2024-2025學(xué)年河北省曲陽某中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省曲陽一中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（%）=A/3sin8-coscox（（o〉0）,y=/（%）的圖象與直線v=2的兩個相鄰交點的距離等于兀,則/（%）

的一條對稱軸是（）

71717171

A.x------B.x——C.x-----D.x——

121233

2.在關(guān)于x的不等式依2+2x+l>0中，“。>1”是“依2+2%+1>0恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量a=（〃2,1）,b=（3,m-2）,則加=3是a//。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

（、[a,a..b

4.已知函數(shù)/（%）=213113%）（。>0）的圖象與直線丫=2的相鄰交點間的距離為萬，若定義max{a,。}=,;

[b,a<b

兀3萬

則函數(shù)h(x)=max{/(x),于(x)cosx}在區(qū)間3F內(nèi)的圖象是（）

B.

5.且一是+/<1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.拋物線二二二二二的準(zhǔn)線與雙曲線一的兩條漸近線所圍成的三角形面積為一：，則二的值為（）

■。11*.MAM'1

??

A.jB.6C?/D.2

7.點。為AA5C的三條中線的交點，且Q4,O3,AB=2,則ACBC的值為（）

A.4B.8C.6D.12

8.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的

概率為

1111

A.—B.—C.—E

23612

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）

A.3行B.2A/5C.2娓D.277

10.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時期專著的概率為（）

4

5

JT\jr57r

11.如圖是函數(shù)y=Asin(<ax+0)|XGR,A>0,（D〉。,°<°<萬在區(qū)間-守不上的圖象，為了得到這個函數(shù)的

圖象，只需將y=sinx（_xeR）的圖象上的所有的點（)

B.向左平移三個長度單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變

c.向左平移弓個長度單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變

D.向左平移J個長度單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變

O

12.數(shù)列｛4｝滿足：/=g，4-%+i=244+1，則數(shù)列｛44+J前10項的和為

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知sina=不夕貝!!tan[a+ij=。

14.已知a的終邊過點(3根,一2),若tan(〃+a)=g,則

x+y>0

15.設(shè)實數(shù)X,y滿足｛x—y+220,則z=2x—y的最大值是.

5x-y-6Vo

16.已知，，)是夾角為90°的兩個單位向量，若。=?+/,b=j,則。與人的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1k

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x——)lnx,g(x)=x——.

XX

(1)證明：函數(shù)/(尤)的極小值點為1;

17

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在［1,+8)有兩個零點，證明：1W左＜木.

8

18.(12分)一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的〃(〃eN*)

個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為工，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

(1)當(dāng)〃取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

(2)當(dāng)〃=4時，用X表示要補播種的坑的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.(12分)已知橢圓C的焦點在x軸上，且順次連接四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長g為且面積為2a的菱形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(-3,0)，過橢圓C右焦點F的直線/交于A、3兩點，若對滿足條件的任意直線I,不等式R)

恒成立，求彳的最小值.

20.(12分)已知函數(shù)=+

(I)若加=1,求曲線y=/(x)在(LAD)處的切線方程；

(II)當(dāng)相￡1時，要使/(%)>%In%恒成立，求實數(shù)根的取值范圍.

21.(12分)某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同

性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,

統(tǒng)計情況如下表:

同意不同意合計

男生a5

女生40d

合計100

(1)求a,d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由;

(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學(xué)生進行長期跟蹤調(diào)

查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：爛=<ad-bcf

(a+b)(c+d)(〃+c)3+d)

P心及)0.150.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

22.(10分)已知函數(shù)/'(x)=lnx-x2+ax(awR).

(1)若/(x)W0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)“X)的極值點為5,當(dāng)。變化時，點(%,/(%))構(gòu)成曲線以，證明：過原點的任意直線丫=履與曲線M

有且僅有一個公共點.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由題，得/(x)=6sinox-coscox=2sin10x-胃］，由V=/(%)的圖象與直線V=2的兩個相鄰交點的距離等于

JT7T77

萬，可得最小正周期7=萬，從而求得得到函數(shù)的解析式，又因為當(dāng)％=—時，2%—-=—,由此即可得到本題

362

答案.

【詳解】

由題，得/(x)=sincox-coscox=2sm^(Dx-^^,

因為V=fM的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于式,

27r

所以函數(shù)y=/(x)的最小正周期T=萬，則。=干=2,

所以/(x)=2sin12x-藍］,

,n,717t

當(dāng)x=一時，2x——=—,

362

所以x=。是函數(shù)/(》)=25垣］2%一?］的一條對稱軸，

故選：D

本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.

