【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題15 直線與圓的位置關系之八大考點（解析版）

專題15直線與圓的位置關系之八大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一判斷直線和圓的位置關系】 1【考點二已知直線和圓的位置關系求半徑的取值】 4【考點三已知直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】 5【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】 7【考點五證明某直線是圓的切線】 9【考點六切線的性質定理】 14【考點七切線的性質與判定的綜合應用】 16【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關系】 23【過關檢測】 27【典型例題】【考點一判斷直線和圓的位置關系】例題：（2023上·天津和平·九年級天津市匯文中學?？茧A段練習）已知中，，若以2為半徑作，則斜邊與的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，勾股定理等知識，熟練掌握直線與圓的位置關系是解題的關鍵．過點C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面積法求出，最后根據(jù)與半徑的大小關系判斷斜邊與的位置關系即可．【詳解】解：過點C作于D，∵，，，∴，又，∴，∵，∴以2為半徑作與斜邊相離．故選：B．【變式訓練】1．（2023上·山東濟寧·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，以為圓心作一個半徑為的圓，下列結論中正確的是（

）

A．點在內(nèi) B．點在上C．直線與相切 D．直線與相離【答案】C【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系，勾股定理；過點作于，如圖，利用等腰三角形的性質得到，則利用勾股定理可計算出，然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法對A選項和選項進行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關系對C選項和D選項進行判斷．【詳解】解：過點作于，如圖，

，，在中，，，點在外，所以選項不符合題意；，點在外，所以選項不符合題意；，半徑，直線與相切，所以選項符合題意，D選項符不合題意．故選：C．2．（2023上·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，以點為圓心，為半徑作，下列判斷正確的是（

）A．與軸相交 B．與軸相切C．點在外 D．點在內(nèi)【答案】C【分析】此題主要考查了直線與圓和點與圓的位置關系，坐標與圖形性質等知識點，根據(jù)點的坐標得到圓心到軸的距離是，到軸的距離是，根據(jù)直線與圓的位置關系即可求出答案，熟練掌握運用直線與圓和點與圓的位置關系是解題的關鍵．【詳解】解：∵圓心，∴到軸的距離是，到軸的距離是，∵的半徑為，∴與軸相離，與軸相交，故選項錯誤；由，則點在外，故選項正確；設，∴，則點在上，故選項錯誤；故選：．【考點二已知直線和圓的位置關系求半徑的取值】例題：（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系判斷即可.【詳解】解：∵直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，∴d的取值范圍是；故答案為：.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，設的半徑等于r，圓心O到直線l的距離為d，則當時，直線與圓相離，當時，直線與圓相切，當時，直線與圓相交；反之也成立.【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）已知直線l與半徑長為R的相離，且點O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是．【答案】【分析】若直線和圓相離，則應滿足即可．【詳解】解：直線和圓相離，且點到直線的距離為5，，故答案為：．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，掌握直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的等價關系．直線和圓相離，則應滿足是解題的關鍵．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點時，則的取值范圍是．【答案】【分析】過M作于H，根據(jù)直角三角形的性質得到，然后根據(jù)直線與圓的位置關系即可得到結論．【詳解】解：過M作于H，如圖所示：∵，，∴，∵，與線段有交點，∴r的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系：設的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和相交；直線l和相切；直線l和相離．【考點三已知直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】例題：（2022秋·九年級單元測試）設的半徑為，圓心到直線l的距離為，若、是方程的兩根，則直線l與相切時，的值為．【答案】9【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關系得出方程有兩個相等的根，再根據(jù)即可求出m的值．【詳解】解：∵d、R是方程的兩個根，且直線l與相切，∴，∴方程有兩個相等的實根，∴，解得，，故答案為：9．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系及一元二次方程根的判別式，熟知以上知識是解答此題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）在直角坐標系中，⊙M的圓心坐標為，半徑是2．如果⊙M與y軸相切，那么；如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)軸與圓的位置關系，推出圓心到軸的距離和半徑之間的關系即可得解．【詳解】解：∵⊙M與y軸相切，∴；即；∴如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是或．故答案為：；；或．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，熟練掌握圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系與直線與圓的位置關系之間的聯(lián)系，是解題的關鍵．2．（2023·陜西·模擬預測）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，由直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，∴，當時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，設，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直角梯形，解決本題的關鍵是掌握直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系．【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作，當cm時，與OA相切.【答案】4【分析】過M作MN⊥OA于點N，此時以MN為半徑的圓與OA相切，根據(jù)30°角所對直角邊為斜邊的一半可得OM的長.【詳解】解：如圖，過M作MN⊥OA于點N，∵MN=2cm，，∴OM=4cm，則當OM=4cm時，與OA相切.故答案為4.【點睛】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）如圖，為的直徑，，當時，直線與相切．【答案】1【分析】直線與相切時，，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：當時，直線與相切，∴（cm），故答案為：1．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質是解題關鍵．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質，掌握切線的判定定理是解答此題的關鍵．【考點五證明某直線是圓的切線】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知是的直徑，直線與相切于點B，過點A作交于點D，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，直徑，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質可得，通過證明，得出，即可求證；（2）易得，根據(jù)，得出，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴，∵是圓O的切線且為半徑，∴．∴．∴．又∵是半徑，∴為圓O的切線．（2）解：∵AB是直徑，且，∴據(jù)（1）知，，又，∴，∴在中：，．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵通過正確作輔助線，構造全等三角形，熟練掌握相關知識點并靈活運用．【變式訓練】1．（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為2，點A是的直徑延長線上的一點，C為上的一點，，．(1)求證：直線是的切線；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)，得到，進而得到，然后求出，即可證明；（2）首先得到是等邊三角形，然后作于點H，利用等腰三角形三線合一性質得到，進而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接∵，∴∴∵∴∴∵OC是半徑∴直線是的切線；（2）由（1）得是等邊三角形，作于點H，則∴在中，，∴∴∴．【點睛】此題考查了圓和三角形綜合題，圓切線的判定，勾股定理，等邊三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點，延長交于點，．(1)求證：是圓的切線；(2)點在上，且，連接，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)接于圓和得出，再根據(jù)得出即可證明；（2）連接，，，記與相交于點，根據(jù)用垂徑定理得出，再根據(jù)，運用三角形中位線得出即可解答；【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于圓∴∵∴∵∴，即又∵是圓的直徑∴是圓的切線（2）如圖，連接，，，記與相交于點

