專題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用(專項訓(xùn)練)(原卷版+解析)

專題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中點．（1）求該二次函數(shù)的解析式．（2）如圖1，若E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動點，點F在該拋物線的對稱軸上，求使得△ECD的面積取最大值時點E的坐標，并求出此時EF+CF的最小值．（3）如圖2，將拋物線C1向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動點，N為平面內(nèi)一動點，是否存在這樣的點M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（﹣4，0）．與y軸交于點C（0，4），連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當(dāng)點P到AB，AC距離相等時，求點P的坐標；（3）如圖2，點M在拋物線上，點N在直線BC上，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使四邊形BMNQ為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，4），B（2，0）兩點，與y軸交于點C，DE＝AB，DE在直線AB上滑動，以DE為斜邊，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△DEF與拋物線有公共點時，求點E的橫坐標t的取值范圍；（3）在△DEF滑動過程中是否存在點P，使以C，D，E，P為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C（0，8），點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）求△BCP的面積最大值；（3）點M是拋物線的對稱軸l上一動點．①是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．②請在平面內(nèi)找到一點N，使得以B、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，并直接寫出N點的坐標．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交BC的延長線于點H，求點M的坐標；（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，Q，C，D為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，與y軸交于點C，OB＝3OA＝3，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式及點C坐標；（2）如圖1，若點P在第一象限內(nèi)，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點E，求線段PE的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，交直線BC于點M，在y軸上是否存在點G，使得以M，P，C，G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點G坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式及對稱軸；（2）如圖，點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；（3）點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．8．已知：拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P為直線BC上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO，PO交直線BC于點E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時點P的坐標，并求此時k的值；（3）如圖2，D（m，0）是x的正半軸上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應(yīng)點為M'．在圖2中探究：是否存在點D，使得四邊形CMNM′是菱形？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．9.如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，點P是直線AC下方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AP，CP，設(shè)P點的橫坐標為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點P作BC的平行線1，交線段AC于點D，在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．10.如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC，交對稱軸于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC上方的拋物線上一點，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時點P的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內(nèi)一點．當(dāng)以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個點F的坐標的過程．11.綜合與探究：如圖1所示，直線y＝x+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，C．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．①當(dāng)△ANC面積最大時的P點坐標為；最大面積為．②點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使以點D、F、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．專題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中點．（1）求該二次函數(shù)的解析式．（2）如圖1，若E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動點，點F在該拋物線的對稱軸上，求使得△ECD的面積取最大值時點E的坐標，并求出此時EF+CF的最小值．（3）如圖2，將拋物線C1向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線C2，M為拋物線C2上一動點，N為平面內(nèi)一動點，是否存在這樣的點M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中點，∴OA＝8．∵OA＝OC＝2OB，∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），將A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：．∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+x+8．（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴對稱軸為直線x＝2，令y＝0，則﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，過點E作EH⊥x軸交CD于點H，設(shè)E（m，﹣m2+m+8），F(xiàn)（2，n），則H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴當(dāng)m＝3時，S△ECD的面積有最大值25，此時E（3，），連接BE，交對稱軸于點F，連接CF，∵B點與C點關(guān)于對稱軸x＝2對稱，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，當(dāng)B、E、F三點共線時，EF+CF有最小值，最小值為BE，∴BE＝＝；（3）存在點M、N使得四邊形DMCN為菱形，理由如下：平移后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，設(shè)M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四邊形DMCN為菱形，∴DC與MN為對角線，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t＝2或x＝﹣2，∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．2．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（﹣4，0）．