2.C

【解析】

討論當(dāng)。>1時，or?+2%+1>0是否恒成立；討論當(dāng)or?+2x+l>0恒成立時，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)時，A=4-4a<0,由y=ax?+2x+l開口向上，則依z+2%+1>。恒成立；

當(dāng)依2+2%+1>0恒成立時，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

a>0

若a/0時，要使得G?+2》+1>0恒成立，貝股八〃,八，即。>1.

A=4-4a<0

所以"a>r'是“依2+2x+1>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若。=4,則推出。

是q的充分條件；若qnp,則推出。是q的必要條件.

3.A

【解析】

向量a=（7%,l），b—（3,zn-2）?a//b，貝！!3=wz（m—2）,BPITT—2m—3=0>〃?=3或者-1,判斷出即可.

【詳解】

11

解：向量a=（加,1），6=（3,機—2），

al1b則3=加（帆—2）,即蘇―2祖—3=0,

/=3或者-1,

所以加=3是相=3或者m—的充分不必要條件，

故選：A.

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

71

由題知/（x）=2tan3x）3>0）,利用7=時求出①，再根據(jù)題給定義，化簡求出妝”的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意，/（%）=2tan（0r）（（y>0）的圖象與直線y=2的相鄰交點間的距離為兀,

所以/（%）=2tan（（yx）（o>0）的周期為"，則。='=生=1,

Tn

’71

2sin

所以//(%)=max{2tanx,2sinx]=<

2tanx,xG兀r

I2)

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.

5.A

【解析】

畫出“-14x+yV1,-1<尤―y<1,%2+/<1,所表示的平面區(qū)域，即可進行判斷.

【詳解】

如圖，“―1?%+y<1且—1<%—丁<1”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，

記為集合P,“x2+y2<r，表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q,

顯然P是。的真子集，所以答案是充分非必要條件，

故選:A.

本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題，考查命題的充分條件和必要條件的判斷，難度較易.

6.A

【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值.

【詳解】

拋物線G的準(zhǔn)線為雙曲線_：的兩條漸近線為,，可得兩交點為

jj=——Lte———=J」=+一口

-....r_，即有三角形的面積為，一r_,解得-=夕故選人

一：，—)zxTx--

本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

2AC-BC=3AOAC=2AO+BO

可畫出圖形，根據(jù)條件可得《,從而可解出＜,然后根據(jù)Q4,03,A3=2進

2BC-AC=3BOBC=2BO+AO

行數(shù)量積的運算即可求出AC?3C=(2AO+BOy(2BO+A。)=8.

【詳解】

如圖：

A

點。為AABC的三條中線的交點

A(9=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=^(BA+BC)=1(2BC-AC)

f2AC-BC=3A(9fAC=2A(9+B(9

由\可得：〈，

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

又因Q4_LO3,AB=2,

.,.....2.2.2

ACBC=(2AO+BO}-(2BO+AO)=2AO+2BO~=2AB=8-

故選：B

本題考查三角形重心的定義及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運

算及向量的數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.B

【解析】

求得基本事件的總數(shù)為〃=卷=6,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為根=C；C；也=2,

4

利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,

C2c2

基本事件的總數(shù)為〃=X團=6,

4

其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為根==2,

ml

所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為p=—=；,故選B.

n3

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐S—ABC,并且平面SAC_L平面ABC,AC±BC,過S作SDLAC,連接

BD,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐S—ABC,且平面SACJ,平面ABC,AC±BC,

過S作連接則皿=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以劭=4DC2+BC2=V20，SB=JS7?2+加2=2瓜，弘=癡2+叔=?也，

SC=yjSD2+AC2=2A/5，

該幾何體中的最長棱長為2瓜.

故選：C

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

10.D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時期.記這5部專著分別為a,b,c,d,e,其中a,仇。產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有a）,ac,ad,ae,Z?c,a/,Z?e,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有4萬,4。,a/,463。,/%?36,。汗,。6,,共9種情況，所以所選2部專著中至

H79

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為「=一=一.故選D.

n10

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先（4，片），（4，生）.…（A，紇），

再⑷目），（4,與）.….（4,凡）依次（A，4）（4,9）?…（4,凡）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

11.A

【解析】

由函數(shù)的最大值求出A,根據(jù)周期求出0,由五點畫法中的點坐標(biāo)求出9,進而求出丁=45皿（啰％+。）的解析式，與

y=sin宜%eR）對比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知A=1,T=%,「.69=2,

冗冗

又co+（p=2k兀（kGZ）,:.（p-IkyiH——（左wz）,

63

又0</<、，:.（p=g：.j=sin^2x+y^,

..?為了得到這個函數(shù)的圖象，

只需將y=sinx（xeR）的圖象上的所有向左平移q個長度單位，

得至Uy=sin[x+g]的圖象，

再將y=sin[x+g]的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變）即可.