∵，∴∴，又∴∵，∴又∵，∴∴∴．【點睛】該題主要考查了圓切線證明，圓心角定理，垂徑定理，三角形中位線等知識點，解題的關鍵是熟練掌握圓部分的這些知識點．【考點六切線的性質定理】例題：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長線于點，為切點，若，的半徑為3，則的長為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質得到，再根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半計算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點睛】本題主要考查了切線的性質，直角三角形的性質，準確計算是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點是外的一點，且是的切線，交于點，若，則．

【答案】30【分析】根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)直角三角形的性質計算，得到答案．【詳解】解：是的切線，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．2．（2023·湖南永州·校考二模）如圖，是的直徑，與相切于點的延長線交于點，則的度數(shù)是．

【答案】/26度【分析】利用圓周角定理，切線的性質定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：是的直徑，與相切于點A，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質定理，熟練掌握上述定理是解題的關鍵．【考點七切線的性質與判定的綜合應用】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，中，，點在邊上，以點為圓心，為半徑的圓交邊于點，交邊于點，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為10．【分析】（1）連接，連接，通過證明即可進行求證；（2）連接，則，根據(jù)勾股定理求出，設的半徑為，根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，連接，

在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，

∵，，∴，，∴，設的半徑為，則，，∵，∴，解得：，∴的半徑為10．【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．【變式訓練】1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；(2)若，的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是的切線．根據(jù)是的切線，可得，進而證明，等量代換可得，即可得證；（2）根據(jù)，可得四邊形是正方形，則是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．為的直徑，．，是的切線．是的切線，，．，，，，，點是的中點．

（2）解：若，由()得，四邊形是正方形，是等腰直角三角形．半徑為，，，．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作半圓，與相切于點，過點A作交的延長線于點，且．

(1)求證：是半的切線；(2)若，，求半的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點作于點，由切線的性質知，，又，，，推證，由角平分線性質定理得，結論得證；（2）由切線長定理知，由等腰三角形性質知，進一步推證，由直角三角形性質，求解圓半徑為．【詳解】（1）證明：過點作于點．為半切線，，，．

