【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題15 直線與圓的位置關(guān)系之八大考點(diǎn)（解析版）

專題15直線與圓的位置關(guān)系之八大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】 1【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】 4【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】 5【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】 7【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】 9【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】 14【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】 16【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】 23【過關(guān)檢測】 27【典型例題】【考點(diǎn)一判斷直線和圓的位置關(guān)系】例題：（2023上·天津和平·九年級天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，若以2為半徑作，則斜邊與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面積法求出，最后根據(jù)與半徑的大小關(guān)系判斷斜邊與的位置關(guān)系即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作于D，∵，，，∴，又，∴，∵，∴以2為半徑作與斜邊相離．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，以為圓心作一個半徑為的圓，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上C．直線與相切 D．直線與相離【答案】C【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理；過點(diǎn)作于，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，則利用勾股定理可計(jì)算出，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法對A選項(xiàng)和選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系對C選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：過點(diǎn)作于，如圖，

，，在中，，，點(diǎn)在外，所以選項(xiàng)不符合題意；，點(diǎn)在外，所以選項(xiàng)不符合題意；，半徑，直線與相切，所以選項(xiàng)符合題意，D選項(xiàng)符不合題意．故選：C．2．（2023上·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，下列判斷正確的是（

）A．與軸相交 B．與軸相切C．點(diǎn)在外 D．點(diǎn)在內(nèi)【答案】C【分析】此題主要考查了直線與圓和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到圓心到軸的距離是，到軸的距離是，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出答案，熟練掌握運(yùn)用直線與圓和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圓心，∴到軸的距離是，到軸的距離是，∵的半徑為，∴與軸相離，與軸相交，故選項(xiàng)錯誤；由，則點(diǎn)在外，故選項(xiàng)正確；設(shè)，∴，則點(diǎn)在上，故選項(xiàng)錯誤；故選：．【考點(diǎn)二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】例題：（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：∵直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，∴d的取值范圍是；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)的半徑等于r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)時(shí)，直線與圓相離，當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；反之也成立.【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知直線l與半徑長為R的相離，且點(diǎn)O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是．【答案】【分析】若直線和圓相離，則應(yīng)滿足即可．【詳解】解：直線和圓相離，且點(diǎn)到直線的距離為5，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系．直線和圓相離，則應(yīng)滿足是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是．【答案】【分析】過M作于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：過M作于H，如圖所示：∵，，∴，∵，與線段有交點(diǎn)，∴r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和相交；直線l和相切；直線l和相離．【考點(diǎn)三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】例題：（2022秋·九年級單元測試）設(shè)的半徑為，圓心到直線l的距離為，若、是方程的兩根，則直線l與相切時(shí)，的值為．【答案】9【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出方程有兩個相等的根，再根據(jù)即可求出m的值．【詳解】解：∵d、R是方程的兩個根，且直線l與相切，∴，∴方程有兩個相等的實(shí)根，∴，解得，，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及一元二次方程根的判別式，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心坐標(biāo)為，半徑是2．如果⊙M與y軸相切，那么；如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)軸與圓的位置關(guān)系，推出圓心到軸的距離和半徑之間的關(guān)系即可得解．【詳解】解：∵⊙M與y軸相切，∴；即；∴如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是或．故答案為：；；或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系與直線與圓的位置關(guān)系之間的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點(diǎn)，．點(diǎn)P是BC上一個動點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個交點(diǎn)，則PC長度的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點(diǎn)為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點(diǎn)為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，∴，當(dāng)時(shí)，此時(shí)圓P與線段開始有2個交點(diǎn)，不符合題意，設(shè)，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．【考點(diǎn)四判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作，當(dāng)cm時(shí)，與OA相切.【答案】4【分析】過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，此時(shí)以MN為半徑的圓與OA相切，根據(jù)30°角所對直角邊為斜邊的一半可得OM的長.【詳解】解：如圖，過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，∵M(jìn)N=2cm，，∴OM=4cm，則當(dāng)OM=4cm時(shí)，與OA相切.故答案為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn).【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，為的直徑，，當(dāng)時(shí)，直線與相切．【答案】1【分析】直線與相切時(shí)，，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線與相切，∴（cm），故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時(shí)，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五證明某直線是圓的切線】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，直線與相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，直徑，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，通過證明，得出，即可求證；（2）易得，根據(jù)，得出，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴，∵是圓O的切線且為半徑，∴．∴．∴．又∵是半徑，∴為圓O的切線．（2）解：∵AB是直徑，且，∴據(jù)（1）知，，又，∴，∴在中：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵通過正確作輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為2，點(diǎn)A是的直徑延長線上的一點(diǎn)，C為上的一點(diǎn)，，．(1)求證：直線是的切線；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，然后求出，即可證明；（2）首先得到是等邊三角形，然后作于點(diǎn)H，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，進(jìn)而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接∵，∴∴∵∴∴∵OC是半徑∴直線是的切線；（2）由（1）得是等邊三角形，作于點(diǎn)H，則∴在中，，∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓和三角形綜合題，圓切線的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，．(1)求證：是圓的切線；(2)點(diǎn)在上，且，連接，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)接于圓和得出，再根據(jù)得出即可證明；（2）連接，，，記與相交于點(diǎn)，根據(jù)用垂徑定理得出，再根據(jù)，運(yùn)用三角形中位線得出即可解答；【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于圓∴∵∴∵∴，即又∵是圓的直徑∴是圓的切線（2）如圖，連接，，，記與相交于點(diǎn)

