專(zhuān)題11相似三角形的判定方法(原卷版+解析)

專(zhuān)題11相似三角形的判定方法考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)二兩邊成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)三模）如圖，在中，，若≌，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)．求證：∽．2．（2021·云南·姚安縣光祿中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)在上，連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：；3．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在邊BC上，滿足∠DEF=∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．求證：△BDE△CEF．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．5．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長(zhǎng)后交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．考點(diǎn)二兩邊成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似1．（2022·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級(jí)期中）如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊、上，與相交于點(diǎn)，且，，．求證：．5．（2021·福建省泉州第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，F(xiàn)E∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長(zhǎng)；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論．7．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，連結(jié)AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．(1)求證：AB＝AD．(2)連結(jié)EF，BE，線段FD是線段AD與AF的比例中項(xiàng)．①若AD＝4，求線段FD的長(zhǎng)．②求證：△DEF∽△CEB．考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似1．（2021·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說(shuō)明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在和中，、分別是、上一點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求證：．4．（2021·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)、、和、、都在正方形的頂點(diǎn)上．求證：．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，它們的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）如圖，要使與相似，則需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是______________(只添一個(gè)即可)．2．（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．3．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)為的邊上的一點(diǎn)，添加______，可以使與相似．4．（2022·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知相交于點(diǎn)O，若補(bǔ)充一個(gè)條件后，便可得到，則要補(bǔ)充的條件可以是________．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＞AC，過(guò)AC邊上一點(diǎn)D作直線DE交AB邊于點(diǎn)E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可以作_____條．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我們知道圖中兩個(gè)直角三角形不一定會(huì)相似．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使這兩個(gè)直角三角形一定相似，你認(rèn)為該添加的一個(gè)條件是________．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補(bǔ)充的一個(gè)條件是________．（只要求寫(xiě)出一個(gè)條件即可）9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你在不增加任何輔助圖形與字母的情況下，補(bǔ)充一個(gè)條件，使圖中的兩個(gè)三角形是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形，則可以補(bǔ)充的條件是________________．專(zhuān)題11相似三角形的判定方法考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)二兩邊成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似考點(diǎn)一兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)三模）如圖，在中，，若≌，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)．求證：∽．【答案】見(jiàn)解析【分析】首先得出∠B＝∠C，∠AEF＝∠B，然后證明∠CEM＝∠BAE即可得出△ABE∽△ECM．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)鍵．2．（2021·云南·姚安縣光祿中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)在上，連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：；【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)ABCD，利用平行線的性質(zhì)求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可證明△CDF∽△BGF．【詳解】證明：∵在梯形ABCD中，ABCD，∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，∴△CDF∽△BGF．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在邊BC上，滿足∠DEF=∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．求證：△BDE△CEF．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，得到∠BDE＝∠CEF，于是得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF=∠B，，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，根據(jù)BE＝BD，由等邊對(duì)等角可得∠BED＝∠BDE，根據(jù)鄰補(bǔ)角可得∠AEB＝∠ADC，即可證明△ABE∽△ACD．【詳解】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長(zhǎng)后交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質(zhì)可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二兩邊成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似1．（2022·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級(jí)期中）如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可證明【詳解】證明：如圖，∵AB?AF＝AE?AC，∴，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】由題中線段長(zhǎng)度得出＝，結(jié)合相似三角形的判定定理即可證明．【詳解】證明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，∴＝＝2，．∴＝．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由四邊形是正方形可知，，由，可得，由是的中點(diǎn)，可得，可得，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵四邊形是正方形∴，∵∴∵是的中點(diǎn)∴∵，∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于找出相似所需的條件．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊、上，與相交于點(diǎn)，且，，．求證：．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】利用比例線段來(lái)證明相似三角形即可．