故選:A

本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系，屬于中檔題.

12.A

【解析】

11c1

分析：通過對an-an+i=2anan+i變形可知--------=2,進而可知4=------,利用裂項相消法求和即可.

an+ian2n—1

詳解：?,?^--=2.

an+lan

1

又—=5,

a3

.?.：=，+2（n—3）=2n—l,即

〃32〃一1

aa

nn+l=I（/-4+1）1o11_o'|，

22\2n-l2n+lJ

二數(shù)列｛4%+J前10項的和為+=￥

故選A.

點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：⑴;=H占]⑵焉+6](后一旦⑶

]_U_j_______]_）.]=j_11

（2?-l）（2n+l）~2{2n-l~2n+l）；⑷小+1）（“+2）-2此外，需注意裂項

之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.一

7

【解析】

由已知求tanc,再利用和角正切公式，求得tan](z+(j,

【詳解】

3(JI43

因為aGI?J，所以cosa=-1,tana=,

/、1-1

.,(7i11+tana41

因止I匕ttan—+a=-------=——.

(4)1-tana1十。7

4

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。

14.-2

【解析】

/由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得加的值.

【詳解】

?的終邊過點（3根,一2）,若tan（〃+a）=g,

/、-21-

tan（yr+（z）=tana=——=—m=-2..

V73m3

即答案為-2.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.

15.1

【解析】

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】

x+y..0

作出實數(shù)X,y滿足V+2..0表示的平面區(qū)域，如圖所示：

5x-y-6,,0

由z=2x-y可得y=2x-z,則一z表示直線z=2x-y在y軸上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由L,c可得C(l,—1)，此時Z最大為1,

5x-y-6=0

本題主要考查線性規(guī)劃知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

16.45°

【解析】

2

依題意可得，j=0,再根據(jù).=+/J=J/+2./+J?求模,a必=1+/卜/?=，./+廠求數(shù)量積，最后根據(jù)夾

角公式計算可得;

【詳解】

解：因為，"是夾角為90。的兩個單位向量

所以i?j=0,

又Q=i+j,b=j

所以H=J(，+=Ji+23j+jnJ]2+2X0+]2W==a-b^(i+j\j^i.j+j'=l

/_r\a-b142

所以3?1)=雨=百=7,

因為0<(a,b)<180所以cos卜力)=45。；

故答案為：45°

本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)y=/(x)—g(x)在［1,內(nèi))有兩個零點，即方程(f一1)成—￡=—左

在區(qū)間［1,+8)有兩解，令〃(x)=(V-l)lnx-V通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.

【詳解】

解：(1)證明：因為/'(X)=[l+f]lnjr+[l-1,(%>0)

X

llix/o,1H..-\0,1----<0,

當(dāng)工￡(0,1)時/1W<0,

所以/(%)在區(qū)間(0,1)遞減；

當(dāng)x￡(1,+co)時，lux>0,1H——>0,1——>0,

XX

所以/'(力>0,所以/(%)在區(qū)間(1,內(nèi))遞增;

且/'(1)=0,所以函數(shù)/(%)的極小值點為1

（2）函數(shù)y=/（x）—g（x）在［1,+8）有兩個零點,

即方程(X?-l)lnx-x2=一左在區(qū)間［1,+8)有兩解，

令/?(%)=(無2-l)lnv-x2,則/f(x)=2xlnx-x--

X

令0(x)="(x)(x21),則。<%)=21nx+e+l>0,

JC

所以"（九）在［1,+s）單調(diào)遞增，

又勿⑴=—2<0,/z,（2）=41n2-1>0

故存在唯一的相￡（1,2）,使得/?'（加）=2?nlnm一加一工二0,即lnm=!d——［

m22m

所以/z（x）在（1,m）單調(diào)遞減，在區(qū)間（加,+8）單調(diào)遞增，

且/z(l)=/z(e)=_l,又因為

17

加?1，2），所以可力而/一0，

O

方程關(guān)于X的方程（無2—l）lnx—丁=—左在［1,+8）有兩個零點，

17

由/（X）的圖象可知,----</z（x）min<-^</z（l）=-l,

8min

17

即1〈左<—.

8

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo)，零點存在性定理確定參數(shù)范圍，屬于難題.

18.（1）當(dāng)〃=5或〃=6時，有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為3；（2）見解析.

16

【解析】

（1）將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率

最大.（2）"=1時，X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望

即可.

【詳解】

（1）對一個坑而言，要補播種的概率+c］￡|=g

有3個坑要補播種的概率為.

當(dāng)〃=5時,

當(dāng)〃=6時,

所以當(dāng)"=5或九=6時，有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為二.

