14.3因式分解（講練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)(人教版)

14.3因式分解因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.注意：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.題型1：因式分解的概念1.下列各式從左到右的變形中，是因式分解且完全正確的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【答案】C【解析】【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法運(yùn)算，故不符合題意；B、x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3的右邊不是積的形式，故不符合題意；C、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2是因式分解，符合題意；D、x3﹣x＝x（x2﹣1）=x（x+1）（x1），原式分解不徹底，故不符合題意.故答案為：C.【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍內(nèi)化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，因式分解必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止，據(jù)此判斷即可.【變式11】下列各式的變形中，屬于因式分解的是()A．(x+1)(x?3C．x2?xy?1=x(【答案】B【解析】【解答】解：A、從左到右的變形為整式乘法，故不符合題意．B、左邊為多項(xiàng)式，右邊為整式的積，故符合題意．C、左邊為多項(xiàng)式，右邊為整式的積，但等號(hào)不成立，故不符合題意．D、左邊、右邊均為多項(xiàng)式，故不符合題意．故答案為：B．【分析】根據(jù)因式分解的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可【變式12】下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)(x+y)=ax+ay B．a(chǎn)C．?x4+16=(【答案】B【解析】【解答】解：A、結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是因式分解，選項(xiàng)正確；C、?xD、結(jié)果不是整式的乘積的形式，不是因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：B.【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，據(jù)此判斷即可.公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.注意：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.題型2：找公因式2.代數(shù)式15a3b3(a?b)，A．5a2b(b?a)C．5ab(b?a) D．120【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)?a2b（b?a）＝?5a2b（a?b），?120a3b3（a2?b2）＝?120a3b3（a＋b）（a?b），所以代數(shù)式15a3b3（a?b），5a2b（b?a），?120a3b3（a2?b2）中的公因式是5a2b（b?a）．故答案為：A．【分析】多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。根據(jù)公因式的定義求解即可【變式21】多項(xiàng)式m2－4n2與m2－4mn＋4n2的公因式是（）A．（m＋2n）（m－2n) B．m＋2nC．m－2n D．（m＋2n）（m－2n）2【答案】C【解析】【分析】此題先運(yùn)用平方差公式將m24n2因式分解，然后用完全平方公式化簡(jiǎn)m24mn+4n2，然后提取公因式即可．【解答】m24n2=（m2n)（m+2n)，

m24mn+4n2=（m2n)2，

∴m24n2與m24mn+4n2的公因式是m2n．

故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是對(duì)公因式的提取，運(yùn)用平方差公式將原式因式分解或運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算【變式22】多項(xiàng)式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各項(xiàng)的公因式是．【答案】5a2b【解析】【解答】因?yàn)槊恳豁?xiàng)都有5a2b，所以多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式為5a2b；故答案為5a2b.【分析】由題可知每一項(xiàng)都有5a2b，即可求解；提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法。注意：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.題型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a23a；

（2）分解因式：3x2y6xy2．【分析】（1）利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答；

（2）利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答．【解答】解：（1）a23a=a（a3）；

（2）3x2y6xy2=3xy（x2y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解提公因式法，熟練掌握因式分解提公因式法是解題的關(guān)鍵．【變式31】分解因式：

（1）a（x2y）b（2yx）；

（2）x（x+y）（xy）x（x+y）2．【解答】解：（1）a（x2y）b（2yx）

=a（x2y）+b（x2y）

=（x2y）（a+b）；

（2）x（x+y）（xy）x（x+y）2．

=x（x+y）[xy（x+y）]

=x（x+y）（xyxy）

=2xy（x+y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解提公因式法，熟練掌握因式分解提公因式法是解題的關(guān)鍵．【變式32】因式分解

（1）3x3y2+6x2y33xy4；

（2）3x（ab）6y（ba）．【解答】解：（1）原式=3xy2（x22xy+y2）

=3xy2（xy）2；

（2）原式=3x（ab）+6y（ab）

=3（ab）（x+2y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解決本題的關(guān)鍵．題型4：提公因式法與整體思想4.已知xy=3，滿足x+y=2，求代數(shù)式x2y+xy2的值．【分析】將原式提取公因式xy,進(jìn)而將已知代入求出即可．【解答】解：∵xy=3，x+y=2，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=3×2=6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．【變式41】已知a+b=3，ab=2，求代數(shù)式a2b+2a2b2+ab2的值．【解答】解：（1）a2b+2a2b2+ab2=ab（a+2ab+b）=ab（a+b+2ab），

