，則b<0，

∴a，b異號(hào)，

故選：C．

先寫出拋物線的對(duì)稱軸方程，列出不等式，再分3.（2023·湖北）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?3,0)，且對(duì)稱軸為直線x=?1.有以下結(jié)論：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③當(dāng)?2<x1<?1A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C

【解析】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)C(?3,0)，且對(duì)稱軸為直線x=?1，

所以由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)(1,0)也在拋物線上．

將(1,0)代入二次函數(shù)解析式得，

a+b+c=0．

故①正確．

因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x=?1，

所以?b2a=?1，即b?2a=0．

又a+b+c=0，

則將a=?b?c代入b?2a=0得，

2c+3b=0．

故②正確．

因?yàn)?2<x1<?1，0<x2<1，

所以點(diǎn)A離對(duì)稱軸更近．

則當(dāng)a>0時(shí)，y1<y2；

當(dāng)a<0時(shí)，y1>y2．

故③錯(cuò)誤．

由ax2+bx+c=k(x+1)得，

ax2+(b?k)x+c?k=0．

又a+b+c=0，2c+3b=0，

得b=?23c,a=?13c．

則(b?k)2?4a(c?k)

=(?23c?k4．（2023·北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Mx1,y1，N(1)若對(duì)于x1=1，x2=2有(2)若對(duì)于0<x1<1，1<x2【答案】(1)t=(2)t≤【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得x1,y1離對(duì)稱軸更近，x1<x2，則【詳解】（1）解：∵對(duì)于x1=1，x2∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=x∵拋物線的對(duì)稱軸為x=t．∴t=3（2）解：∵當(dāng)0<x1<1∴12<x∵y1<y∴x1,y1離對(duì)稱軸更近，x1∴x1即t≤1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題【解題策略】二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）平移與增加性變化如果平移后對(duì)稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會(huì)改變函數(shù)最大(小)值.只對(duì)二次函數(shù)上下平移，不改變?cè)鰷p性，改變最值.只對(duì)二次函數(shù)左右平移，改變?cè)鰷p性，不改變最值.3）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)【答案】(1)y=?(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．【詳解】（1）解：由翻折可知：C0,2令x2?x?2=0，解得：x1∴A?1,0，B設(shè)圖象W的解析式為y=ax+1x?2，代入C0,2∴對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=?x+1x?2=?x（2）解：聯(lián)立方程組y=?x+by=?整理，得：x2由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)；（3）解：存在．如圖1，當(dāng)CN∥OB時(shí)，△OBC∽△NMC，此時(shí)，N與C關(guān)于直線x=∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴P1,0如圖2，當(dāng)CN∥OB時(shí)，△OBC∽△NMC，此時(shí)，由x2?x?2=2，解得x1∴N的橫坐標(biāo)為1+17所以P1+如圖3，當(dāng)∠NCM=90°時(shí)，△OBC∽△CMN，此時(shí)，直線CN的解析式為y=x+2，聯(lián)立方程組：y=x+2y=x2?x?2，解得∴N的橫坐標(biāo)為1+5所以P1+因此，綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為1,0或1+172,0【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，綜合體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于綜合題型，有點(diǎn)難度．【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y=x交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M【答案】3【分析】本題考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，旋轉(zhuǎn)的選擇、勾股定理的應(yīng)用，利用逆向思維，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、M'的關(guān)系，是本題的突破點(diǎn)．直線y=x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到x=0，求得拋物線與y軸的交點(diǎn)M'，M'繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到M【詳解】解：直線y=x繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到x=0，設(shè)拋物線y=2(x+1)2+1與y∵拋物線y=2(x+1)∴x=0時(shí)，y=3，∴M設(shè)點(diǎn)Mm,m由題意得：OM=OM∴m∴m=3∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為32故答案為：32.（2024·四川模擬）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(x?1)2+4(2)①m=4，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x?1)2+4（2）①過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因?yàn)椤螦BE=∠DBA，證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE?BD，將BD=2(m+1)，BE=2，AE=4②根據(jù)上問可以得到C7,?4，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，B?1,0，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊形為BCMQ；2）當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊形為BCQM；3）當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，存在平行四邊形為【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x?1)又∵B(?1,0)，∴0=a(?1?1)解得：a=?1，∴y=?(x?1)2+4（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，∴m>0，∴BP=m+1，由旋轉(zhuǎn)可得：BD=2BP，∴BD=2(m+1)，過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∴BE=2，AE=4，在Rt△ABE中，A當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，AD⊥AB，∴∠BAD=∠BEA=90°，又∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB∴4(m+1)=20，解得m=4；②由題可得點(diǎn)A1,4與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P∴C7,?4∵點(diǎn)M在直線x=4上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，1）、當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ，點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q?4,y1解得：y1∴Q(?4,?21)，2）、當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM，點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q12,y2解得：y2∴Q(12,?117)，3）、當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q2,y3得：y3∴Q(2,3)，綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對(duì)稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合【解題策略】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac?增減性a>0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小.【典例分析】例1．（2024·貴州模擬）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=?A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像確定a，b，c的正負(fù)，即可確定一次函數(shù)y=ax+b所經(jīng)過的象限和反比例函數(shù)y=?c【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像開口向上，對(duì)稱軸在y軸左邊，與y∴a>0，?b2a<0∴b>0，-c>0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y=?c故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練并靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式演練】1.（2022·湖南）已知二次函數(shù)y=ax2+bx?c(a≠0)，其中b>0，c>0，則該函數(shù)的圖象可能為A. B.