16

(2)由已知，X的可能取值為0,1，2,3,

所以X的分布列為

X01231

1]_3￡1

p

1648416

X的數(shù)學(xué)期望石X=4x^=2.

2

本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機變量的概率分布，二項分布，主要考查簡單的計算，屬于中檔題.

/31

19.(1)—+/=1(2)—

22

【解析】

(1)由已知條件列出關(guān)于4和8的方程，并計算出。和b的值，jike得到橢圓的方程.

(2)設(shè)出點4和點3坐標(biāo)，運用點坐標(biāo)計算出分類討論直線/的斜率存在和不存在兩種情況，求解出力的

最小值.

【詳解】

--2a-2b=242「

(1)由己知得：＜2,解得b=l

a2+b2=3

所以，橢圓C的方程］+丁=1

(2)設(shè)=(玉+3,%>(%2+3,%)=(玉+3)(%2+3)+%%

,1

當(dāng)直線/垂直于x軸時，石=%2=1，%=一％且先=5

31

此時MA=(4,yJ,Affi=(4,y2),:.MAMB=—

當(dāng)直線/不垂直于x軸時，設(shè)直線/：丁=左(%—1)

\y=k(x-l)

由《00—4左2%+2左2—2=0.

x~+2y'=2

4k22A2_2

X,+X.=-----7，X,X=------

1'l+2k221+2公

2

...M4.MB=X,X2+3(X1+X2)+9+Z:(X1-1)(X2-1)=^1^=^31-^-I^<1.

..3131

要使MA-MSV2(4eR)恒成立，只需X2(M4-"B)=不，即；l最小值為一

111ax22

本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,

并運用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個變量的表達式進行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計算量.

【解析】

(I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；

(II)構(gòu)造函數(shù)y=/(x)-%加，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.

【詳解】

(I)當(dāng)m=1時，/(x)=x2Hnx+-j,則/(x)=2x]lnx+g)+x.

所以/'⑴=2.

113

又/(1)=5,故所求切線方程為y—5=2(X—1),即y=2x—耳.

(II)依題意，得mx?[inx+g]〉xlnx,

即mx21lnx+g]-xlnx〉0恒成立.

令g(%)=mx1\lnx+—|-xlnx,

則g'(x)=(2mx-l)(lnx+l).

①當(dāng)機40時，因為g(l)=gm<0,不合題意.

②當(dāng)0<加<1時，令g'(x)=。，

后11口q11

倚為=,x=—,顯然>—?.

2m?e2me

令,(x)>0,得0<xJ或x〉，令，(x)<0,n-<x<—.

e2me2m

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是I。2],，+°°

,單調(diào)遞減區(qū)間是

e2m)

當(dāng)時,rwc2一％<0，InxvO,

所以g(x)=加/1]nx+g)—xlnx=

nvc2+>0,

￡lni+i>0,所以心左’

只需g

2m

所以實數(shù)機的取值范圍為

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.

21.(1)a=20,d=35,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性另產(chǎn)有關(guān)；(2)詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出a,d，根據(jù)公式計算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母

生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)由題意可知X服從二項分布，利用公式計算概率及期望即可.

【詳解】

(1)因為100人中同意父母生“二孩”占60%,

所以a=60—40=20,d=40—5=35

文⑵由列聯(lián)表可得K=嗤黑蔑J竽>5.024

而P(/>5.024)=2.5%

所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)

(2)①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為史=!,

100S

即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為三由于總體容量很大,

S

故X服從二項分布，

即(4,?,汽>=k)=G)'T(Jk=0,123,4)從而x的分布列為

X01234

MN7Mnta

)3*3SBSB

x的數(shù)學(xué)期望為美

本題主要考查了相關(guān)性檢驗、二項分布，屬于中檔題.

22.(1)a<l；(2)證明見解析

【解析】

InVInx

(1)由/(x)wo恒成立，可得a<x——恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-----,求導(dǎo)可判斷出g(x)的單調(diào)性,

XX

進而可求出g(x)的最小值g(x)min，令。<gQMn即可；

(2)由f'(x)=—2廠+奴+1,可知存在唯一的X。e(0,+8),使得八%)=0,貝！|—2x；+”+l=0,a=2x0--,

XX0

進而可得/(%)=lnxo+xo2—l，即曲線”的方程為y=lnx+x2—1,進而只需證明對任意keR,方程

Inx+V—1=丘有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)尸(x)=lnx+尤2——一1,分左<0、0〈左<2后和左>2&三種情況，

分別證明函數(shù)F(x)在(0,+co)上有唯一的零點，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

Inx

(1)由題意，可知%>0,由/(x)<0恒成立，可得QV九-----恒成立.

./、Inxe,x~—1+Inx

令g(x)=x-----,貝ljg'x)=

2