∵a+b=3，ab=2，

∴ab（a+b+2ab）=2×（3+2×2）=14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的提取公因式法，找到公因式是解決此題關(guān)鍵．【變式42】若a=5，a+b+c=5.2，求代數(shù)式a2（bc）3.2（c+b）的值．【分析】首先提取公因式（b+c），進(jìn)而利用a=5，a+b+c=5.2，得出b+c=0.2求出即可．【解答】解：a2（bc）3.2（c+b）

=a2（b+c）3.2（b+c）

=（b+c）（a2+3.2），

∵a=5，a+b+c=5.2，

∴b+c=5.2a=5.2+5=0.2，

∴原式=（b+c）（a2+3.2）=0.2×（25+3.2）=5.64．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確得出公因式是解題關(guān)鍵．公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：注意：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.題型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：

（1）a29；解：（1）原式=a232

=（a+3）（a3）；（2）25?14m解：原式=52（12m）2=（5+12m）（5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解，掌握每一種因式分解的方法在不同題型中的熟練應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式51】因式分解：（1）a4b4．【分析】逆用平方差公式進(jìn)行因式分解．【解答】解：a4b4

=（a2+b2）（a2b2）

=（a2+b2）（a+b）（ab）．（2）x4+16．

解：x4+16

=（x416）

=（x2+4）（x24）

=（x2+4）（x+2）（x2）．【變式52】把（a2a）2（1a）2因式分解．【解答】解：（a2a）2（1a）2

=（a2a+1a）[a2a（1a）]

=（a22a+1）（a2a1+a）

=（a1）2（a21）

=（a1）2（a+1）（a1）

=（a1）3（a+1）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.題型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x24x+4．解：原式=x24x+22

=（x2）2．（2）16m28mn+n2．解：（2）16m28mn+n2=（4mn）2．（3）4x2+20x+25；

解：（3）4x2+20x+25

=（2x）2+2?2x?5+52

=（2x+5）2；（4）4x22x+1解：（4）(2x?12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式與完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式61】因式分解：（1）（xy）26（xy）+9解：原式=（xy3）2．（2）（x2+9）236x2【解答】解：原式=（x2+9+6x）（x2+96x）=（x+3）2（x3）2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解，關(guān)鍵是掌握平方差公式：a2b2=（a+b）（ab）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．【變式62】因式分解：（1）（a2+b2）24a2b2．解：原式=（a2+b22ab）（a2+b2+2ab）

=（ab）2（a+b）2．（2）?x3+x2y?14xy2解：（1）原式=x（x2xy+14y2）

=x（x12y）2；

（3）（7x2+2y2）2（2x2+7y2）解：原式=[（7x2+2y2）+（2x2+7y2）][（7x2+2y2）（2x2+7y2）]

=（9x2+9y2）（5x25y2）

=45（x2+y2）（x+y）（xy）．題型7：十字相乘法分解因式7.因式分解：（1）x23x+2；解：（1）x23x+2=（x2）（x1）；（2）x22x15解：原式=（x+3）（x5）；（3）x27x+12．解：x27x+12

=x2+（34）x+（3）（4）

=（x3）（x4）．【變式71】因式分解：（1）（x2+4x）2（x2+4x）20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式=（x2+4x5）（x2+4x+4）

=（x+5）（x1）（x+2）2．（2）（xy）2+4（xy）+3令A(yù)=xy,

則原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），

所以（xy）2+4（xy）+3=（xy+1）（xy+3）；【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過(guò)程．題型8：分組分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4xa2+4．解：x2+4xa2+4

=x2+4x+4a2

=（x+2）2a2

=（x+2+a）（x+2a）．（2）9x2+2xyy2．解：9x2+2xyy2

=9（x22xy+y2）

=9（xy）2

=（3+xy）（3x+y）．【變式81】因式分解：（1）x3+3x2y4x12y.【解答】解：x3+3x2y4x12y

=（x3+3x2y）（4x+12y）

=x2（x+3y）4（x+3y）

=（x+3y）（x24）

=（x+3y）（x+2）（x2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分組分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．對(duì)于一個(gè)四項(xiàng)式用分組分解法進(jìn)行因式分解，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組．（2）x24xy+4y21解：x24xy+4y21=（x24xy+4y2）1=（x2y）21=（x2y+1）（x2y1）．（3）2x24xy+3x6y解：原式=2x（x2y）+3（x2y）

