2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 解一元二次方程（公式法與因式分解法） 專項(xiàng)練習(xí)（含答案）

2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)解一元二次方程（公式法與因式分

解法）專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024?河北石家莊?二模）已知一元二次方程的兩根分別為%=3,X2=-4,則這個(gè)方程不可能為

（）

A.2（x-3）（x+4）=0B.（x+4）（x-3）=0

C.(x-3)(3x+12)=0D.(x+3)(x-4)=0

2.（八年級(jí)下?廣西梧州?期中）解關(guān)于x的方程——7冽x+12/=o得（)

A.國(guó)二—3m,x2=4mB.石=3m,x2=4m

C.西=-3m,x2=-4mD.x1=3m,x2=-4m

3.（九年級(jí)上-福建漳州?期中）用公式法解方程2f+5x-1=0,所得解正確的是（)

-5±V33—5+V33^

A.x=-------D.X=-------

42

5±V33n5±V33

C.x=------U.x=------

42

4.（九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中）下列一元二次方程最適合用因式分解來(lái)解的是（）

A.x2=4B.(x-2y=(2x+3)(x-2)

C.(x+4)(5-x)=5D.x2-4x+2=0

5.(八年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，在Y/BCD中，NEL3C于點(diǎn)￡,BE=a,AE=CE=2a,

且a是一元二次方程x2+3x-4=0的根，則Y/3CD的周長(zhǎng)為（）

A.6+2指B.8+V5C.10D.4+46

6.（九年級(jí)上?河南開(kāi)封?期末）若關(guān)于x的一元二次方程的根為片-2±j22-4xlx（-4）,則這個(gè)方程

2x1

是（）

A.X2+2X+4=0B./一2X+4=0C.x2+2x-4=0D.x2-2x-4=0

7.（八年級(jí)下?四川內(nèi)江?期中）若分式方程—；+1=y有增根，貝Ua的值是（）

x-2x-2

A.1B.3C.-1D.-2

8.（2024?浙江杭州?一模）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“X”，其運(yùn)算規(guī)則為。※6=3（a+b）-5M.根

據(jù)這個(gè)規(guī)則，方程工派卜+1）=-1的解是（）

44、4、

A.x=—B.x=1C.x=--^x=1D.%=/或x=l

9.（22-23九年級(jí)上?廣東梅州?階段練習(xí)）已知工二。是一元二次方程％2—x_i=o較大的根，則下面對(duì)。

的估計(jì)正確的是

A.0<a<lB.1<?<1,5C.1.5<6/<2D.2<Q<3

10.（九年級(jí)上?安徽安慶?期末）如圖，已知點(diǎn)/（6,0）,點(diǎn)B在V軸正半軸上，將線段48繞點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。到線段NC,若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10,?。瑒t〃7的值為（）

D.1

、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.方程方=3x的解是

12.（2024?江西九江?二模）若關(guān)于x的一元二次方程一-3cx-c+l=0的一個(gè)根為%=-1,則另一個(gè)根

為工2=.

13.（八年級(jí)上?上海青浦?期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：-2X2-2X+1=.

14.（八年級(jí)下?陜西榆林?階段練習(xí)）己知仍=5,26=3,求代數(shù)式/-2帥=.

15.（八年級(jí)下?山東泰安?期中）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和8,第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程

（x-3）（X-10）=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的周長(zhǎng)是.

16.（22-23九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段N8上，2在線段/C上，且

AD=CD,AB=2,若則/D的長(zhǎng)為.

ADB

17.（八年級(jí)下?浙江杭州?期中）已知x為實(shí)數(shù)，若（/+3xy+2（/+3x）-3=0,貝UX2+3X=.

18.（八年級(jí)下?湖北黃石?期中）如圖，已知矩形NBCD,AB=9,AD=4,￡為CD邊上一點(diǎn)，CE=6,

點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著R4邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接尸￡,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，則

當(dāng)/的值為時(shí)，△尸/E是以PE為腰的等腰三角形.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（八年級(jí)下?福建福州?階段練習(xí)）解下列方程:

(1)x2=3x-1：⑵x2-4x+3=0.

