專題11相似三角形的判定方法(原卷版+解析)

專題11相似三角形的判定方法考點一兩角對應相等，兩個三角形相似考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似考點四補充條件使兩個三角形相似考點一兩角對應相等，兩個三角形相似1．（2022·福建省福州屏東中學三模）如圖，在中，，若≌，且點在上，點在上，與交于點．求證：∽．2．（2021·云南·姚安縣光祿中學九年級階段練習）如圖，梯形中，，點在上，連結并延長與的延長線交于點．求證：；3．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在邊BC上，滿足∠DEF=∠B，且點D，F分別在邊AB，AC上．求證：△BDE△CEF．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．5．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．7．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似1．（2022·廣西·靖西市教學研究室九年級期中）如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．3．（2022·全國·九年級）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在中，點，分別在邊、上，與相交于點，且，，．求證：．5．（2021·福建省泉州第一中學九年級期中）如圖，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．7．（2022·浙江杭州·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在CD，AD上，連結AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．(1)求證：AB＝AD．(2)連結EF，BE，線段FD是線段AD與AF的比例中項．①若AD＝4，求線段FD的長．②求證：△DEF∽△CEB．考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似1．（2021·山東濟南·九年級期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．2．（2022·全國·九年級專題練習）根據下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．4．（2021·河南南陽·九年級期中）如圖，設網格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長方形網格中，它們的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由．考點四補充條件使兩個三角形相似1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，要使與相似，則需添加一個適當的條件是______________(只添一個即可)．2．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，∠1＝∠2，請你補充一個條件：_________，使△ABC∽△ADE．3．（2022·山東濟南·八年級期末）如圖，點為的邊上的一點，添加______，可以使與相似．4．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是________．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＞AC，過AC邊上一點D作直線DE交AB邊于點E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可以作_____條．7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我們知道圖中兩個直角三角形不一定會相似．請你添加一個條件，使這兩個直角三角形一定相似，你認為該添加的一個條件是________．8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補充的一個條件是________．（只要求寫出一個條件即可）9．（2022·全國·九年級）如圖，已知點D、E分別是△ABC的邊AC、BC上的動點，請你在不增加任何輔助圖形與字母的情況下，補充一個條件，使圖中的兩個三角形是以點C為位似中心的位似圖形，則可以補充的條件是________________．專題11相似三角形的判定方法考點一兩角對應相等，兩個三角形相似考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似考點四補充條件使兩個三角形相似考點一兩角對應相等，兩個三角形相似1．（2022·福建省福州屏東中學三模）如圖，在中，，若≌，且點在上，點在上，與交于點．求證：∽．【答案】見解析【分析】首先得出∠B＝∠C，∠AEF＝∠B，然后證明∠CEM＝∠BAE即可得出△ABE∽△ECM．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質，相似三角形的判定等知識，熟練掌握兩角對應相等，兩個三角形相似是解題關鍵．2．（2021·云南·姚安縣光祿中學九年級階段練習）如圖，梯形中，，點在上，連結并延長與的延長線交于點．求證：；【答案】見解析【分析】根據ABCD，利用平行線的性質求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可證明△CDF∽△BGF．【詳解】證明：∵在梯形ABCD中，ABCD，∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，∴△CDF∽△BGF．【點睛】本題考查了梯形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定，熟練掌握兩角對應相等，兩個三角形相似是解題的關鍵．3．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在邊BC上，滿足∠DEF=∠B，且點D，F分別在邊AB，AC上．求證：△BDE△CEF．【答案】見解析【分析】根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，根據∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，得到∠BDE＝∠CEF，于是得到結論．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF=∠B，，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．【答案】見解析【分析】根據角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，根據BE＝BD，由等邊對等角可得∠BED＝∠BDE，根據鄰補角可得∠AEB＝∠ADC，即可證明△ABE∽△ACD．【詳解】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．5．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據等腰三角形的性質得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和相似三角形的判定定理是解題的關鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線性質得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點E為AC的中點，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質是解題的關鍵．7．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．【答案】(1)見解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進而得到∠A＝∠CBD，再根據∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質，熟知相似三角形的判定方法是解題關鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關鍵．考點二兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似1．（2022·廣西·靖西市教學研究室九年級期中）如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【答案】見解析【分析】根據題意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可證明【詳解】證明：如圖，∵AB?AF＝AE?AC，∴，又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．【答案】證明見詳解【分析】由題中線段長度得出＝，結合相似三角形的判定定理即可證明．【詳解】證明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，∴＝＝2，．∴＝．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．3．（2022·全國·九年級）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．【答案】證明見解析【分析】由四邊形是正方形可知，，由，可得，由是的中點，可得，可得，進而結論得證．【詳解】證明：∵四邊形是正方形∴，∵∴∵是的中點∴∵，∴∵∴．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定．解題的關鍵在于找出相似所需的條件．4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在中，點，分別在邊、上，與相交于點，且，，．求證：．【答案】答案見解析【分析】利用比例線段來證明相似三角形即可．【詳解】解：，，，，，，，．【點睛】本題主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題的關鍵．5．