=（x2y）（2x+3）．【變式82】因式分解：

（1）1x2+2xyy2

（2）25（x+y）236（xy）2【解答】解：（1）1x2+2xyy2

=1（x22xy+y2）

=1（xy）2

=（1x+y）（1+xy）；

（2）25（x+y）236（xy）2

=[5（x+y）]2[6（xy）]2

=（5x+5y+6x6y）（5x+5y6x+6y）

=（11xy）（11yx）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解，掌握分組分解法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．題型9：利用因式分解簡(jiǎn)便運(yùn)算9.計(jì)算：（1）2022+202×196+982解2022+202×196+982

=2022+2×202×98+982

=（202+98）2

=3002

=90000．（2）652352；解：（2）原式=（65+35）×（6535）

=100×30

=3000；【變式91】利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算：（1）2002400×199+1992解：（1）2002400×199+1992

=20022×200×199+1992

=（200199）2

=1．（2）2.22+4.4×17.8+17.82．解：原式=（2.2+17.8）2

=202

=400．【變式92】利用因式分解計(jì)算：

（1）9002894×906；

（2）2.68×15.731.4+15.7×1.32．【解答】（1）9002894×906

=9002（9006）（900+6）

=9002（900262）

=90029002+62

=36．

（2）2.68×15.731.4+15.7×1.32

=15.7×（2.68+1.32）31.4

=15.7×431.4

=31.4×231.4

=31.4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記因式分解的方法．題型10：利用因式分解求系數(shù)的值10.已知多項(xiàng)式2xx+m有一個(gè)因式(2x+1),求m的值.【答案】解答：解法一：設(shè)2x3x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),

則2x3x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b

比較系數(shù)得2a+1=?1a+2b=0b=m,解得a=?1b=12m=12,∴m=12

解法二：設(shè)2x3x2+m=A·（2x+1）（A為整式）【解析】【分析】本題考查了提公因式法，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.【變式101】已知x2+mx15=（x+3）（x+n），求n+m的值．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則運(yùn)算：（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,再由題意可得3+n=m,3n=15，求出m、n即可．【解答】解：∵（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,

∴3+n=m,3n=15，

∴n=5，m=2，

∴m+n=（2）+（5）=7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式102】將多項(xiàng)式x23x+2分解因式x23x+2=（x2）（x1），說(shuō)明多項(xiàng)式x23x+2有一個(gè)因式為x1，還可知：當(dāng)x1=0時(shí)x23x+2=0．

利用上述閱讀材料解答以下兩個(gè)問(wèn)題：

（1）若多項(xiàng)式x2+kx8有一個(gè)因式為x2，求k的值；

（2）若x+2，x1是多項(xiàng)式2x3+ax2+7x+b的兩個(gè)因式，求a、b的值．【分析】（1）把x=2代入x2+kx8得到4+2k8=0，求得k的值即可；

（2）分別將x=2和x=1代入2x3+ax2+7x+b得到有關(guān)a、b的方程組求得a、b的值即可．【解答】解：（1）令x2=0，即當(dāng)x=2時(shí)，4+2k8=0，解得：k=2；

（2）令x=2，則16+4a14+b=0①，

令x=1，則2+a+7+b=0②，

由①，②得a=13，b=22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是熟悉因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．題型11：利用因式分解求代數(shù)式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值．解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，

∵a+b=5，ab=3，

∴ab（a+b）2=3×52=75，

∴a3b+2a2b2+ab3的值為75．【變式111】根據(jù)已知條件，求出下列代數(shù)式的值：

（1）已知x+2y=4，xy=1，求代數(shù)式x2+4y2+3xy的值；

（2）已知m2+m1=0，求代數(shù)式m3+2m2+2022的值．【分析】（1）將代數(shù)式x2+4y2+3xy通過(guò)添加xy項(xiàng)，逆用完全平方公式把代數(shù)式化成x+2y與xy的形式，然后代入求值；

（2）將代數(shù)式m3+2m2+2022通過(guò)裂項(xiàng)、提公因式法分解因式化成與m2+m有關(guān)的形式，然后整體代入，進(jìn)行降次后，在整體代入求值．【解答】解：（1）x2+4y2+3xy

=x2+4y2+4xyxy

=（x+2y）2xy

∵x+2y=4，xy=1，

∴原式=421

=15．

（2）m3+2m2+2022

=m（m2+m）+m2+2022

∵m2+m1=0，

∴m2+m=1

原式=m+m2+2022

=1+2022

=2023【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是利用因式分解把代數(shù)式分解化成與已知條件有關(guān)的式子，然后代入求值即可．【變式112】已知a+b=32，ab=43，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab【分析】先利用因式分解的方法得到原式=ab（a+b）2，然后利用整體代入的方法計(jì)算原式的值．【解答】解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2，