，，．，，，．，，是半的半徑．

，是半的切線．（2）是半的切線，，．，．，，，．在中，，，

的半徑為．【點睛】本題考查圓切線的判定和性質，切線長定理，等腰三角形性質，角平分線性質，直角三角形的性質，勾股定理，利用已知的角之間的數(shù)量關系結合直角三角形性質求解角度是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，為上的一點，的平分線交于點，過點的直線交的延長線于點，交的延長線于點．且．

(1)求證：為的切線；(2)若，，直接寫出半徑的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線求得，由等邊對等角可得，由是直徑和等量代換可得，即可得證；（2）連接，設，證明，可得，推出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分，，，，，，是直徑，，，，，，是半徑，是的切線；（2）解：連接，如圖，

設，，，，，，，【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關系】例題：（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【變式訓練】1．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．若，則．【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質先證明四邊形是矩形，可得，再由切線長定理可得，設，可得，，可得到關于r的方程，即可求解．【詳解】解：∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，設，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即．故答案為：1【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質，切線長定理是解題的關鍵．2．（2023秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)．(1)求的半徑．(2)若Q是的外心，連接，求的長度．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面積公式，即可求解；（2）證明四邊形為正方形，邊長為1，再利用切線長定理結合勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，設的半徑為r．∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)，∴，，．在中，，，，∴．∵，∴，解得，∴的半徑為1；（2）解：∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)，∴，，．，，．∴四邊形為正方形，∵，∴四邊形為正方形，

∴，∴．∵Q是的外心，∴，∴．在中，，即，解得（負值舍去）．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質、切線長定理、正方形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．【過關檢測】一、單選題1．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線與相切于點的半徑為3，則線段的長為（

）A． B．6 C． D．3【答案】B【分析】本題主要利用了切線的性質和含直角三角形性質，由于直線與相切于點A，則，而，根據(jù)含直角三角形性質即可求出．【詳解】解：∵直線與相切于點A，則．∵，∴．故選：B．2．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，點是的內(nèi)心，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質，根據(jù)已知條件可得，進而得出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵點是的內(nèi)心，，∴，∴，∴，故選：D．3．（2023上·陜西西安·九年級陜西師大附中?？茧A段練習）在中，．以點為圓心、為半徑作，則與直線的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理及直線與圓的位置關系，若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．關鍵是根據(jù)三角形的面積求出斜邊上的高的長度．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．利用勾股定理可求出的長，根據(jù)三角形面積公式可求出邊上的高，即圓心到直線的距離，根據(jù)直線和圓的位置關系進行判斷．【詳解】∵，，∴由勾股定理求得．，∴上的高為：÷，即圓心到直線的距離是．∵，∴與直線的位置關系是相離．故選C.4．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市胥江實驗中學校校聯(lián)考階段練習）已知的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，若與直線相離，的半徑可取的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了直線與圓的位置關系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根據(jù)直線與圓的位置關系可得出，即可得到答案，熟練掌握直線與圓的位置關系是解此題的關鍵．【詳解】解：，，或，，，的圓心到直線的距離是一元二次方程的一個根，，與直線相離，的半徑，即，故選：A．5．（2023上·新疆省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，分別與相切于點，點．點為上一點（點與，兩點不重合）．若，則（）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】該題主要考查了圓周角定理以及切線性質定理、圓內(nèi)接四邊形等知識點，解題的關鍵是分類討論；連接分為是優(yōu)弧上一點，和是劣弧上一點，兩種情況計算即可；【詳解】（1）如圖，點E為優(yōu)弧上一點，連接，

，分別與相切，，，，，，（2）如圖，點E為劣弧上一點，若是優(yōu)弧上一點，連接、

，分別與相切，，，，，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故選：D．二、填空題6．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，切于B，若，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】此題考查了切線的性質，連接，由切線的性質知是直角三角形，可求出的度數(shù)，由于是等腰的外角，由此可求出的度數(shù)，已知和互余，即可得解，解題的關鍵是熟練掌握切線性質，直角三角形性質和三角形外角性質及其應用．【詳解】如圖，連接，∵與相切于，∴；在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．7．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習）已知的半徑為10，為直線上一點，若，則直線與的位置關系是．（填“相切”、“相交”或“相離”）【答案】相交【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，根據(jù)d，R法則計算判斷即可．【詳解】∵，∴直線與相交，故答案為：相交．8．（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，是的直徑，點P是延長線上的一點，是的切線，C為切點．若，，則．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)正切的定義以及勾股定理進行計算，得到答案．【詳解】解：連接，