C. D.【答案】C

【解析】∵c>0，∴?c<0，∴函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，故排除A，D選項(xiàng).當(dāng)a>0時(shí)，∵b>0，∴對(duì)稱軸x=?b2a<0，故排除B選項(xiàng).當(dāng)a<0時(shí)，∵b>0，∴對(duì)稱軸x=?b2a>0，故2.（2022·廣西）已知反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx?a(c≠0)和二次函數(shù)y=ax2A.

B.

C.

D.【答案】D

【解析】解：∵反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象位于一、三象限，

∴b>0；

∵A、B的拋物線都是開口向下，

∴a<0，根據(jù)同左異右，對(duì)稱軸應(yīng)該在y軸的右側(cè)，

故A、B都是錯(cuò)誤的．

∵C、D的拋物線都是開口向上，

∴a>0，根據(jù)同左異右，對(duì)稱軸應(yīng)該在y軸的左側(cè)，

∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

∴c<0

由a>0，c<0，排除C．

故選：D．

本題形數(shù)結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象位置，可判斷b>0；再由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象性質(zhì)，排除A3.（2023·浙江）拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出ax【詳解】解：∵拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于∴kx=ax∴ax∴x∵x1∴k當(dāng)a>0，k<當(dāng)a<0，k>綜上所述，y=ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系公式．題型05二次函數(shù)與實(shí)際問題【解題策略】用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤(rùn)最大問題是否存在最大利潤(rùn)問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。【注意】自變量的取決范圍。利用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題的方法：首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．【典例分析】例1．（2023·上海）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x+m)2+k(a<0).某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如圖．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為(

)水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A.23.20cm B.22.75cm C.21.40cm D.23cm【答案】A

【解析】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(8,23.20)，

∴k=23.20，

即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m，

故選：A．

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．例2．（2023·黑龍江）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)，設(shè)BF=x米，BE=y米．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多(窗戶的面積最大)，并計(jì)算窗戶的最大面積．【答案】解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，

