2.2探索直線平行的條件（分層練習）

第二章相交線與平行線2.2探索直線平行的條件基礎篇基礎篇一、單選題1．（2023·全國·九年級專題練習）經(jīng)過直線l外一點O的四條直線中，與直線l相交的直線至少有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行進行判斷即可．【詳解】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線l平行的，只能是一條，即與直線l相交的直線至少有3條，故選：C．【點睛】此題考查了經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，熟練掌握內容是解題的關鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列說法正確的有（

）A．相等的角是對頂角B．直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到該直線的距離C．兩條不相交的直線叫做平行線D．在同一平面內，若直線，，則直線【答案】D【分析】根據(jù)平行線的定義與性質、平行公理、對頂角的概念以及點到直線的距離的概念進行判斷即可．【詳解】解：A.相等的角不一定是對頂角，對頂角是在兩直線相交的前提條件下形成的，原說法錯誤，不符合題意；B.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，原說法錯誤，不符合題意；C.同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，原說法錯誤，不符合題意；D.在同一平面內，若直線，，則直線，說法正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了相交線與平行線的一些基本概念，對頂角，正確理解定義是解題的關鍵．3．（2022春·廣東江門·七年級校考階段練習）如圖，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定分別進行分析可得答案．【詳解】解：A、，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項不符合；B、，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項符合；C、，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項不符合；D、，根據(jù)同旁內角互補，兩直線平行可得：，故此選項不符合．故選：B．【點睛】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定定理．4．（2023春·全國·七年級專題練習）在同一個平面內的直線a，b，c，若，，則b與c的關系是（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)“同一個平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行”分析判斷即可．【詳解】解：根據(jù)“同一個平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行”可知，在同一個平面內的直線a，b，c，若，，則．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行公理推論，熟練掌握平行公理及其推論是解題關鍵．5．（2021春·重慶九龍坡·七年級重慶市渝高中學校?？茧A段練習）已知：如圖所示，，則下列說法正確的是（

）A．與平行 B．與平行C．與平行，與也平行 D．以上說法都不正確【答案】A【分析】據(jù)平行線的判定，逐項檢查，選出符合題意的選項．【詳解】，（同位角相等，兩直線平行）由圖和題意知，直線與被直線所截，所得到的同位角與不一定相等，所得到的內錯角與不一定相等，所得的同旁內角與不一定互補，故與不一定平行．∴只有A選項符合題意．故選：．【點睛】此題考查平行線的判定，熟悉平行線的判定方法能正確找得同位角、內錯角、同旁內角是關鍵．6．（2023春·七年級單元測試）如圖，工人師傅在工程施工中，需在同一平面內彎制一個變形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，則（）A．AB//BC B．BC//CD C．AB//DC D．AB與CD相交【答案】C【分析】根據(jù)同旁內角互補，兩直線平行即可解答．【詳解】解：∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30°∴AB//DC．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握“同旁內角互補，兩直線平行”成為解答本題的關鍵．二、填空題7．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列四個命題：①對頂角相等；②等角的補角相等；③如果b//a，c//a，那么b//c；④如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等．其中是真命題的有______．【答案】①②③【分析】利用對頂角的性質，余角和補角、平行公理及推理及平行線的性質逐一進行判斷后即可得到正確的結論．【詳解】①對頂角相等，正確；②等角的補角相等，正確；③根據(jù)平行公里的推論可知：如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正確；④如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補，故④錯誤．其中是真命題的有①②③．故答案為：①②③【點睛】本題考查了對頂角的性質，余角和補角、平行公理及推理及平行線的性質，屬于基礎定理，應重點掌握．8．（2021·河南·九年級專題練習）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊，在同一條直線上，可以得到________//________，依據(jù)是________．【答案】

AC

DE

內錯角相等,兩直線平行【分析】利用直角三角形的兩個直角構成內錯角可得答案．【詳解】解：由題意得：（內錯角相等，兩直線平行．）故答案為：內錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查的是平行線的判定，掌握內錯角相等，兩直線平行是解題的關鍵．9．（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，若使，需要添加一個條件，則這個條件是________________（填一個即可）．【答案】等【分析】根據(jù)平行線的判定條件確定即可.【詳解】解：由同位角相等，兩直線平行可添加或;由內錯角相等，兩直線平行可添加；由同旁內角互補，兩直線平行可添加或.故答案為等【點睛】本題考查了平行線的判定，在添加條件時一般選擇較為簡單的條件進行添加，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵.平行線的判定方法有3個：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.10．（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，已知直線a、直線b和直線c均為直線l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．（1）因為∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代換），所以___________（同位角相等，兩直線平行）．（2）因為∠3+∠4=180°（鄰補角定義)，∠3=112°，所以∠4=68°．又因為∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代換），所以_____________（同位角相等，兩直線平行）．【答案】

a

b

b

c【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行直接作答即可；（2）根據(jù)鄰補角互補先求出∠4，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行作答即可．【詳解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，∴∠1=∠2，∴，故答案為：a，b；（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，∴∠4=68°，∵∠2=68°，∴∠2=∠4，∴，故答案為：b，c．【點睛】本題主要考查了同位角相等，兩直線平行的知識，平行的判定：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直線平行；④垂直于同一直線的兩條直線平行．三、解答題11．（2023春·全國·七年級專題練習）已知：如圖，直線AB，CD被直線GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求證：AB//CD．完成下面的證明．證明：∵AB被直線GH所截，∠1＝112°，∴∠1＝∠＝112°∵∠2＝68°，∴∠2+∠3＝，∴AB//（