20.（8分）（2024八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?專題練習(xí)）

x6

（1）解方程：4（3x+9）=2x（3x+9）.（2）解分式方程:---------1=----7

x—2x—4

21.（10分）（2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值：+-其中a

\a-2a4-a

滿足方程/+4a+l=0

22.（10分）（九年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）用指定的方法解方程：

（1）X2-4X-1=0（用配方法）（2）3/一1卜=一9（用公式法）

⑶5（》-3『=犬一9（用因式分解法）（4）2/+”=>+2（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

23.（10分）（2024?安徽六安?三模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第3行起,

每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1,3,

6,10,15,

我們把第1個(gè)數(shù)記為生,第2個(gè)數(shù)記為出,第3個(gè)數(shù)記為。3，……，第〃個(gè)數(shù)記為

1

11

16

（1）根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律，%=_，??=

（2）這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)嗎？如果有，求〃；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.（12分）（八年級(jí)下?上海奉賢?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x-3與x軸和y軸分

別交于點(diǎn)5、C,與直線＞=》相交于點(diǎn)4

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)尸在線段。4上.

①若點(diǎn)/是。/的中點(diǎn)，求線段8尸的長(zhǎng)度；

②點(diǎn)。在直線/C上，點(diǎn)〃在x軸上，當(dāng)四邊形。尸血）是正方形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

參考答案:

1.D

【分析】本題考查了一元二次方程的根，分別求出各選項(xiàng)中方程的根，然后再根據(jù)一元二次方程的根的定

義進(jìn)行判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、2(x-3)(x+4)=0,解得：西=3,x2=-4,符合題意；

B、(x+4)(x-3)=0,解得:%=3,X2=-4,不符合題意；

C、(x-3)(3x+12)=0,解得：西=3,X2=-4,不符合題意；

D、(x+3)(x-4)=0,解得：x,=-3,x2=4,不符合題意；

故選：D.

2.B

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用因式分解法求解即可.

直接運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：X2-7mx+12m2=0>

(無(wú)一—4加)=0,

x-3機(jī)=0或x-4m=0,

/=3m,x2=4m,

故選B.

3.A

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法；因此此題可根據(jù)公式法求解

方程.

【詳解】解：2X2+5X-1=0

a=2,b=5,c=—1,

???△=/-4。。=25+8=33>0,

.—b±J/-4QC-5±V33

??x=------------------=-------------;

2a4

故選A.

4.B

【分析】本題主要考查解一元二次方程根據(jù)解一元二次方程的方法直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、

配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的方法，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A./=4適合用直接開(kāi)平方法，符合題意；

B.(x-2)2=(2x+3)(x-2),適合用因式分解法，符合題意；

C.(x+4)(5-x)=5適合用公式法，符合題意；

D.V-4x+2=0適合用配方法法，符合題意；

故選：B.

5.A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟

練掌握.先解方程求得。，再根據(jù)勾股定理求得N3,從而計(jì)算出Y/BCD的周長(zhǎng)即可.

【詳解】解：入是一元二次方程d+3x-4=0的根，

+3a—4=0,

即(a—l)(a+4)=0,

解得，a=l或a=T(不合題意，舍去).

BE=1,AE=CE=2,

在RtZk/BE中，AB=ylAE2+BE2=V12+22=45>

BC=EB+EC=3,

:.nABCD的周長(zhǎng)=2(45+BC)=2(指+3)=6+2店.

故選：A.

6.C

【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于熟知關(guān)于%一元二次方程

辦2+法+C=0(a20)若有解，則其解為X=.

2a

【詳解】解：由題意得：。=1,6=2,c=—4f

*,?該方程為一+21-4=0,

故選：C.

7.B

【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過(guò)程中，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做分式方

程的增根.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出工的值，代入整式方程計(jì)算即可求出。

的值.

【詳解】解：去分母得：l+x-2=a-x,

分式方程工+1=y有增根，

x-2x-2

x—2=0,

..x=2,

才巴x=2彳弋入,1+x-2=Q-xf

得1+2-2=。-2,

..—3,

經(jīng)檢驗(yàn)：4=3時(shí)分式方程有增根，符合題意.

故選B.

8.C

【分析】根據(jù)新定義，列出常規(guī)式的方程，解答即可.

本題考查了新定義的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解定義，建立方程是解題的關(guān)鍵.

［詳解］,/a^.b=3(^a+b^-5ab,xX(x+l)=—l,

3(x+x+l)—5x(x+1)=—1,

整理，得5%2_%一4=0,

4、

解得％=或x=l,

故選C.

9.C

【分析】先用公式法求出兩個(gè)解，再觀察可知，較大解中包含石，最后利用有的范圍，求出解的范圍.