∴BF=CF，AF⊥BC，AB=AC，

∵BF=x米，

∴CF=x米，BC=2BF=2x米，

∵AF：BF=3：4，

∴AF=34x米，

在Rt△AFB中，由勾股定理得AB=AF2+BF2=(34x)2+x2=54x米，

∴AC=AB=54x米，

∵點(diǎn)G、H分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∠AFB=∠AFC=90°，

∴FG=12AB=58x米，F(xiàn)H=12AC=58x米，

∵四邊形BCDE是矩形，

∴ED=BC=2x米，BE=CD=y米，

∵BE//IJ//MN//CD，

∴BE=IJ=MN=CD=y米，

∵制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米，

∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16米，

∴54x+54x+58x+5【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)AF：BF=3：4即可求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，AC的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG、FH的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ED=BC=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米，最后根據(jù)制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米列出方程即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)窗戶的面積等于△ABC的面積加上矩形BCDE的面積計(jì)算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)材料總長(zhǎng)用含x的式子表示y，從而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最大值是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·廣東）甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移mm>0個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y【答案】（1）y=?14x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=?14x2+2x，得到對(duì)應(yīng)的（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=?1∴二次函數(shù)的解析式為：y=?14(x-8)x=?14x2+2（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=?14x2+2x，得y=?14×1答：他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱；（3）由題意得：當(dāng)0≤x≤8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=14x2-2x當(dāng)x＜0或x＞8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=-14x2+2x∴新函數(shù)表達(dá)式為：y=1∵將新函數(shù)圖象向右平移mm>0∴O'（m，0），A'（m+8，0），B'根據(jù)圖像可知：當(dāng)m+4≥9且m≤8時(shí)，即：5≤m≤8時(shí)，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對(duì)稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？【答案】(1)y=?1(2)當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值即可得到函數(shù)表達(dá)式，再把x=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設(shè)出平移后的解析式，然后將點(diǎn)0,2.25代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，設(shè)拋物線解析式為y=ax?2把點(diǎn)A8,0代入，得36a+3=0解得a=?1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1當(dāng)x=0時(shí)，y=8∴球不能射進(jìn)球門；（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y=?1把點(diǎn)0,2.25代入得2.25=?1解得m1=?5（舍去），∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價(jià)應(yīng)定為50元(3)當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)1248元【分析】（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，可得銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【詳解】（1）解：設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=?2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對(duì)稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時(shí)，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．1．（2021·廣西）如圖，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A(?3,y1)，A．x≤?3或x≥1 B．x≤?1或x≥3 C．?3≤x≤1 D．?1≤x≤3【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】∵y=kx+m與y=?kx+m關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線y=ax2+c因此拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m的交點(diǎn)和與直線y=?kx+m設(shè)y=?kx+m與y=ax2+c交點(diǎn)為A'、B'，則∵a即在點(diǎn)A'∴ax2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解y=kx+m與y=?kx+m關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．2.（2022·四川）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)(x1,0)、(2,0)，其中0<x1<1.下列四個(gè)結(jié)論：①abc<0；②a+b+c>0；③2a?c>0；A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C

【解析】解：∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，

∴a>0，b<0，c>0，

∴abc<0，

∴①正確．

∵當(dāng)x=1時(shí)，y<0，

∴a+b+c<0，

∴②錯(cuò)誤．

∵拋物線過點(diǎn)(2,0)，

∴4a+2b+c=0，

∴b=?2a?c2，

∵a+b+c<0，

∴a?2a?c2+c<0，

∴2a?c>0，

∴③正確．

如圖：

設(shè)y1=ax2+bx+c，y2=?cx1x+c，

由圖知，y1>3．（2023·黑龍江）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且自變量xx??101234?y?0?3?4?305?

備用圖(1)求二次函數(shù)y=ax(2)若將線段AB向下平移，得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q左邊），R為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)(3)若將線段AB先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的線段與二次函數(shù)y=1t(ax2【答案】(1)y(2)2(3)?1<t≤53且t≠0【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)y=ax（2）連接PR，QR，過點(diǎn)R作RM⊥PQ交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，分別表示出RM、PM的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠RPQ（3）分t>0和t<0兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)?1,0，0,?3，1,?4a?b+c=0c=?3解得a=1b=?2∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（2）如圖，連接PR，QR，過點(diǎn)R作RM⊥PQ交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，∴Qm,∵y=x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線x=1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Pn,則m?1=1?n，解得n=2?m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2?m,m當(dāng)x=m+2時(shí)，y=即Rm+則Mm+∴RM=mPM=m+2∴tan∠RPQ=即tan∠RPQ的值為2（3）由表格可知點(diǎn)A?1,0、B將線段AB先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到A'0,3、由題意可得，二次函數(shù)y=1t(當(dāng)t>0時(shí)，拋物線y=1t(x2當(dāng)x=4時(shí)，1t即?3t解得t≤5∴t≤5當(dāng)x=0時(shí)，1t(x解得t>?1，∴0<t≤5此時(shí)滿足題意，當(dāng)t<0時(shí)，拋物線y=1t(x2?2x?3)=1解得t=?4此時(shí)滿足題意，將點(diǎn)A'0,3代入y=1t(將點(diǎn)B'4,3代入y=1t(∴?1<t<0，此時(shí)滿足題意，

綜上可知，?1<t≤53且t≠0或【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．4.（2023·山東）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=?1.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,0)，則下列結(jié)論正確的是A.2a+b=0

B.?4a?2b+c>0

C.x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根

D.點(diǎn)(x1,【答案】C

【解析】解：∵對(duì)稱軸為直線x=?1，

∴x=?b2a=?1，

∴b=2a，

∴2a?b=0，故①錯(cuò)誤，

∵拋物線開口向上，

∴a>0，

∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

∴b>0，

∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

∴c<0，

∴?4a?(2b?c)<0，

即?4a?2b+c<0，故②錯(cuò)誤，

∵拋物線與x軸交于(?4,0)，對(duì)稱軸為直線x=?1，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(2,0)，

∴x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根，故③正確，

∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=?1，

∴當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x1>x2>?1時(shí)，y1>y2，故④錯(cuò)誤，