）（填推理的依據(jù)）【答案】∠3，180°，CD，同旁內角互補，兩直線平行．【分析】先根據(jù)對頂角相等求得∠3的度數(shù)，進而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．【詳解】證明：∵AB被直線GH所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB∥CD，（同旁內角互補，兩直線平行）故答案為：∠3，180°，CD，同旁內角互補，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，對頂角的性質，掌握兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行是解題的關鍵．12．（2022春·廣西欽州·七年級?？茧A段練習）根據(jù)下列語句畫出圖形：（1）過線段AB的中點C，畫CD⊥AB；（2）點P到直線AB的距離是3cm，過點P畫直線AB的垂線PC；（3）過三角形ABC內的一點P，分別畫AB，BC，CA的平行線．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點和垂直的定義畫圖；（2）根據(jù)點到直線的距離畫圖；（3）根據(jù)平行線的性質畫圖．【詳解】解：（1）如圖所示，AC=CB，CD⊥AB；（2）如圖所示，點P到直線AB的距離是3cm，AB⊥PC；（3）如圖所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．．【點睛】本題考查了基本作圖，在作垂線、平行線時可以不用直尺和圓規(guī)作圖，可以利用三角板．提升篇提升篇一、填空題1．（2023春·七年級課時練習）如圖，在條件：①；②；③；④中，能判斷的條件是___．【答案】①【分析】根據(jù)平行線的判定定理解答．【詳解】，．（內錯角相等，兩直線平行）由②；③；④，都不能判斷，故答案為：①．【點睛】此題考查平行線的判定定理，熟記判定定理是解題的關鍵．2．（2023春·七年級課時練習）如圖，點E、F分別是梯形兩腰的中點，聯(lián)結、，如果圖中的面積為1.5，那么梯形的面積等于___．【答案】6【分析】過點A作于H，交于G，根據(jù)梯形中位線定理得到，根據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：過點A作于H，交于G，如圖，∵點E、F分別是梯形兩腰的中點，∴是梯形的中位線，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查的是梯形的中位線、三角形的面積計算，掌握梯形中位線定理是解題的關鍵．3．（2023春·七年級課時練習）在同一平面內有2022條直線，如果，，，……那么與的位置關系是_____________．【答案】垂直【分析】根據(jù)垂直的定義和平行線的性質可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4個一循環(huán)，依此可得，的位置關系．【詳解】解：∵在同平面內有2022條直線，若，，，……∴與依次是垂直，垂直，平行，平行，…，∵…1，∴與的位置關系是垂直．故答案為：垂直．【點睛】本題考查垂線、平行線的規(guī)律問題，解題的關鍵是找出規(guī)律．4．（2023春·七年級課時練習）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當秒時，當時，當時，當時，即可求解．【詳解】解：設t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當秒時，，解得：t=2；當時，，解得：t=14；當時，木棒a停止運動，當時，，解得：t=10；（不合題意，舍去）當時，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．5．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列說法中：①若對于任意有理數(shù)x，則存在最大值為6；②如果關于x的二次多項式的值與x的取值無關，則的值為8；③在同一平面內，一條直線平行于兩條平行線中的一條，則這條直線也平行于另一條；④在同一平面內，四條直線兩兩相交，如果最多有m個交點，最少有n個交點，則的值為5．其中正確的有_______（填序號）．【答案】【分析】分三種情況去絕對值，從而可判斷①；根據(jù)關于x的二次多項式的值與x的取值無關，先求解，，從而可判斷②；根據(jù)平行公理可判斷③，在同一平面內，四條直線兩兩相交，如果最多有6個交點，最少有1個交點，可判斷④，從而可得答案.【詳解】解：，在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示和4點的距離之差，當時，，當時，，此時，當時，，綜上：這個距離之差最大值為6，故①正確；∵，而關于x的二次多項式的值與x的取值無關，∴，，∴，，∴，故②錯誤；在同一平面內，一條直線平行于兩條平行線中的一條，則這條直線也平行于另一條，這是平行公理的推論，故③正確；在同一平面內，四條直線兩兩相交，如果最多有m個交點，最少有n個交點，則，，∴，故④正確．故答案為：．【點睛】本題考查的是絕對值的化簡，整式的加減運算，多項式中不含某項的含義，平行公理的應用，相交線的交點問題，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵.二、解答題6．（2023春·七年級課時練習）如圖，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)CDOE，理由見解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內錯角相等兩直線平行，即可證明CDOE．【詳解】（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【點睛】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，于，于，（1）求證：；（2）若，平分，求證：平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）依據(jù)CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，進而得到EF∥CD；（2）依據(jù)EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根據(jù)平行線的性質，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．【詳解】解：（1）證明：∵∴∵∴∵∴（2）證明：∵平分∴∵（由（1）可知）∴，∵∴則∴平分【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義，解決問題的關鍵是運用等量代換進行推導．8．（2023春·七年級課時練習）動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的