∵a+b=32，ab=∴原式=ab（a+b）2=43×（32）2=3，

即代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問(wèn)題；利用因式分解解決證明問(wèn)題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．題型12：利用因式分解解決整除問(wèn)題12.求證：對(duì)于任意自然數(shù)n，（n+7）2（n5）2都能被24整除.【答案】解：(n+7)=24（n+1），∴能被24整除.【解析】【分析】利用平方差公式將代數(shù)式（n+7）2（n5）2因式分解可以得到（n+7）2（n5）2=24（n+1），即可得到答案。【變式121】如果n是正整數(shù)，求證：3n+22n+2+3n2n能被10整除.【答案】證明：∵3n+22n+2+3n2n=3n?322n?22+3n2n=3n(32+1)2n(22+1)=10?3n10?2n1=10(3n2n1).∴3n+22n+2+3n2n能被10整除.【解析】【分析】先逆用同底數(shù)冪的乘法法則將代數(shù)式變形，再利用分組分解法分解因式，從而得出含有10的因數(shù)，據(jù)此即可解決問(wèn)題.【變式122】求證：當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(2n+1)2【答案】證明：∵n是整數(shù)，∴2n+1與2n1是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，∴（2n+1）2（2n1）2=（2n+1+2n1）（2n+12n+1）=4n×2=8n，∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（2n+1）2（2n1）2是8的倍數(shù)．【解析】【分析】運(yùn)用平方差公式將（2n+1）2（2n1）2化簡(jiǎn)，得出結(jié)果含有因數(shù)8即可．題型13：因式分解與幾何問(wèn)題13.如圖，邊長(zhǎng)為a、b的矩形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，計(jì)算a2b+2ab+ab2的值．【答案】解：由題意可得2（a+b）＝14，ab＝10，∴a+b＝7，ab＝10，∴a2b+2ab+ab2＝ab（a+2+b）＝ab（a+b+2）＝10×（7+2）＝90．【解析】【分析】先求出a+b＝7，ab＝10，再計(jì)算求解即可?！咀兪?31】現(xiàn)有若干張長(zhǎng)方形和正方形卡片,如圖所示.請(qǐng)運(yùn)用拼圖的方法,選取圖中相應(yīng)的種類和一定數(shù)量的卡片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,使它的面積等于a2+4ab+3b2,并根據(jù)拼成圖形的面積,把多項(xiàng)式a2+4ab+3b2因式分解.【答案】解：如圖a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)【解析】【分析】本題主要考查因式分解與幾何圖形之間的聯(lián)系，對(duì)小卡片的面積和要拼成的大長(zhǎng)方形的面積進(jìn)行比較，從而得出所需小卡片的張數(shù)是解題的關(guān)鍵.

取1張邊長(zhǎng)為a的大正方形卡片，3張邊長(zhǎng)為b的小正方形卡片和4張長(zhǎng)為a，寬為b的小長(zhǎng)方形卡片，可以

拼成題目所要求的大長(zhǎng)方形，它的面積為a2＋4ab＋3b2，它的邊長(zhǎng)分別為(a＋b)和(a＋3b).所以a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b).

【變式132】如圖，長(zhǎng)為m，寬為x(m>x)的大長(zhǎng)方形被分割成7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短一邊長(zhǎng)為y．記陰影A與B的面積差為S．（1）分別用含m，x，y的代數(shù)式表示陰影A，B的面積；（2）先化簡(jiǎn)S，再求當(dāng)m=6，y=1時(shí)S的值；（3）當(dāng)x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，面積差S的值都保持不變，問(wèn)m與y應(yīng)滿足什么條件？【答案】（1）由題意可知：長(zhǎng)方形B的長(zhǎng)=3y，長(zhǎng)方形A的長(zhǎng)與小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一樣；