【詳解】解：,??一元二次方程/一％_1=0的解為：

-b±y/b2-4ac-(-1)±A/5

x=---------=-------,

2a2

較大的根為：a=t避,

2

,/2<V5<3,

A3<1+V5<4,

1,5<a<2，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法和無(wú)理數(shù)取值范圍，正確代入公式計(jì)算是關(guān)鍵.

10.A

【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一元二次方程的解法,

先證明48=/C=3C,設(shè)8（0,了），再建立方程組解題即可.

【詳解】解：如圖，連接BC,

“BC為等邊三角形,

：.AB=AC=BC,

設(shè)8(0)),

.j62+y2=（6-10）2+m2@

"u+w7y=62+/②，

由①得：yuy/m2-2。③，

把③代入②得：3--208/一64x64=0,

（3m2-256）（m2+16）=0,

3加2-256=0，

解得：加=電必，（經(jīng)檢驗(yàn)負(fù)根舍去）；

3

故選A

11.再=0,%=3

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵.

把方程化為/_3%=0,再利用因式分解的方法解方程即可.

【詳解】解：?.*=3x,

/.%2-3x=0，

/.x（x-3）=0,

???x=0或％—3=0,

解得：=3,X2=0.

故答案為：%=0,%=3.

12.-2

【分析】此題考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含義先求解c=T,再

解方程即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程/-3%-0+1=0的一個(gè)根為占=-1,

.,.(-1)2-3CX(-1)-C+1=0,

解得：c=-l,

...原方程為Y+3X+2=0,

(x+l)(x+2)=0,

解得：無(wú)］=-1,x2=-l-

故答案為：-2

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根據(jù)題目中所說(shuō)的方法進(jìn)

行分解因式即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握求方程的根再分解因式的方法.

【詳解】解：令-2/-2x+l=0,

1+V31-73

解得：X]-----，--------

222

,2_1.(i+VsY1-V3

—2.x—2.x+1——2xH---------xH-------------

\2八2

故答案為：-2x+]+『x+1'

14.一6或15

【分析】本題考查了解一元二次方程，求代數(shù)式的值；由已知消去字母a,得到關(guān)于b的一元二次方程,

解之求得6的值，即可求得a的值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：由。-26=3得：a=2b+3,代入。6=5中，整理得2〃+36-5=0,

解得：b=,b=1,

2

對(duì)應(yīng)地：a=—2,〃=5；

當(dāng)a=_2,6=_|■時(shí)，a2-2a/?=4-2x(-2)x^-|j=-6；

當(dāng)a=5,b=l時(shí)，a2-2ab=25-2x5xl=l5;

綜上，代數(shù)式的值為-6或15；

故答案為：-6或15.

15.23

【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形的三邊關(guān)系，解方程求出方程的解得到x的值,

利用三角形的三邊關(guān)系判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】解:(x-3)(x-10)=0,

x-3=0或x-10=0,

解得：須=3戶2=10,

當(dāng)玉=3時(shí)，?/3+5=8,

..?不能構(gòu)成三角形，

；.芯=3不合題意，舍去，

當(dāng)％=1。時(shí)，?；5+8>10,

...能構(gòu)成三角形，

此時(shí)該三角形的周長(zhǎng)是5+8+10=23,

故答案為：23.

]“V5—1

lb.--------

2

【分析】根據(jù)/8=2,有BC=AB-AC=2-AC,再根據(jù)/C?=臺(tái)0/臺(tái)，可得/C?=(2-NC)x2,即

AC2+2AC-4=0,解方程即可求解ZC,問(wèn)題隨之得解.

【詳解】解：；/2=2,

BC=AB-AC=2-AC,

'：AC2=BC-AB,

；.AC2=(2-^C)x2,AC2+2AC-4=Q,

解得：AC=V5-1(負(fù)值舍去)，

AD=CD,

???AD=CD=-AC=,

22

故答案為：避匚.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到關(guān)于/C的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.

17.1

【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，設(shè)＞=/+3為，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)

于y的一元二次方程/+2了-3=0,然后利用因式分解法解該方程求得y的值即可.

【詳解】解：設(shè)＞=/+3彳，則y2+2y-3=0,

整理，得U+3)(y-l)=0.

所以y+3=0或＞-1=0.

解得尸-3或尸1.

當(dāng)尸-3時(shí)，x2+3x=-3,此時(shí)該方程無(wú)解，故舍去.

綜上所述，x2+3x=1.

故答案為：1.