與y軸交于點C（0，4），連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當(dāng)點P到AB，AC距離相等時，求點P的坐標；（3）如圖2，點M在拋物線上，點N在直線BC上，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使四邊形BMNQ為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+4；（2）令y＝0，則x2﹣x+4＝0，解得x＝3或x＝﹣4，∴A（3，0），∵點P到AB，AC距離相等，∴P點在∠CAB的角平分線上，設(shè)AP與y軸交于點E，過E作EF⊥AC交于F點，∵OA＝3，CO＝4，∴AC＝5，∴CF＝2，在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，解得OE＝，∴E（0，），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得或，∴P（﹣，）；（3）存在點Q，使四邊形BMNQ為菱形，理由如下；∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，設(shè)直線BC的解析式為y＝k'x+m'，∴，解得，∴y＝x+4，設(shè)Q（﹣，t），∵四邊形BMNQ為菱形，∴M點與Q點關(guān)于直線BC對稱，∴M（t﹣4，），∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，解得t＝或t＝，∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），∴Q點坐標為（﹣，）．3．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，4），B（2，0）兩點，與y軸交于點C，DE＝AB，DE在直線AB上滑動，以DE為斜邊，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△DEF與拋物線有公共點時，求點E的橫坐標t的取值范圍；（3）在△DEF滑動過程中是否存在點P，使以C，D，E，P為頂點的四邊形為菱形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+2，∵E點的橫坐標為t，∴E（t，﹣t+2），∵A（﹣2，4），B（2，0），∴AB＝4，∵DE＝AB，∴DE＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝2，∴F（t﹣2，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），當(dāng)E點與A點重合時，t＝﹣2，當(dāng)F點在拋物線上時，（t﹣2）2﹣（t﹣2）﹣2＝﹣t+2，解得t＝2+或t＝2﹣，∴﹣2≤t≤2﹣時，△DEF與拋物線有公共點；當(dāng)E點與B點重合時，t＝2，當(dāng)D點與B點重合時，t﹣2＝2，解得t＝4，∴2≤t≤4時，△DEF與拋物線有公共點；綜上所述：﹣2≤t≤2﹣或2≤t≤4時，△DEF與拋物線有公共點；（3）存在點P，使以C，D，E，P為頂點的四邊形為菱形，理由如下：由（2）知，E（t，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），C（0，﹣2），設(shè)P（x，y），①當(dāng)CD為菱形的對角線時，CE＝DE，∴，解得，∴P（﹣2，0）；②當(dāng)CE為菱形的對角線時，CD＝DE，∴，解得，∴P（2，﹣4）；③當(dāng)CP為菱形的對角線時，CE＝CD，∴，解得，∴P（4，2）；綜上所述：P點坐標為（﹣2，0）或（2，﹣4）或（4，2）．4．如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C（0，8），點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）求△BCP的面積最大值；（3）點M是拋物線的對稱軸l上一動點．①是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．②請在平面內(nèi)找到一點N，使得以B、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，并直接寫出N點的坐標．【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，∴，解得﹣，∴y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，則﹣x2+3x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+8，過點P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)P（t，﹣t2+3t+8），則G（t，﹣t+8），∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，∴當(dāng)t＝4時，△BCP的面積有最大值，最大值為32；（3）①存在點M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，∴E（3，5），設(shè)M（3，m），∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，當(dāng)BE＝BM時，5＝，解得m＝5（舍）或m＝﹣5，∴M（3，﹣5）；當(dāng)BE＝EM時，5＝|m﹣5|，解得m＝5+5或m＝﹣5+5，∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；當(dāng)BM＝EM時，＝|m﹣5|，解得m＝0，∴M（3，0）；綜上所述：M點坐標為（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；②設(shè)N（x，y），M（3，m），當(dāng)BE為菱形的對角線時，BM＝EM，∴，解得，∴N（8，5）；當(dāng)BM為菱形的對角線時，BE＝EM，∴，解得或，∴N（8，5）或（8，﹣5）；當(dāng)BN為菱形的對角線時，BE＝BM，∴，解得（舍）或，∴N（﹣2，0）；綜上所述：N點坐標為（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，0）．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點M，使得∠BMO＝45°，過點O作OH⊥OM交BC的延長線于點H，求點M的坐標；（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，Q，C，D為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，點C（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，∵直線BC經(jīng)過點B（3，0），C（0，6），∴，解得：∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，設(shè)點M的坐標為（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如圖1，過點M作MN⊥y軸于點N，過點H作HK⊥y軸于點K，則∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵點H（﹣2m+6，﹣m）在直線y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得：m＝，把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，∴當(dāng)∠OMB＝45°時，點M的坐標為（）；（3）存在，理由如下：∵拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，頂點為D，∴點D的坐標為（1，8），分兩種情況討論：①當(dāng)CD為菱形的邊時，如圖2，過C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝＝，∴DQ＝CD＝，∴Q點的坐標為（1，8﹣）或（1，8+）；②當(dāng)CD為菱形的對角線時，如圖3，設(shè)點Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝，∴點Q的坐標為（1，）；綜上所述，點Q的坐標為（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．6．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，與y軸交于點C，OB＝3OA＝3，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式及點C坐標；（2）如圖1，若點P在第一象限內(nèi)，過點P作x軸的平行線，交直線BC于點E，求線段PE的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，交直線BC于點M，在y軸上是否存在點G，使得以M，P，C，G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點G坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），將（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，將x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，∴點C坐標為（0，3）．（2）設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，將（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+3，作PF⊥x軸交BC于點F，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵PE∥x軸，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，設(shè)點P坐標為（m，﹣m2+2m+3），則點F坐標為（m，﹣m+3）．∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴m＝時，PE的最大值為，此時點P坐標為（，）．