甘肅省皋蘭縣某中學2023-2024學年高一年級下冊期末考試數學試題（含答案解析）

甘肅省皋蘭縣第一中學2023-2024學年高一下學期期末考試數

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復數巴a=b+3i,其中i是虛數單位，則成=（）

1

A.-6B.-1C.1D.6

2.中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會試分南卷、北卷、中卷,

按11:7:2的比例錄取，若某年會試錄取人數為200,則北卷錄取人數為（）

A.70B.20C.110D.150

3.已知正六邊形48CDE產，則X+而-麗=（）

A.~BCB.AEC.BED.AC

4.圓臺上、下底面半徑分別是1,2,高為百，這個圓臺的體積是（）

A.逋B.2也無

3

C.D.逋兀

3

5.在V4BC中，三邊長分為3,7,8,則最大角和最小角之和是（）

3八2―5

A.—71B.—71C.-71D.----71

43612

6.小張某一周的總開支分布如圖①所示，該星期的食品開支如圖②所示，則以下說法正確

的是（）

圖①圖②

試卷第1頁，共4頁

A.儲蓄比通信開支多50元B.日常開支比食品中的其他開支少150元

C.娛樂支出為100元D.肉類開支占總開支的g

7.已知四邊形4BCD的對角線交于點。，E為ZO的中點，^AE=AAB+^AD,則％+〃=

()

A.-B.-C.-D.1

234

8.在正方體NBCO-HB'C'D'中，。為底面/BCD的中心，尸為棱/?的中點，則下列說法

正確的是()

A.A'C'IOPB.A'B1OP

C.AB'1OPD.B'C1OP

二、多選題

9.如圖，在4x4方格中，向量￡花,"的起點和終點均為小正方形的頂點，貝U()

A.同=同B.2a135C.(a+b^l1cD.32=a-(c-b

10.下列各式中，值為l的是()

2

5%

A.sin一B.2sinl50cosl5°C.2cos2150-lD.—tan210°

62

11.已知正四面體/5CQ的各棱長均為2,下列結論正確的是()

A.正四面體N8C。的高為墳

3

B.正四面體/BCD的體積為述

3

C.正四面體/BCD的外接球的半徑為直

D.正四面體A8CD的內切球的表面積為4兀

試卷第2頁，共4頁

12.已知（l+2i）1=5-5i（i是虛數單位），則z的虛部為.

13.已知向量1=（加,-3）,^=（-1,5）,若萬人B，則實數〃?的值為.

14.某地為了更好地開發(fā)當地的旅游資源，決定在兩座山頭建一條索道，現測得兩座山高分

別為MC=160米，N8=100米.從山腳下的A處測得〃處的仰角為53。，N處的仰角為45。，

/兒伍N=45。，點A,B,C在同一水平面內，MCIAC,NBVAB,則兩座山的山頂W,

43

N之間的距離是米.（參考數據：sin53°,cos53°?-）

四、解答題

15.已知0<(z<與cosa=-

(1)求sin2a,cos2a的值;

(2)求sin]2tz+—J的值.

16.如圖，在三棱錐P/8C中，R4_L底面NBC,PB1BC,。為AP的中點，PA=AB.

C

（1）求證：8C_L平面

⑵求證：4D_L平面尸3c.

17.某政府部門為促進黨風建設，擬對政府部門的服務質量進行量化考核，每個群眾辦完業(yè)

務后可以對服務質量進行打分，最高分為100分.上個月該部門對100名群眾進行了回訪調

查，將他們按所打分數分成以下幾組：第一組［0,20）,第二組［20,40）,第三組［40,60）,第

試卷第3頁，共4頁

四組［60,80),第五組［80,100］,得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計所打分數的眾數，平均數；(同■組中的數據用該組區(qū)間的中點值作為代表)

(2)該部門在第一、二組群眾中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名群眾進行深入調查，之

后將從這6人中隨機抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概率.

2s

18.在銳角V/BC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，VABC的面積為S,已知sinB——

b-c

小、工口目b?a+b2-c2

(1)證明：一=---------;

ca

(2)若/=2C,a=2,求VNBC的周長.

19.如圖，在四棱錐8-P/C。中，8C_L平面切3,且在四邊形aCQ中，PQ//AC,

/PC。,二面角/尸一°的大小為方，且==

(1)點E為2c的中點，證明：平面E42；

(2)求直線BQ與平面PACQ所成角的正弦值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DABDBCACBCDABD

題號11

答案AB

1.D

【分析】利用復數的乘法和復數相等的定義，求出。/的值即可.

a—2ifa=-3,

【詳解】由^^=b+3i,得a-2i=(b+3i)i=-3+6i,,/,ab=6.

i也=-2,

故選：D.

2.A

【分析】由分層抽樣的抽取比例乘以樣本容量即可求解.

【詳解】會試錄取人數為200時，根據分層抽樣的性質可知，

7

北卷錄取人數為200X1——-=70.