（2021·福建省泉州第一中學九年級期中）如圖，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【答案】(1)AC=；(2)見解析【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理得出比例式，求出AC即可；（2）根據已知線段的長度求出，根據相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．（1）解：∵EF∥CD，∴，∵AF=3，AD=5，AE=4，∴，解得：AC=；（2）證明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．【答案】（1），；（2），證明見解析【分析】（1）先在Rt△BCG中根據等腰直角三角形的性質求出∠GBC的度數，再根據∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度數；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的長．（2）利用格點三角形的知識求出AB，BC及DE，EF的長度，繼而可作出判斷．【詳解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，∴；故答案為：，；（2）解：相似．理由如下：∵，，∴，∴又∵∴．【點睛】此題主要考查學生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關系．7．（2022·浙江杭州·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在CD，AD上，連結AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．(1)求證：AB＝AD．(2)連結EF，BE，線段FD是線段AD與AF的比例中項．①若AD＝4，求線段FD的長．②求證：△DEF∽△CEB．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】（1）根據正方形的性質得到∠BAD=∠ADE=90°，進而證明∠ABF=∠DAE，得到△ABF≌△DAE，根據全等三角形的性質得到AB=AD，根據正方形的判定定理證明結論；（2）①根據比例中項的定義得到FD2=AD·AF，設FD=x，得到方程，解之即可；②由全等三角形的性質得到AF=DE，則DF=CE，再根據比例中項得到，最后利用相似三角形的判定方法得到結果．(1)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB=AD；(2)①∵線段FD是線段AD與AF的比例中項∴FD2=AD·AF，∵AD=4，設FD=x，則AF=4-x，∴x2=4（4-x），解得：x=或（舍），∴FD=；②由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴DF=CE，∵線段DF是線段AF與AD的比例中項，∴DF2=AF?AD，∴，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE．【點睛】本題考查的是矩形的性質、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．考點三三邊對應成比例，兩個三角形相似1．（2021·山東濟南·九年級期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【答案】相似，理由見解析【分析】根據勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的長，再根據相似三角形的判定定理，即可求解．【詳解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：根據題意得：AB＝2，，；，，EF＝2，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【點睛】本題主要考查了網格圖與勾股定理，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習）根據下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【答案】(1)相似，理由見解析(2)相似，理由見解析【分析】（1）計算對應邊的比，根據三邊對應，兩三角形相似，進而判斷即可；（2）根據兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，進而判斷即可．（1）解：∵，，，∴．∴．（2）∵，，∴．又∵，∴．【點睛】題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵．3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．【答案】見解析【分析】根據比例的性質可得，，即可求證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．4．（2021·河南南陽·九年級期中）如圖，設網格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．【答案】證明見解析【分析】先利用勾股定理分別求解再分別計算：可得兩個三角形的三邊對應成比例，從而可得結論.【詳解】解：由勾股定理可得：【點睛】本題考查的是二次根式的運算，勾股定理的應用，相似三角形的判定，熟悉三邊對應成比例的兩個三角形相似是解題的關鍵.5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC與△DEF在5×7的長方形網格中，它們的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點位置，試判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由．【答案】△ABC△DEF，理由見詳解【分析】先根據勾股定理求出三角形各邊長，從而得到兩個三角形的對應邊成比例，進而即可得到結論．【詳解】解：△ABC△DEF，理由如下：∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，∴，∴△ABC△DEF．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握對應邊成比例的兩個三角形相似，是解題的關鍵．考點四補充條件使兩個三角形相似1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，要使與相似，則需添加一個適當的條件是______________(只添一個即可)．【答案】（答案不唯一）【分析】根據相似三角形的判定，即可求解．【詳解】解：根據題意得：∠A=∠A，添加，可利用AA證得與相似，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了相似三角形判定，熟練掌握相似三角形判定定理是解題的關鍵．2．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，∠1＝∠2，請你補充一個條件：_________，使△ABC∽△ADE．【答案】（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定問題，由題意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一對應角相等即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，要使△ABC∽△ADE，只需再有一對應角相等即可，∴添加的條件為∠B＝∠D．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的性質及判定定理是解題的關鍵．3．（2022·山東濟南·八年級期末）如圖，點為的邊上的一點，添加______，可以使與相似．【答案】∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或【分析】根據相似三角形的判定方法探究即可．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴當添加∠APC=∠ACB時，根據“兩角對應相等的兩個三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．當添加∠ACP=∠B時，根據“兩角對應相等的兩個三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．當添加時，根據“兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可以使得△ABC與△APC相似．故答案為∶∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或.【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．4．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對應成比例也可以判定．【詳解】解∶∵∠A=∠A，∴根據兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據兩邊對應成比例且夾角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是________．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）【分析】根據題意有∠AOB=∠DOC，因此根據相似三角形的判定條件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可證明△AOB∽△DOC．【詳解】解：∵∠AOB=∠DOC，∴當添加條件∠B=∠C時可以證明△AOB∽△DOC，故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＞AC，過AC邊上一點D作直線DE交AB邊于點E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可以作_____條．【答案】2【分析】本題可分2種情況：①依據預備定理，過D作DE′∥BC，那么DE′符合所求直線的要求；②作∠ADE＝∠ABC，則△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直線的