∵，∴∴，又∴∵，∴又∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓切線證明，圓心角定理，垂徑定理，三角形中位線等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓部分的這些知識點(diǎn)．【考點(diǎn)六切線的性質(zhì)定理】例題：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長線于點(diǎn)，為切點(diǎn)，若，的半徑為3，則的長為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半計(jì)算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，且是的切線，交于點(diǎn)，若，則．

【答案】30【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：是的切線，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南永州·校考二模）如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是．

【答案】/26度【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：是的直徑，與相切于點(diǎn)A，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為10．【分析】（1）連接，連接，通過證明即可進(jìn)行求證；（2）連接，則，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)的半徑為，根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，連接，

在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，

∵，，∴，，∴，設(shè)的半徑為，則，，∵，∴，解得：，∴的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的外一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是的切線，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；(2)若，的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是的切線．根據(jù)是的切線，可得，進(jìn)而證明，等量代換可得，即可得證；（2）根據(jù)，可得四邊形是正方形，則是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．為的直徑，．，是的切線．是的切線，，．，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（2）解：若，由()得，四邊形是正方形，是等腰直角三角形．半徑為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作半圓，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是半的切線；(2)若，，求半的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由切線的性質(zhì)知，，又，，，推證，由角平分線性質(zhì)定理得，結(jié)論得證；（2）由切線長定理知，由等腰三角形性質(zhì)知，進(jìn)一步推證，由直角三角形性質(zhì)，求解圓半徑為．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)．為半切線，，，．

，，．，，，．，，是半的半徑．

，是半的切線．（2）是半的切線，，．，．，，，．在中，，，

的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用已知的角之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合直角三角形性質(zhì)求解角度是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，為上的一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．且．

(1)求證：為的切線；(2)若，，直接寫出半徑的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線求得，由等邊對等角可得，由是直徑和等量代換可得，即可得證；（2）連接，設(shè)，證明，可得，推出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分，，，，，，是直徑，，，，，，是半徑，是的切線；（2）解：連接，如圖，

設(shè)，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【考點(diǎn)八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】例題：（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設(shè)，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)．若，則．【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)先證明四邊形是矩形，可得，再由切線長定理可得，設(shè)，可得，，可得到關(guān)于r的方程，即可求解．【詳解】解：∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，分別切邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．(1)求的半徑．(2)若Q是的外心，連接，求的長度．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面積公式，即可求解；（2）證明四邊形為正方形，邊長為1，再利用切線長定理結(jié)合勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，設(shè)的半徑為r．∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，，．在中，，，，∴．∵，∴，解得，∴的半徑為1；（2）解：∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，，．，，．∴四邊形為正方形，∵，∴四邊形為正方形，

∴，∴．∵Q是的外心，∴，∴．在中，，即，解得（負(fù)值舍去）．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線與相切于點(diǎn)的半徑為3，則線段的長為（

）A． B．6 C． D．3【答案】B【分析】本題主要利用了切線的性質(zhì)和含直角三角形性質(zhì)，由于直線與相切于點(diǎn)A，則，而，根據(jù)含直角三角形性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵直線與相切于點(diǎn)A，則．∵，∴．故選：B．2．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而得出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，，∴，∴，∴，故選：D．3．（2023上·陜西西安·九年級陜西師大附中校考階段練習(xí)）在中，．以點(diǎn)為圓心、為半徑作，則與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理及直線與圓的位置關(guān)系，若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積求出斜邊上的高的長度．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．利用勾股定理可求出的長，根據(jù)三角形面積公式可求出邊上的高，即圓心到直線的距離，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】∵，，∴由勾股定理求得．，∴上的高為：÷，即圓心到直線的距離是．∵，∴與直線的位置關(guān)系是相離．故選C.4．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，若與直線相離，的半徑可取的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出，即可得到答案，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，或，，，的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，，與直線相離，的半徑，即，故選：A．5．（2023上·新疆省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，分別與相切于點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)為上一點(diǎn)（點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合）．若，則（）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】該題主要考查了圓周角定理以及切線性質(zhì)定理、圓內(nèi)接四邊形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類討論；連接分為是優(yōu)弧上一點(diǎn)，和是劣弧上一點(diǎn)，兩種情況計(jì)算即可；【詳解】（1）如圖，點(diǎn)E為優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接，

