專題02二次根式的運算(考點剖析)-2018-2019學年浙江省八年級數(shù)學下學期期末必考點復習(浙教版)(原卷版+解析)2

專題02二次根式的運算【考點剖析】1、最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①；②．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），這里的a可以是任意有理數(shù)．3、二次根式的運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．最簡二次根式【典例】例1．在、、、、中，最簡二次根式的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習】1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列根式，，，，，中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．下列式子中：，，，，2，其中屬于最簡二次根式的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．4二次根式的混合運算【典例】例1．計算：?（）（a＞0）例2．計算：（1）2；（2）（15）（x＞0）.例3．計算：（）.【鞏固練習】1．計算：2．計算：?3．計算：．4．計算：3．5．計算：23（）．6．計算：．7．計算：．8．計算：（5）．9．化簡求值：，其中x＝4，y．分母有理化【典例】例1．閱讀理解材料：把分母中的根號去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡：（2）計算：（3）．例2．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）觀察上面的規(guī)律，計算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的規(guī)律，試比較與的大?。眷柟叹毩暋?．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．2．在進行二次根式的運算時，如遇到這樣的式子，還需做進一步的化簡：1．還可以用以下方法化簡：1．這種化去分母中根號的運算叫分母有理化．分別用上述兩種方法化簡：．3．觀察下面的變形規(guī)律：，，，，…解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請你猜想__________；（2）計算：（）×（）4．觀察下列等式：①；②；③…回答下列問題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：（2）計算：．專題02二次根式的運算【考點剖析】1、最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①；②．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），這里的a可以是任意有理數(shù)．3、二次根式的運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．最簡二次根式【典例】例1．在、、、、中，最簡二次根式的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡二次根式有，這2個，故選：B．【點睛】根據(jù)最簡二次根式的定義對二次根式分析判斷即可得．本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【鞏固練習】1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，A不是最簡二次根式；B，是最簡二次根式；3，C不是最簡二次根式；a，D不是最簡二次根式；故選：B．2．下列根式，，，，，中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡二次根式有，這2個，故選：B．3．下列式子中：，，，，2，其中屬于最簡二次根式的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：最簡二次根式有，2，共2個，故選：B．二次根式的混合運算【典例】例1．計算：?（）（a＞0）【答案】見解析【解析】解：?（）（a＞0）?a2b＝﹣9a2．【點睛】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進而得出答案．此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．例2．計算：（1）2（2）（15）（x＞0）【答案】見解析【解析】解：（1）原式＝264＝4；（2）原式（152x）＝332x＝2x．【點睛】（1）先將二次根式化簡，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可；（2）先將二次根式化簡，再利用去括號法則去括號，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可．本題主要考查二次根式的加減，解決此類問題的關(guān)鍵是要先將二次根式化簡，此外還要注意，只有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并，當被開方數(shù)不相同時是不能合并的．例3．計算：（）【答案】見解析【解析】解：原式1＝21﹣2＝3﹣2．【點睛】先根據(jù)二次根式的乘除法則運算，然后化簡后合并即可．本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【鞏固練習】1．計算：【答案】見解析【解析】解：．2．計算：?【答案】見解析【解析】解：原式????．3．計算：．【答案】見解析【解析】解：原式＝23（）＝24．4．計算：3．【答案】見解析【解析】解：原式＝234＝22＝3．5．計算：23（）．【答案】見解析【解析】解：原式＝333＝53．6．計算：．【答案】見解析【解析】解：原式2＝2﹣32＝2．7．計算：．【答案】見解析【解析】解：原式4﹣51＝﹣1．8．計算：（5）．【答案】見解析【解析】解：原式＝（53）636．9．化簡求值：，其中x＝4，y．【答案】見解析【解析】解：原式23，當x＝4，y時，原式31+1＝2．分母有理化【典例】例1．閱讀理解材料：把分母中的根號去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡：（2）計算：（3）．【答案】見解析【解析】解：（1）；（2）11；（3）11．【點睛】（1）直接找出有理化因式，進而分母有理化得出答案；（2）利用已知分別化簡各二次根式，進而求出答案；（3）利用已知分別化簡各二次根式，進而求出答案．此題主要考查了分母有理化，正確找出有理化因式是解題關(guān)鍵．例2．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）觀察上面的規(guī)律，計算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的規(guī)律，試比較與的大?。敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥拷猓海?）由題意可得，原式＝（1）?（1）＝（1）?（1）＝2013﹣1＝2012；（2），，∵，∴，∴．【點睛】（1）根據(jù)題中給出的式子找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可得出結(jié)論；（2）把題中的式子取倒數(shù)，再比較大小即可．本題考查的是分母有理數(shù)，根據(jù)題中給出的例子找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【鞏固練習】1．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【答案】見解析【解析】解：（1）∵a，b，∴ab＝（）×（）＝1，a+b2；（2）＝（）2+（）2＝5﹣25+2＝10．2．在進行二次根式的運算時，如遇到這樣的式子，還需做進一步的化簡：1．還可以用以下方法化簡：1．這種化去分母中根號的運算叫分母有理化．分別用上述兩種方法化簡：．【答案】見解析【解析】解：；或：．3．觀察下面的