11+7+2

故選：A

3.B

【分析】根據相等向量和向量的加減運算即可求解.

【詳解】由正六邊形的特征可知：14C=FD,AE=BD

所以就+麗-麗=麗=運

故選：B

【分析】直接代入圓臺的體積公式計算即可.

【詳解】由題意憶=兀+石西￡+4兀)=^^兀.

故選：D.

5.B

答案第1頁，共9頁

【分析】設A為V/3C的最小角，C為V/3C的最大角，利用余弦定理求得8的大小，即可

求解.

【詳解】設A為VN3C的最小角，。為V48c的最大角，

由余弦定理，可得cos3=3一+&-7?=工,

2x3x82

jr2兀2

因為Be（O,n）,所以8=所以Z+C=q-,即最大角和最小角之和是§兀.

故選：B

6.C

【分析】根據圖表信息對選項一一分析即可得出答案.

【詳解】由食品開支圖，可知食品開支為30+40+100+80+50=300（元），所以一星期的

總開支為300+30%=1000（元），其中娛樂支出為1000xl0%=100（元），故C正確；

儲蓄比通信開支多1000x（30%-5%）=250（元），故A錯誤；

日常開支為1000x20%=200（元），故日常開支比食品中的其他開支多150元，故B不正確;

肉類開支占總開支的100-1。00=，故D錯誤.

故答案為：C.

7.A

【分析】利用向量的線性運算結合平面向量基本定理可求4+"的值.

【詳解】由已知得近=g瓦，AE=AAB+fiAD,

故靜=22次+2〃15,又B,O,。共線，

故22+2〃=1,所以2+〃=3，

故選：A.

8.C

【分析】根據正方體的幾何性質，即可根據線線平行以及垂直關系的轉化即可結合選項逐一

答案第2頁，共9頁

求解.

【詳解】連接HC,易得OP〃HC,

在平面44'C'C中，4c與4C不垂直，故HC'與OP不垂直，故A錯誤，同理，D錯誤;

在正方體/BCD-HB'C'D中，3。_1平面44%;8,48u平面4408,所以

若45LOP,貝！|H5，HC,這與矛盾，所以42與OP不垂直，故B錯誤；

因為3C_L平面442B,48u平面44;8B，所以8C_L/3',

又ABLAB，,BCHA'B=B,可得48U平面/'BCD',

又HCu平面43cO',所以43'_L/'C,故N3'_LOP,C正確.

【分析】如圖建立平面直角坐標系，設每個方格的邊長為1,利用向量的坐標運算逐項判斷.

【詳解】如圖建立平面直角坐標系，設每個方格的邊長為1,

則3=(-1,2),分=(2,1),c=(l,3),|c|=V10，同=6,A選項錯誤;

2a-3fe=6(-lx2+2xl)=0,B選項正確;

a+b={\,3),a+b=c,C選項正確;

a2=5,c-&=(-l,2),a-(c-6)=(-1)+2x2=5=/：,D選項正確.

故選：BCD.

10.ABD

答案第3頁，共9頁

【分析】根據誘導公式sin(%-a)=sina可判斷A；由二倍角的正弦公式sin2a=2sinecosa可

計算B；由二倍角的余弦公式cos2a=2cos2(z-l可判斷C；由誘導公式tan(%+a)=tana可

計算D.

STTJTJT1

【詳解】對于A：sin一二sin(?-—)=sin—=-,所以A正確；

6662

對于B：2sinl5°cosl5°=sin30°=-,所以B正確；

2

對于C：2cos2150-l=cos300=—,所以C不正確;

2

對于D：—tan2100=—tan(180°+30°)=^tan(30°)=所以D正確，

222232

故選：ABD.

11.AB

【分析】對于A：利用勾股定理求解即可；

對于B：%=求體積即可；

對于C：根據正四面體/8CA的外接球即為該正方體的外接球，即可求解；

對于D：直接利用面積公式求解即可.

【詳解】

對于A：在四面體/2C。中，過點A作N尸_1面3。于點尸，

則下為底面正△BCD的重心，因為所有棱長均為2,

可得B尸=空，

3

所以AF=YAB2—BF2=地,

3

即正四面體/BCD的高為偵，

3

故A正確；

答案第4頁，共9頁

正四面體/BCD的體積廠故B正確；

333

將正四面體補形為如圖正方體，易知正四面體/BCD的外接球即為該正方體的外接

球，

則外接球半徑等于正方體體對角線的一半，即-后+@+(回=在，故C錯誤；

22

記正四面體的內切球的半徑為貝耳

ABCDr,xrx(S+SAABD+S^BCD+S^ACD)=7,

4義上義密義r=巫,解得r="，故內切球的表面積為47川=,乃，故D錯誤.

3363

故選：AB.

12.3

【分析】先求出共輾復數，再得到復數的虛部.

-_5-5i_5(l-)(l-2i)_.