故選：C．

5.（2023·四川）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(?2,0)，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=2，下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為(

)

①a>0；

②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0)；

③c=3b；

④對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有4a+2b≥amA.①② B.②③ C.②③④ D.③④【答案】C

【解析】解：∵拋物線開口向下，

∴a<0，①錯(cuò)誤，

∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，②正確，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，

∴?b2a=2，

∴a=?b4，

把(?2,0)代入y=ax2+bx+c，得：

4a?2b+c=0，

∴4?(?b4)?2b+c=0，整理得：

c=3b，③正確，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，拋物線取得最大值為y=4a+2b+c，

當(dāng)x=m時(shí)，y=am2+bm+c，

∴4a+2b+c≥am2+bm+c，

即4a+2b≥am2+bm，④6.（2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，如果把拋物線y=2x2向下平移3個(gè)單位得到一條新拋物線，那么下列關(guān)于這兩條拋物線的描述中不正確的是(

)A.開口方向相同; B.對(duì)稱軸相同;

C.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同; D.頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．【答案】D

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．

由拋物線向下移動(dòng)可得拋物線對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，開口方向，進(jìn)而求解．【解答】

解：把拋物線y=2x2向下平移3個(gè)單位得到一條新拋物線，拋物線對(duì)稱軸不變，開口方向不變，

拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，

∵向下平移3個(gè)單位、新拋物線為y=2x2?3，

7．（2023·四川）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=25【答案】(1)y=(2)1或3(3)4,8【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax∵C(0,?4)，∴c=?4，y=ax把A(?4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c解得：a=1∴拋物線的解析式為y=（2）∵直線表達(dá)式y(tǒng)=kx+6，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)0,6，∴將過點(diǎn)0,6的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況∵把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的解析式為y=1∴新圖象表達(dá)式為：?4<x<2時(shí)，y=?12x2?x+4；x≤?4如下圖當(dāng)直線y=kx+6與翻折上去的部分拋物線相切時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立y=?12x整理得：xΔ=041+k41+k1+k=±2，k=±2?1，k1k2=?2?1=?3時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過點(diǎn)

不符合題意，故舍去，如下圖，當(dāng)直線y=kx+6經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

把A(?4,0)代入y=kx+6，得：?4k+6=0，解得：k=3綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的值為1或3（3）∵F在拋物線上，∴設(shè)F坐標(biāo)為a,1∵OB=2，OC=4，F(xiàn)G⊥CH，∴tantan∠FHG=2HG:FG=1:2，1∴HG:FG:FH=1:2:5∴DF=a，DO=1DC=DO+OC=1DH=1FH=DH?DF=1HG=5∵DF∴a21a2aa?4a1a2=4，代入∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為4,8【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8.（2022·貴州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=cxA.

B.

C.

D.【答案】B

【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，

∴a>0，

∵該拋物線對(duì)稱軸位于y軸的右側(cè)，

∴a、b異號(hào)，即b<0．

∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，

∴c<0，

∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=cx(c≠0)在二、四象限．

故選：B．

直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，9.（2023·江蘇）函數(shù)y=1x2的大致圖象是A. B.

C. D.【答案】A

【解析】解：由函數(shù)y=1x2可知，函數(shù)是雙曲線，它的兩個(gè)分支分別位于第一、二象限，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大．

故選：A．

函數(shù)y=1x2的圖象是雙曲線，它的兩個(gè)分支分別位于第一、二象限．

考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)y=1x2的圖象是雙曲線，當(dāng)x>0時(shí)，y10.（2023·湖北）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關(guān)系是y=?112(x?10)(x+4)，則鉛球推出的距離OA=______m.【答案】10

【解析】解：令y=0，則?112(x?10)(x+4)=0，

解得：x=10或x=?4(不合題意，舍去)，

∴A(10,0)，

∴OA=10．

故答案為：10．

令y=0，得到關(guān)于x11.（2023·湖北）某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī)．通過實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離x(單位：m)以、飛行高度y(單位：m)隨飛行時(shí)間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時(shí)間t/s02468…飛行水平距離x/m010203040…飛行高度y/m022405464…探究發(fā)現(xiàn)：x與t，y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來(lái)描述．直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)．問題解決：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(1)若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0?m，求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；(2)在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN，AM=125?m，MN=5?m.若飛機(jī)落到MN內(nèi)(不包括端點(diǎn)M，N)求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍．【答案】解：探究發(fā)現(xiàn)：x與t是一次函數(shù)關(guān)系，y與t是二次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)