2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義- 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

§2.7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

【課標(biāo)要求】1.理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握指數(shù)幕的運算性質(zhì)2

通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊

點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.根式

⑴一般地，如果/=a,那么________叫做a的n次方根，其中心1,且"GN*.

⑵式子如叫做_________這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(3)(%)”二.

當(dāng)n為奇數(shù)時，幅=

a,,

當(dāng)n為偶數(shù)時，耳?=⑷=《

-a,Q<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：6=(?>0,m,"GN*,n>l).

m1

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"==-----(o>0,m,??￡N*,??>1).

誨

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

3.指數(shù)幕的運算性質(zhì)

0rd=；(a')s=；(abY-(〃>0,b>0，廠，s￡R).

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：一般地，函數(shù)〉=優(yōu)(。>0，且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)云是自變量，定義域是

⑵指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<〃<1

「r=優(yōu)y=ax\J，

(蚌一1

圖象一羋%=1

~。i%-o|i攵

定義域

值域

過定點____________/即X=0時，y二］

當(dāng)x>0時，____________；當(dāng)x<Q時，____________；

麗

當(dāng)x<Q時，____________當(dāng)x>0時，____________

________函數(shù)________函數(shù)

【常用結(jié)論】

1.指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(0,1),(1,a),(-1,戈

2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)⑴y""⑵y=y,(3)j=F,(4)尸d'的圖象，則c>d>i>a>b>0,即在

第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)〉="(。>0,且。片1)的圖象越高，底數(shù)越大.

【自主診斷】

1,判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)

(1)^/(-4)4=-4.()

(2)2a-2b=2ab.()

⑶指數(shù)函數(shù)與y=qr(a>0,且的圖象關(guān)于y軸對稱.()

(4)若a"'<a"(a>0,且aWl),則相<”.()

2.已知函數(shù)y=a2,和y=2，+〃者B是指數(shù)函數(shù)，貝!U+6等于()

A.不確定B.0C.1D.2

3.已知關(guān)于x的不等式423-2,,則該不等式的解集為()

A.[-4,+°°)B.(-4,+°°)

C.(-8,—4)D.(-4,1]

4.(2023?福州質(zhì)檢川(-4>+自°+0.25萬X(-3-4=

■探究

題型一指數(shù)累的運算

例1計算：

2

（2）2小義3近3X折1

跟蹤訓(xùn)練1（多選）下列計算正確的是（）

/11Ai1"

B.—3*涼+—a%b*=-9a(a>0,b>0)

JIJ(3?

D.已知x1+x~2=2,貝!]%+%-i=2

題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例2（1）（多選）已知實數(shù)〃，b滿足等式3。=6J則下列可能成立的關(guān)系式為（）

A.a=bB.0<b<a

C.a<b<0D.0<a<b

⑵若函數(shù)病）=12,-2|-6有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_________________.

跟蹤訓(xùn)練2（多選）已知函數(shù)式x）=爐-b（a>0，且aWl,6/0）的圖象不經(jīng)過第三象限，則。，b

的取值范圍可能為（）

A.0<a<l,b<QB.0<a<l,0<6Wl

C.a>\,b<0D.a>l,O<b^l

題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

命題點1比較指數(shù)式的大小

例3（2024.?？谀M）已知a=1.306,b=即必，c=（Jj0-3,則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

命題點2解簡單的指數(shù)方程或不等式

例4已知p：,q:2x+1-x<2,則p是《的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

8%+tz-2x

例5已知函數(shù)於）=―（。為常數(shù)，目,aGR）是奇函數(shù).

⑴求a的值；

⑵若VxG[1,2],都有八2乃-何⑴20成立，求實數(shù)m的取值范圍.

思維升華（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，

比較大小還可以借助中間量.

（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最

值等問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

ex-1

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）（2023?重慶模擬）已知函數(shù)於）=------,則下列結(jié)論正確的是（）

e'+1

A.函數(shù)yu）的定義域為R

B.函數(shù)次x）的值域為（-1,1）

C.函數(shù)兀v）是奇函數(shù)

D.函數(shù)加0為減函數(shù)

（2）（2023?銀川模擬）函數(shù)段）=〃（。＞0，且aW1）在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大宙,則a的值

為_______

§2.7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)答案

落實主干知識

知識梳理

1.(l)x⑵根式(3)cia

2.海！0

an

3.ar+sars0rbr

4.(1)R(2)R(0,+8)(o,l)

y>\0<y<ly>\0勺<1增減

自主診斷

1.(1)X(2)X(3)J(4)X

2.C3.A4.5

探究核心題型

8164

例1解（1）原式=3

1627

339

16

99-95

廠L+^=一而

1i

(2)原式=2x3^x3x[|Jx(22x3戶

11111

=6x2^+ix3i+3+6

=6X3=18.

跟蹤訓(xùn)練1BC

例2(1)ABC[由題意，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)>=3工和y=6”的圖象，如圖

所示,

由圖象知，當(dāng)a=6=0時，3a—6b—l,故選項A正確；

作出直線>=鼠當(dāng)心>1時，若3。=6"=鼠則0cx0,故選項B正確；

作出直線>=機(jī)，當(dāng)0<機(jī)<1時，若3“=6&=相，則。<*0,故選項C正確；

當(dāng)0<a<6時，易得2°>1,貝U3"<3"<2d3"=6「故選項D錯誤.]

⑵(0,2)

解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出>=|2*—2|與y=6的圖象，如圖所示.

，當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)70)=|2*—2|一b有兩個零點.

實數(shù)b的取值范圍是(0,2).

跟蹤訓(xùn)練2ABC

例3D[a=1.3°-6>1.3°=l,6=(§-°"=g"4,c=你。3,

因為指數(shù)函數(shù)y=?>是減函數(shù)，

所以你。叫圖內(nèi)⑨口，

所以b<c<l,所以b<c<a.]

例4B當(dāng)〃>1時，y=〃是增函數(shù)，

；.p：{木<0}.

對于不等式2#1<%+2,

作出函數(shù)y=2#i與y=x+2的圖象，如圖所示.

由圖象可知，不等式2*+i<x+2的解集為{x[—l<x<0},

:.q：{x|—l<x<0}.

又???{x|—14<0}1{%以<0},

二.p是q的必要不充分條件.]