1.1等腰三角形（練習(xí)）

第一章三角形的證明第一節(jié)等腰三角形精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角等于時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀堑扔跁r(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角等于時(shí)，則另一個(gè)底角也等于，等腰三角形的頂角；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀堑扔跁r(shí)，綜上所述：這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．面積相等的兩個(gè)等腰三角形全等 B．周長相等的兩個(gè)等腰三角形全等C．面積相等的兩個(gè)直角三角形全等 D．周長相等的兩個(gè)等邊三角形全等【答案】D【分析】利用三角形全等的判定方法分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、面積相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等，所以該選項(xiàng)不符合題意；B、周長相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等，所以該選項(xiàng)不符合題意；C、面積相等的兩個(gè)直角三角形它們不一定全等，所以該選項(xiàng)不符合題意；D、周長相等的兩個(gè)等邊三角形可以由“邊邊邊”判定全等，所以該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，在圖中給出的、、、四個(gè)格點(diǎn)中，能與點(diǎn)A、B構(gòu)成等腰三角形，且面積為2的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷等腰三角形，然后計(jì)算等腰三角形的面積，進(jìn)而作出判斷．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，是等腰三角形，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（

）A．17 B．22 C．17或22 D．14或22【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關(guān)系，判斷出腰和底邊，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為時(shí)，，三邊構(gòu)不成三角形，不符合題意；∴等腰三角形的腰長為，∴它的周長為；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關(guān)系．利用三角形的三邊關(guān)系，判斷出等腰三角形的腰長和底邊長，是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，上午9時(shí)，一艘輪船從海島A出發(fā)，以25海里/時(shí)的速度向正北方向航行，11時(shí)到達(dá)海島B處，C處有一燈塔，測得，則B，C間的距離為（

）A．25海里 B．35海里 C．45海里 D．50海里【答案】D【分析】由上午時(shí)，一條船從海島出發(fā)，以海里的時(shí)速向正北航行，時(shí)到達(dá)海島處，可求得的長，又由，可得，即可證得，則可得從海島到燈塔的距離．【詳解】解：∵，∴，∴(海里)．故選D【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握等角對等邊是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河南信陽·八年級?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形的周長為a，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵等邊三角形的周長為a，，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·湖南長沙·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€(gè)角為，則它的頂角為______．【答案】或【分析】分的角為頂角和底角兩種情況討論即可作答．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕菫榈捉菚r(shí)，此時(shí)頂角為；當(dāng)?shù)慕菫轫斀菚r(shí)，此時(shí)頂角為；即該三角形的頂角為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理的知識，主要分類討論是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是邊長為8的等邊三角形，D是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，則線段_____．【答案】2【分析】在中，求出即可解決問題．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．9．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）將兩個(gè)直角三角形如圖放置，其中，，，，與交于點(diǎn)，則_____．【答案】##120度【分析】先證明是等邊三角形，再根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，分別于兩邊垂直，等邊三角形的高為2，則的值為_____．【答案】2【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得的值．【詳解】解：連接，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵，等邊三角形的高為2，又∵，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，為延長線上一點(diǎn)，且交于點(diǎn)F．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊對等角得出，再根據(jù)，得出，，從而得出，再根據(jù)對頂角相等得出，最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案．【詳解】證明：∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴是等腰三角形；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，注意等邊對等角，以及等角對等邊的使用．12．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，為的角平分線，且，E為延長線上的一點(diǎn)，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先由為的角平分線得到，然后結(jié)合、得證；（2）先由得到，再由得到，進(jìn)而結(jié)合得到，然后結(jié)合得到，最后由得到，進(jìn)而得到．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，在和中，，∴．（2）∵為的角平分線，，，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題目條件得證．提升篇提升篇一、填空題1．（2022秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，，，其中，則四邊形的面積是________．【答案】##【分析】連接，根據(jù)勾股定理計(jì)算出長，根據(jù)確定為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底邊上的高，然后再求出面積，利用和的面積求和即可．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴在中根據(jù)勾股定理得：，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和三角形全等的性質(zhì)．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__．【答案】或【分析】作于H，根據(jù)點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，得．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，得，再根據(jù)勾股定理求得，從而寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：作于點(diǎn)H．∵，，∴．∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴；同理，當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在邊長為4的等邊中，D為的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】作B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接、，交AC于E，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知就是的最小值．【詳解】解：∵關(guān)于的對稱，∴互相垂直平分，∴四邊形是平行四邊形，∵等邊三角形是邊長為2，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，，，作的延長線于G，∴，在中，，∴，在中，．故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱，作出輔助線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖：在中，，，，為射線上一點(diǎn)，且與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則此等腰三角形的面積為_________．【答案】或或2【分析】根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，是等腰三角形，或或，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，則，，，，，綜上所述，等腰三角形的面積為4或或17，故答案為：4或或17．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，點(diǎn)C為邊上一點(diǎn)．，，點(diǎn)M為中點(diǎn)．連，，分別交，于G．H兩點(diǎn)下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是____________．【答案】①②③【分析】由“”可證，可得，，可證，故①正確；由“”可證，可得，，可證是等腰直角三角形，故②正確；由②及①可得③正確；從題干條件無法得出的條件，故④錯(cuò)誤；即可求解．【詳解】解：，，，又，∴，，，，故①正確；如圖，連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，∵，，又，∴，，，故②正確；，，是等腰直角三角形，∴，

∴，∴，∵，∴，故③正確；由②可知在中，，所以，∴和不會全等；故④錯(cuò)誤；故答案為①②③【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2021秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，交與E，交于F，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)的度數(shù)為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，則可證明，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）證明可得，則，進(jìn)而可求得解答．【詳解】（1）證明：∵，∴又∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇·八年級開學(xué)考試）如圖，在中，，，延長至，恰好使得，．(1)求：的度數(shù)；(2)求證：為等邊三角形．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得，再根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等以及三角形的外角性質(zhì)解答即可；（2）因?yàn)樵谥?，，所以欲證等邊三角形，只需證明．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，是的外角，，設(shè)，則，，在中，，即：，，故；（2）由（1）得，，，是等邊三角形【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識．此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．8．（2022秋·全國·八年級期末）如圖1，分別以的兩邊為邊作和，使得．(1)求證：；(2)過點(diǎn)A分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，①如圖2，連接，請判斷的形狀，并說明理由；②如圖3，若與相交于點(diǎn)H，且，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①是等腰三角形，理由見解析；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，可證得，即可；（2）①根據(jù)，可得，可證得