，分別與相切，，，，，，（2）如圖，點(diǎn)E為劣弧上一點(diǎn)，若是優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接、

，分別與相切，，，，，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故選：D．二、填空題6．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，切于B，若，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，連接，由切線的性質(zhì)知是直角三角形，可求出的度數(shù)，由于是等腰的外角，由此可求出的度數(shù)，已知和互余，即可得解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)及其應(yīng)用．【詳解】如圖，連接，∵與相切于，∴；在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．7．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的半徑為10，為直線上一點(diǎn)，若，則直線與的位置關(guān)系是．（填“相切”、“相交”或“相離”）【答案】相交【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)d，R法則計(jì)算判斷即可．【詳解】∵，∴直線與相交，故答案為：相交．8．（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)P是延長線上的一點(diǎn)，是的切線，C為切點(diǎn)．若，，則．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接，

∵是的切線，∴，在中，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正切的定義、勾股定理等知識，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·江蘇無錫·九年級校考期中）如圖，在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、．若，，則．

【答案】【分析】本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理；根據(jù)切線長定理可得，在中，，，列出方程求解即可．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、．，，∴，在中，，解得：（負(fù)值舍去）∴,∴故答案為：．10．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，的半徑為2．當(dāng)圓心與點(diǎn)重合時(shí)，與直線的位置關(guān)系為；若圓心從點(diǎn)開始沿軸移動，當(dāng)時(shí)，與直線相切．

【答案】相離或【分析】作于點(diǎn)，由，點(diǎn)，，得，由，求得，可知與直線相離；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，設(shè)與直線相切于點(diǎn)，連接，則，得，求得，則；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)與直線相切于點(diǎn)，連接，可證明，得，，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，

，，點(diǎn)，，，，，解得，∵的半徑為2，且，∴當(dāng)圓心與點(diǎn)重合時(shí)，圓心到直線的距離大于的半徑，與直線相離；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，設(shè)與直線相切于點(diǎn)，連接，則，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)與直線相切于點(diǎn)，連接，則，，，，，，∴當(dāng)或時(shí)，與直線相切，故答案為：相離，或．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知為同心圓中大圓的弦，若，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：為同心圓中小圓的切線．【答案】見解析【分析】本題主要考查了切線的判定定理，解題關(guān)鍵是先過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂徑定理和的長，求出，再根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)切線的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：證明：如圖所示：過點(diǎn)作，垂足為，，大圓半徑為2，，，在中，由勾股定理得：，的長等于小圓的半徑1，為同心圓中小圓的切線．12．（2023上·河北邯鄲·九年級校考階段練習(xí)）如圖，為的直徑，過圓上一點(diǎn)作的切線交的延長線與點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)直線與相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)相切，見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識．（1）先證得，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切；（2）解：設(shè)半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得．13．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，．經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．

(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)是；(2)判斷與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)相交，理由見解析【分析】此題考查了過三點(diǎn)的圓，圓與直線的位置關(guān)系，熟練掌握圓心的確定方法，理解圓與直線的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接，分別作的垂直平分線交于點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心；（2）先利用勾股定理求出，即得的半徑為，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，然后比較d與r的大小即可得出于y軸的位置關(guān)系．【詳解】（1）連接，分別作的垂直平分線交于點(diǎn)M，如圖所示：

根據(jù)網(wǎng)格的特征可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故答案為：．（2）相交．根據(jù)網(wǎng)格特征可得：的半徑圓心M到y(tǒng)軸的距離∴∴與y軸相交．14．（2023上·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，以為圓心的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，利用勾股定理求得的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)，列出比例式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵的半徑為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的根據(jù)．15．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑．點(diǎn)在圓上，是的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）連接，，由等邊對等角結(jié)合對頂角相等可得，由圓周角定理結(jié)合角平分線的定義可得，從而得出，由三角形內(nèi)角和定理可得，從而得出，再由等邊對等角得出，即可得證；（2）由圓周角定理可得，證明可得，從而得到，求解即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，為的直徑，，是的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，即，為半徑，是的切線；（2）解：如圖，，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的定義等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．16．（2023上·廣東東莞·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是劣弧中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．連接，，與的延長線相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長