18.3或二29

6

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CD=4B=8,3C=4D=4,求出4P=8T,?！?3,由勾股定理求出/￡=5,

PE2=EF2+PF2=42+(6-^,分為兩種情況：①當(dāng)4￡=尸￡時(shí)，②當(dāng)時(shí)，求出即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：BP=t,

:四邊形/BCD是矩形，AB=9,AD=4,

：.CD=AB=9,BC=AD=4,

：.AP=9-t,DE=DC-CE=9-6=3,

由勾股定理得：AE=^32+42=5,

過(guò)E作所_L4B于尸，

則/EFA=/EFB=90°,

:NC=/B=90°,

四邊形BCEF是矩形,

；.BF=CE=6,BC=EF=4,

PF=6—t,

由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+（6-t）2,

①當(dāng)=時(shí)，52=42+（6-?）2,

解得：t=3,t=9,

?.F=9不符合題意，舍去；

②當(dāng)=時(shí)，（9-?）2=42+（6-Z）2,

29

解得：t=-ff

6

即當(dāng)/的值為3或鄉(xiāng)29時(shí)，△尸4E是以尸E為腰的等腰三角形，

6

故答案為：3或名2Q.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況

是解此題的關(guān)鍵.

19.⑴匹=主咨，/=士『

（2）X]=3,%2=1

【分析】本題主要考查解一元二次方程.

(1)利用公式法解一元二次方程即可.

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】⑴解:X2=3X-1

整理得：x2-3x+l=0

A=Z>2-4ac=9-4xlxl=5,

—b±yjb2-4ac3±y/5

x=------------=------，

2a2

.3+\/53—5/5

.?X]二--,x2=---

2

(2)X-4X+3=0

(x-3)(x-l)=0,

x—3=0或x—l=O,

解得：毛=3,x2=1.

20.(1)%,=2,x2=-3；(2)x=l

【分析】本題主要考查解一元二次方程，分式方程，熟練掌握一元二次方程和分式方程的解法是解題的關(guān)

鍵，

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對(duì)所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得.

【詳解】解：(1)4(3x+9)=2x(3x+9)

4(3x+9)-2x(3x+9)=0

(4-2x)(3x+9)=0

4-2x=0或3x+9=0,

解得：xt=2,x2--3.

去分母得，+2)—(x+2乂x—2)=6

解得x=l

檢驗(yàn)：將x=1代入(x+2)(x—2)w0

...原方程的解為x=l.

21.:If,。=-2+百時(shí)，原式=71+216；°=-2-百時(shí)，原式=71-216

-4)507507

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解一元二次方程，先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出方

程的解，將方程的解代入求解即可

【詳解】解：原式=

CL—2。CL—4

u+4。+4—au.

-2)(Q+2)Q?-4

q+3。+4

:/+4〃+i=o,

??a?=-4。—1,a=-2+y/3a=—2--\/3,

(一4。-1)+3〃+4—ci+3—a+3—ci+3

??原式—(—4q—l—4)2-16/+404+25-16(3-1)+404+25

—24。+9

當(dāng)+百時(shí)，原式=二平+/：=小

-24卜2+6)+9507

_(-2一班)+371-216

當(dāng)“=-2-8時(shí)’原式二24卜2一4"^^

22.(1)石=-\/-5+2,/=—V5+2

z9x_11+V1311-V13

66

9

(3)玉=3,x?~~

⑷=p%=-2

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用配方法解方程，先移項(xiàng)再配方，然后開(kāi)方即可作答.

(2)先化為一般式，再根據(jù)An〃-dac算出，以及代入x=”土網(wǎng)進(jìn)行化簡(jiǎn),即可作答.

2a

(3)先移項(xiàng)，再提取公因式，令每個(gè)因式為0,進(jìn)行解出x的值，即可作答.

(4)先移項(xiàng)，再提取公因式，令每個(gè)因式為0,進(jìn)行解出x的值，即可作答.

【詳解】(1)解：X2-4X-1=0

移項(xiàng)，得一一4%=1

配方，得％2_4x+4=l+4,即(％-2『=5

?**x—2=±^5

解得玉=V5+2,x2=—y/5+2；

(2)解：3X2-UX=-9

3X2-11X+9=0

A=Z>2-4^=121-4x3x9=121-108=13

.11±V13

??x=-------

6

解得寸31

66

(3)解：5(x-3)2=X2-9

5(X-3)2-(X2-9)=0

5(X-3)2-(X-3)(X+3)=0

(x-3)[5(x-3)-(x+3)]=(x-3)(4x-18)=0

貝Ux-3=0,4