∵是的切線，∴，在中，，設，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質、正切的定義、勾股定理等知識，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．9．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，是的內(nèi)切圓，切點分別為、、．若，，則．

【答案】【分析】本題考查了內(nèi)切圓的性質，勾股定理；根據(jù)切線長定理可得，在中，，，列出方程求解即可．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，切點分別為、、．，，∴，在中，，解得：（負值舍去）∴,∴故答案為：．10．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，點，的半徑為2．當圓心與點重合時，與直線的位置關系為；若圓心從點開始沿軸移動，當時，與直線相切．

【答案】相離或【分析】作于點，由，點，，得，由，求得，可知與直線相離；當點在點的左側，設與直線相切于點，連接，則，得，求得，則；當點在點的右側，設與直線相切于點，連接，可證明，得，，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點，

，，點，，，，，解得，∵的半徑為2，且，∴當圓心與點重合時，圓心到直線的距離大于的半徑，與直線相離；當點在點的左側，設與直線相切于點，連接，則，，，，，，；當點在點的右側，設與直線相切于點，連接，則，，，，，，∴當或時，與直線相切，故答案為：相離，或．【點睛】此題重點考查圖形與坐標、直線與圓的位置關系、切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．三、解答題11．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知為同心圓中大圓的弦，若，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：為同心圓中小圓的切線．【答案】見解析【分析】本題主要考查了切線的判定定理，解題關鍵是先過點作，垂足為，根據(jù)垂徑定理和的長，求出，再根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)切線的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：證明：如圖所示：過點作，垂足為，，大圓半徑為2，，，在中，由勾股定理得：，的長等于小圓的半徑1，為同心圓中小圓的切線．12．（2023上·河北邯鄲·九年級校考階段練習）如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．(1)直線與相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)相切，見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識．（1）先證得，再證，得到，即可求出答案；（2）設半徑為；則，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切；（2）解：設半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得．13．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，．經(jīng)過A，B，C三點．

(1)點M的坐標是；(2)判斷與y軸的位置關系，并說明理由．【答案】(1)(2)相交，理由見解析【分析】此題考查了過三點的圓，圓與直線的位置關系，熟練掌握圓心的確定方法，理解圓與直線的位置關系是解決問題的關鍵．（1）連接，分別作的垂直平分線交于點M，以點M為圓心；（2）先利用勾股定理求出，即得的半徑為，再根據(jù)點M的坐標求出點M到y(tǒng)軸的距離，然后比較d與r的大小即可得出于y軸的位置關系．【詳解】（1）連接，分別作的垂直平分線交于點M，如圖所示：

根據(jù)網(wǎng)格的特征可得：點M的坐標為，故答案為：．（2）相交．根據(jù)網(wǎng)格特征可得：的半徑圓心M到y(tǒng)軸的距離∴∴與y軸相交．14．（2023上·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，，的平分線交于點，點在邊上，以為圓心的圓經(jīng)過，兩點，交于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；（）利用相似三角形的判定與性質得到，利用勾股定理求得的長，再利用相似三角形的判定與性質，列出比例式即可得出結論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵的半徑為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的判定與性質，角平分線的定義，平行線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解題的根據(jù)．15．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）如圖，為的直徑．點在圓上，是的平分線交于點，點在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）連接，，由等邊對等角結合對頂角相等可得，由圓周角定理結合角平分線的定義可得，從而得出，由三角形內(nèi)角和定理可得，從而得出，再由等邊對等角得出，即可得證；（2）由圓周角定理可得，證明可得，從而得到，求解即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，為的直徑，，是的平分線交于點，，，，，，，，即，為半徑，是的切線；（2）解：如圖，，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、角平分線的定義等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．16．（2023上·廣東東莞·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點是劣弧中點，與相交于點．連接，，與的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長