陰影A的面積為(m?3y)(x?2y)=6y2?(2m+3)y+mx，

陰影B面積為3y(x?m+3y)=9y2?3my+3xy；（2）S=[6y2?(2m+3)y+mx]?(9y2?3my+3xy)=?3y2+my?6xy+mx；

當(dāng)m=6，y=1時(shí)，S=?3+6+6x?6x=3；（3）S=(m?6y)x?3y2+my，

∵當(dāng)x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，面積差S的值都保持不變

∴由結(jié)果與x無(wú)關(guān)，得到m?6y=0，

整理得：m=6y.【解析】【分析】（1）找出陰影A中的長(zhǎng)與寬，表示出A的面積，找出陰影B中的長(zhǎng)與寬，表示出B的面積；（2）由AB表示出S，然后根據(jù)多項(xiàng)式加減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，把m與y的值代入計(jì)算即可求出S的值；（3）S變形后，根據(jù)結(jié)果與x值無(wú)關(guān)確定出m與y的關(guān)系式即可題型14：因式分解與三角形問(wèn)題14.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，請(qǐng)判斷△ABC是等邊三角形、等腰三角形，還是直角三角形？并說(shuō)明理由．【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），∵2+b≠0，a、b、c不等于0，∴a=c，∴ΔABC是等腰三角形.【解析】【分析】先求出a（2+b）=c（2+b），再求出a=c，最后判斷求解即可?！咀兪?41】若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且b2+2ab=c【答案】解：∵b2∴b2∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，∴b?c=0，∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形.【解析】【分析】將已知等式轉(zhuǎn)化為（bc）（b+c+2a）=0，由此可證得b=c，即可判斷出△ABC的形狀.【變式142】已知在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足等式a2+bc?ac?b【答案】解：△ABC是等腰三角形理由：∵a∴a∴(a+b)(a?b)+c(b?a)=0∴(a?b)(a+b?c)=0∵根據(jù)三角形的三邊性質(zhì)有：a+b>c即a+b?c≠0故a?b=0，即a=b∴△ABC是等腰三角形【解析】【分析】利用分組分解法將等式的左邊因式分解把等式化為（ab）（a+bc）=0的形式，得出a=b，即可判斷△ABC是等腰三角形.【變式143】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，試猜想該三角形的形狀，并證明你的猜想．【答案】解：該三角形為等邊三角形，理由如下：

∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

∴（a22ab+b2）+（a22ac+c2）+（b22bc+c2）=0，

即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，

∴a=b=c，

∴該三角形為等邊三角形.【解析】【分析】等式兩邊同時(shí)乘以2，移項(xiàng)，完全平方差公式，根據(jù)平方的非負(fù)性，計(jì)算即可得出答案.一、單選題1．同學(xué)們把多項(xiàng)式2x2?4xy+2xA．x?2y B．x?2y+1 C．x?4y+1 D．x?2y?1【答案】B【解析】【解答】解：2x故答案為：B.【分析】用多項(xiàng)式的各項(xiàng)分別除以2x，將剩下的商式寫(xiě)在一起即可求解.2．下列多項(xiàng)式中不能用公式進(jìn)行因式分解的是（）A．a(chǎn)2+a+14 B．a(chǎn)2+b22ab C．?a2【答案】D【解析】【解答】解：A.a2B.a2C.?aD.?4?b故正確選項(xiàng)為D.【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)的特點(diǎn)：A，B選項(xiàng)中含有三項(xiàng)，都能用完全平方公式分解因式，可對(duì)A，B作出判斷；C，D選項(xiàng)中的多項(xiàng)式都含有兩項(xiàng)，每一項(xiàng)的絕對(duì)值都能寫(xiě)成平方形式，但D選項(xiàng)中兩項(xiàng)符號(hào)相同，因此C能分解，D不能分解.3．把多項(xiàng)式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的結(jié)果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【答案】B【解析】【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故選B．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)的平方相等，把（y﹣x）2寫(xiě)成（x﹣y）2，然后提取公因式（x﹣y），整理即可．4．如圖，長(zhǎng)與寬分別為a、b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．2560 B．490 C．70 D．49【答案】B【解析】【解答】解：∵長(zhǎng)與寬分別為a、b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，∴ab＝10，a+b＝7，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故答案為：B．【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)公式可得ab＝10，a+b＝7，再將代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3化簡(jiǎn)為ab（a+b）2，再將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。5．計(jì)算22021+(2)2020所得的結(jié)果是()A．22020 B．22021 C．22020 D．2【答案】A【解析】【解答】解：22021+（2）2020=2×22020+22020=22020×（2+1）=22020.故答案為：A.