（3）①如圖，PM＝CM，設(shè)點P坐標為（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m，∵點C坐標為（0，3），∴CM＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍）或m＝3﹣，∴GC＝CM＝3﹣2，∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1，∴點G坐標為（0，3+1）．②如圖，PM＝CG時四邊形PCGM為平行四邊形，PG⊥CM時四邊形PCGM為菱形，∵PM＝﹣m2+3m，點C坐標為（0，3），∴點G坐標為（0，m2﹣3m+3），作GN⊥PM，∵∠CBO＝45°，∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3），解得m＝0（舍）或m＝2，∴點G坐標為（0，1）．③如圖，PM＝CM，由①可得m2﹣3m＝m，解得m＝3+，∴PM＝CG＝CM＝3+2，∴點G坐標為（0，1﹣3）．綜上所述，點G坐標為（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）．7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式及對稱軸；（2）如圖，點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；（3）點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）、點C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1；（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，∴B（3，0），∵點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，∴D（2，3），∴BD的中點H為（，），BD＝，∵∠BPD＝90°，∴PH＝BD，設(shè)P（1，t），∴（）2+（﹣t）2＝×10，解得t＝1或t＝2，∴P（1，1）或（1，2）；（3）存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，理由如下：設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），N（1，n），①當(dāng)AB為菱形的對角線時，AM＝AN，∴，解得，∴N（1，﹣4）；②當(dāng)AM為菱形對角線時，AB＝AN，∴，此時無解；③當(dāng)AN為菱形對角線時，AB＝AM，∴，此時無解；綜上所述：N點坐標為（1，﹣4）．8．已知：拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P為直線BC上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO，PO交直線BC于點E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時點P的坐標，并求此時k的值；（3）如圖2，D（m，0）是x的正半軸上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應(yīng)點為M'．在圖2中探究：是否存在點D，使得四邊形CMNM′是菱形？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如下圖，過點P作PH∥y軸交直線BC于點H，∴△PEH∽△OEC，∴，∵＝k，OC＝3，∴k＝PH，設(shè)直線BC的解析式為y＝sx+t，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時，k取得最大值為，此時P點的坐標為（，）；（3）存在；由折疊知，MC＝M'C，MN＝M'N，故當(dāng)MN＝MC時，四邊形CMNM′是菱形，設(shè)M（m，﹣m+3），則N（m，﹣m2+2m+3），∴MC＝＝|m|，∴|﹣m2+3m|＝|m|，即﹣m2+3m＝±m(xù)，解得m＝3+或3﹣，綜上所述，點D的坐標為（3+，0）或（3﹣，0）9.如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，點P是直線AC下方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AP，CP，設(shè)P點的橫坐標為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過點P作BC的平行線1，交線段AC于點D，在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）點E的坐標為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．【解答】解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如圖1，過點P作PM∥y軸交直線AC于點M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+n，∴，∴，∴AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，∵P點的橫坐標為m，∴P的坐標是（m，m2+2m﹣3），則M的坐標是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，∴﹣3＜m＜0，∴S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）分兩種情況：①如圖2，四邊形CDEB是菱形，設(shè)D（t，﹣t﹣3），則E（t+1，﹣t），∵四邊形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝±，∵t＜0，∴t＝﹣，∴E（﹣+1，）；②如圖3，四邊形CBDE是菱形，設(shè)D（t，﹣t﹣3），則E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四邊形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；綜上所述，點E的坐標為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．10.如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC，交對稱軸于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC上方的拋物線上一點，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時點P的坐標；（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內(nèi)一點．當(dāng)以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個點F的坐標的過程．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，）；（3）F點坐標為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）和點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3，∵函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，∴D（1，2），過點P作x軸的垂線，交BC于點Q，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+3t，∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時，S△PCD的最大值為，此時P（，）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1個單位得到新拋物線為y＝﹣（x﹣2）2+4，聯(lián)立，解得x＝，∴E（，），∵新拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)F（2，m），∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，∵以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，有三種情況：①當(dāng)EF、FD為鄰邊，此時EF＝FD，∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，解得m＝，∴F（2，）；②當(dāng)ED、EF為鄰邊，此時ED＝EF，∴＝+（m﹣）2，解得m＝或m＝2，∴F（2，2）或F（2，），設(shè)直線ED的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，當(dāng)x＝2時，y＝，∴F（2，2）；③當(dāng)DE、DF為鄰邊，此時DE＝DF，∴＝1+（m﹣2）2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；綜上所述：F點坐標為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．11.綜合與探究：如圖1所示，直線y＝x+c與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，C．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．①當(dāng)△ANC面積最大時的P點坐標為；最大面積為．②點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使以點D、F、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）①（﹣2，2）；8．②點D的坐標為（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．【解答】解：（1）將A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，將A（﹣4