【詳解】1t3/.z=-l+3i,虛部為3.

l+2i(l+2i)(l-2i)

故答案為：3

13.-15

【分析】依題意可得1i=o,根據數量積的坐標運算得到方程，解得即可;

【詳解】解：因為幻=(檢-3),b=(-1,5),^.alb>

所以展B=-lx加+5x(-3)=0,解得加=-15；

故答案為：-15

14.10072

【分析】在直角三角形中求出M4、NA,再由余弦定理計算可得.

【詳解】在Rt^MC4中，sin53°=—=—,所以腿4引60x*=200米,

MAMA4

在中，NA=^NB=100C米,

答案第5頁，共9頁

在△M4N中，MN2=AM2+AN1-2AM.AN-cos45°

=20（）2+（100逝），2x200x100區(qū)等=《00，則WOO8米.

故答案為：100血

⑵關

【分析】（1）由已知條件和同角三角函數求得sine,再運用正弦、余弦的二倍角公式可得

答案;

（2）根據（1）的結論和正弦的和角公式可求得答案.

【詳解】解：（1）因為0<a<?,cosa=-好，所以sina=2^,

55

4

所以sin2a=2sinercoser=2x------x------

5I5J5

3

cos2a=2cos26r-l=2X

5

3}_7>/2

(2)sin2a+—=sin2acos—+cos2asin—=——x—

I4)442(5飛)~10

【點睛】本題考查同角三角函數間的關系，正弦、余弦函數的二倍角公式，正弦的和角公式,

屬于基礎題.

16.（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）由線面垂直的性質和判定可得證；

（2）由線面垂直的性質和判定可得證.

【詳解】（1）證明：因為P/工底面/8C,8Cu底面/8C,所以尸

又PBLBC,PBC\PA=P,尸4尸8u平面R12；所以3C_L平面E43；

（2）證明：由（1）得BC_L平面又/Ou平面處瓦所以4D1BC,

又。為8P的中點，PA=AB,所以

答案第6頁，共9頁

又PBcBC=B,PB,BCu平面P8C,所以4D_L平面P8C

17.⑴眾數為70,平均數為65；

【分析】（1）根據頻率分布直方圖與眾數、平均數的計算方法依次計算即可；

（2）先求出6人中第一、二組抽到的人數，求出樣本空間的樣本點個數和事件“2人來自不同

的組”包含的樣本點個數，代入概率公式計算即可.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

5個組的頻率分別為005,0.1,0.2,0.35,0.3,

所以平均數為

10x0.05+30x0.1+50x0.2+70x0.35+90x0.3=65；

（2）由頻率分布直方圖可知第一組的頻率為0.05,第二組的頻率為0.1,

則第一組的人數為5人，第二組的人數為10人，

所以按分層抽樣的方法抽到的6人中，

第一組抽2人，記為q、a2；第二組抽4人，記為可、打、打、“，

貝!JO={q%，,a也，。也,〃也，a2bl，%打，a2b4，，也，44，4“，,b2b4,b3b4},

設事件A為抽到的2人來著不同的組，

則Z={%[,a[b2,。也,。也,a2bl，a2b2，a2b3，出乙}，

o

所以尸（/）=m.

18.（1）證明見解析

⑵石+3

【分析】（1）利用面積公式可得〃-c2=ac,即可得證；

（2）由余弦定理及（1）的結論可得2=2COSC,再由正弦定理將邊化角，即可得到B=2C

C

或3+2C=i,再分類討論，得到2=/,則b=a,再由62-02=互求出c,即可得解；

【詳解】（1）證明：因為sinBufy,所以sin8=等黑，又sinBwO,

b-cb-c

答案第7頁，共9頁

所以〃一°2=四，則62=4°+°2,即一=a+C,

C

匚匚［、］Q2+Z>2_02Q2+QC人2

J7T以---------=------=a+c=—;

aac

272_2

(2)解：由余弦定理，cosC=---------—,

2ab

由(1)得./BY,所以2=2COSC,即b=2ccosC,由正弦定理可得

cabc

sinS=2sinCcosC=sin2C,

在銳角V/BC中，所以所以8=2C或8+2C=萬，

若2+2C=%，貝！|/="-8-。=。，所以。=c,b2^(a+c)c^a2+c2,與V/3C為銳角三

角形矛盾，舍去；

所以B=2C,故5=N,即b=4=2,所以4-/=2<?,解得C=V?-1，b+a+c=V5+3,

所以VABC的周長為6+3.

19.(1)證明見解析

【分析】（1）運用垂直條件找出二面角8-/尸-0的平面角，得到3CL/3,借助中位線證

明平行，進而得到四邊形尸?！晔瑸槠叫兴倪呅危龠\用線面平行的判定定理即可；

（2）過3作W/_LZC于點跖得到P/_L平面/2G，得到平面PNC。，平面/2C,運用

面面垂直性質得到，平面HC。，得到N80M即為所求線面角.再結合勾股定理和余弦

定理求線段長度，借助銳角三角函數求解角