【分析】根據(jù)乘方的運(yùn)算法則把原式變形為2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（2+1），即可得出答案.6．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）A．2 B．5 C．20 D．9【答案】A【解析】【解答】解：c2c(c+a+b)(c?a?b)=10∵a+b+c=﹣5∴c?a?b=?2a+b?c=2故答案為：A

【分析】利用分組分解因式可將原式化為(c+a+b)(c?a?b)=10，再將a+b+c＝﹣5代入計(jì)算即可。7．已知n是正整數(shù)，則下列數(shù)中一定能整除(2n+3)2?25A．6 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【解答】解：（2n+3）225=[（2n+3）+5][（2n+3）5]=（2n+8）（2n2）=4（n+4）（n1），∴（2n+3）225一定能被4整除，故答案為：C.【分析】先化簡(jiǎn)代數(shù)式求出（2n+3）225=4（n+4）（n1），再求解即可。8．觀察下列分解因式的過(guò)程：x2?2xy+y2?16=(x?y)2?16=(x?y+4)(x?y?4)，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法，已知a，b，c滿足A．圍成一個(gè)等腰三角形 B．圍成一個(gè)直角三角形C．圍成一個(gè)等腰直角三角形 D．不能?chē)扇切巍敬鸢浮緼【解析】【解答】解：a2(a+b)(a?b)+c(b?a)=0，(a?b)(a+b?c)=0，∴a=b或a+b=c，當(dāng)a=b時(shí)，圍成一個(gè)等腰三角形；當(dāng)a+b=c時(shí)，不能?chē)扇切?；故答案為：A．

【分析】利用分組分解因式的方法將a2?b2?ac+bc=0化為(a?b)(a+b?c)=0二、填空題9．下列因式分解正確的是（填序號(hào)）①x2?2x=x(x?2)；②x2【答案】①④【解析】【解答】解：①x2②x2③x2④4x故答案為：①④．【分析】①提取公因式x，再判斷；②利用完全平方公式分解即可；③利用平方差公式分解，再判斷；④利用完全平方公式分解，再判斷.10．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=．【答案】a（x﹣2y）2【解析】【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2，故答案為：a（x﹣2y）2【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．11．已知：m+n=5，mn=4，則：m2n+mn2=．【答案】20【解析】【解答】解：∵m+n=5，mn=4，∴m2n+mn2=mn（m+n）=4×5=20．故答案為：20．【分析】將原式提取公因式分解因式，進(jìn)而代入求出即可．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝.【答案】(1?a+b)(1+a?b)【解析】【解答】解：原式=1?(=1?=(1+a?b)[1－(a?b)]=(1+a?b)(1?a+b)故答案為：(1?a+b)(1+a?b).

【分析】原式可變形為1(a22ab+b2)，然后利用完全平方公式以及平方差公式分解即可.13．邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a2b+ab【答案】70【解析】【解答】解：依題意：2a+2b=14，ab=10，則a+b=7∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；故答案為：70【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再計(jì)算求解即可。14．若△ABC的三條邊a，b，c滿足關(guān)系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，則△ABC的形狀是.【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，∴（a2＋b2）（a2?b2）?c2（a2?b2）＝0∴（a2?b2）（a2＋b2?c2）＝0

∴（ab）（a+b）（a2＋b2?c2）＝0‘

由于a+b≠0，’∴a?b＝0或a2＋b2?c2＝0∴△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.故答案為：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.【分析】利用分組分解法將左式進(jìn)行因式分解，則可得出a?b＝0或a2＋b2?c2＝0，則可判斷出△ABC的形狀.15．甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4）；乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），則多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式的正確結(jié)果為．【答案】(x+3)【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)，∴在(x+2)(x+4)＝x2+6x+8中，a＝6是正確的，∵分解因式x2+ax+b時(shí)，乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，∴在(x+1)(x+9)＝x2+10x+9中，b＝9是正確的，∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝(x+3)2故答案為：(x+3)【分析】根據(jù)題意，可知a、b是相互獨(dú)立的，在因式分解中b決定常數(shù)項(xiàng)，a決定一次項(xiàng)系數(shù)，利用多項(xiàng)式相乘法則計(jì)算，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出a、b的值，代入多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解即可。三、解答題16．因式分解：（1）a（2）1（3）(【答案】（1）解：a（2）解：1（3）(【解析】【分析】(1)先提取公因式a，然后再用平方差公式求解；(2)用完全平方公式直接進(jìn)行因式分解即可；(3)先用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后再用完全平方式求解即可．17．把下列各式因式分解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1（3）（x2+y2）2﹣4x2y2（4）4m2﹣n2﹣4m+1．【答案】解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）=x（y﹣2）（x+1）；（2）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1=[5（x﹣y）﹣1]2=（5x﹣5y﹣1）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2﹣2x