【詳解】解：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·福建省泉州第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，F(xiàn)E∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長(zhǎng)；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【答案】(1)AC=；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，求出AC即可；（2）根據(jù)已知線段的長(zhǎng)度求出，根據(jù)相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．（1）解：∵EF∥CD，∴，∵AF=3，AD=5，AE=4，∴，解得：AC=；（2）證明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）先在Rt△BCG中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠GBC的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數(shù)；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．（2）利用格點(diǎn)三角形的知識(shí)求出AB，BC及DE，EF的長(zhǎng)度，繼而可作出判斷．【詳解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，∴；故答案為：，；（2）解：相似．理由如下：∵，，∴，∴又∵∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個(gè)三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．7．（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，連結(jié)AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．(1)求證：AB＝AD．(2)連結(jié)EF，BE，線段FD是線段AD與AF的比例中項(xiàng)．①若AD＝4，求線段FD的長(zhǎng)．②求證：△DEF∽△CEB．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAD=∠ADE=90°，進(jìn)而證明∠ABF=∠DAE，得到△ABF≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AD，根據(jù)正方形的判定定理證明結(jié)論；（2）①根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到FD2=AD·AF，設(shè)FD=x，得到方程，解之即可；②由全等三角形的性質(zhì)得到AF=DE，則DF=CE，再根據(jù)比例中項(xiàng)得到，最后利用相似三角形的判定方法得到結(jié)果．(1)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB=AD；(2)①∵線段FD是線段AD與AF的比例中項(xiàng)∴FD2=AD·AF，∵AD=4，設(shè)FD=x，則AF=4-x，∴x2=4（4-x），解得：x=或（舍），∴FD=；②由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴DF=CE，∵線段DF是線段AF與AD的比例中項(xiàng)，∴DF2=AF?AD，∴，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似1．（2021·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由．【答案】相似，理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定定理，即可求解．【詳解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：根據(jù)題意得：AB＝2，，；，，EF＝2，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格圖與勾股定理，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說(shuō)明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【答案】(1)相似，理由見(jiàn)解析(2)相似，理由見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)，兩三角形相似，進(jìn)而判斷即可；（2）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似，進(jìn)而判斷即可．（1）解：∵，，，∴．∴．（2）∵，，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在和中，、分別是、上一點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得，，即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．4．（2021·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)、、和、、都在正方形的頂點(diǎn)上．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先利用勾股定理分別求解再分別計(jì)算：可得兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由勾股定理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的運(yùn)算，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定，熟悉三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，它們的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由．【答案】△ABC△DEF，理由見(jiàn)詳解【分析】先根據(jù)勾股定理求出三角形各邊長(zhǎng)，從而得到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：△ABC△DEF，理由如下：∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，∴，∴△ABC△DEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）如圖，要使與相似，則需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是______________(只添一個(gè)即可)．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)相似三角形的判定，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠A=∠A，添加，可利用AA證得與相似，故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形判定，熟練掌握相似三角形判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定問(wèn)題，由題意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一對(duì)應(yīng)角相等即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一對(duì)應(yīng)角相等即可，∴添加的條件為∠B＝∠D．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)為的邊上的一點(diǎn)，添加______，可以使與相似．【答案】∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法探究即可．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴當(dāng)添加∠APC=∠ACB時(shí)，根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．當(dāng)添加∠ACP=∠B時(shí)，根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．當(dāng)添加時(shí)，根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．故答案為∶∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個(gè)公共角，則可以再添加一個(gè)角從而利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定或添加夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知相交于點(diǎn)O，若補(bǔ)充一個(gè)條件后，便可得到，則要補(bǔ)充的條件可以是________．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意有∠AOB=∠DOC，因此根據(jù)相似三角形的判定條件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可證明△AOB∽△DOC．【詳解】解：∵∠AOB=∠DOC，∴當(dāng)添加條件∠B=∠C時(shí)可以證明△AOB∽△DOC，故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＞AC，過(guò)AC邊上一點(diǎn)D作直線DE交AB邊于點(diǎn)E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可以作_____條．【答案】2【分析】本題可分2種情況：①依據(jù)預(yù)備定理，過(guò)D作DE′∥BC，那么DE′符合所求直線的要求；②作∠ADE＝∠ABC，則△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直線的