專題09勾股定理之趙爽弦圖模型綜合應(yīng)用(2大類型)(原卷版+解析)

專題09勾股定理之趙爽弦圖模型綜合應(yīng)用（2大類型）專題說(shuō)明專題說(shuō)明勾股定理的幾種常見(jiàn)證明方法（趙爽弦圖法、劉徽青朱出入法、歐幾里得面積法等），理解證明思路；運(yùn)用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問(wèn)題；體驗(yàn)知識(shí)的遷移和方法的運(yùn)用過(guò)程，從而提高分析、類比的能力，提高解決問(wèn)題的能力；感受勾股定理中折射出的數(shù)學(xué)文化，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。解題思路解題思路弦圖模型，包含兩種模型：內(nèi)弦圖模型和外弦圖模型.（一）內(nèi)弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.（二）外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.【典例分析】【類型一：內(nèi)弦圖模型】【典例1】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝6，BC＝4，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為4的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．56 B．24 C．64 D．32【變式1-1】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝6，BC＝4，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為4的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．56 B．24 C．64 D．32【變式1-2】（2022秋?錫山區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【變式1-3】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，則EF的長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．7 D．7【類型二：外弦圖模型】【典例2】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30【變式2-1】（2021春?梁山縣期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【變式2-2】（2022秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）如圖①是美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖②，現(xiàn)將這四個(gè)全等的直角三角形緊密拼接，形成飛鏢狀，且外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，則該飛鏢狀圖案的面積（）A．6 B．12 C．16 D．242．（2022?費(fèi)縣校級(jí)二模）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中說(shuō)法正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④3．（2022秋?電白區(qū)期中）在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形（如圖所示），若大正方形的面積為13，小正方形的面積是1，較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．13 B．19 C．25 D．1694．（2021秋?樂(lè)山期末）如圖，圖（1）是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長(zhǎng)是30，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．76 B．57 C．38 D．195．（2022秋?新鄭市校級(jí)月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EPGH正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．6756．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．（2022?館陶縣一模）根據(jù)圖形（圖1，圖2）的面積關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖1能說(shuō)明勾股定理，圖2能說(shuō)明完全平方公式 B．圖1能說(shuō)明平方差公式，圖2能說(shuō)明勾股定理 C．圖1能說(shuō)明完全平方公式，圖2能說(shuō)明平方差公式 D．圖1能說(shuō)明完全平方公式，圖2能說(shuō)明勾股定理8．（2022春?延津縣期中）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，則EF2的值是（）A．128 B．64 C．32 D．144【能力提升】9．（2022?無(wú)錫模擬）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是15，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是39，則大正方形的邊長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．5 D．410．（2022秋?代縣期末）綜合與實(shí)踐美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；（2）如圖2，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積；（3）如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．11．（2022秋?吳江區(qū)月考）【方法探究】我們知道，通過(guò)不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．如圖1，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（a＜b），斜邊長(zhǎng)為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為、，由此可發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為．【方法遷移】將圖1中的四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)趫D2中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，并加以說(shuō)明．12．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．13．（2022春?玉山縣月考）“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗(yàn)明勾股定理，為中國(guó)古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范．（1）如圖1所示，是小華制作的一個(gè)“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊BC的長(zhǎng)為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的，求直角三角形的長(zhǎng)直角邊AC的長(zhǎng)；（2）小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)．14．（2022秋?榕城區(qū)期中）知識(shí)探究：如圖1是兩直角邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四個(gè)與圖1完全一樣的直角三角形可以拼成如圖2和圖3的幾何圖形．其中圖2和圖3的四邊形ABCD、四邊形EFGH都是正方形．請(qǐng)你根據(jù)幾何圖形部分與整體的關(guān)系完成第（1）（2）題．請(qǐng)選擇（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有關(guān)代數(shù)式表示：圖2中正方形ABCD的面積：．圖3中正方形ABCD的面積：．（2）請(qǐng)你根據(jù)題（1），寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系．知識(shí)應(yīng)用：（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．15．（2022春?濰坊期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為a，較短的直角邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理．（2）如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積．（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．16．（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?7．（2021春?利辛縣期中）如圖，小明用4個(gè)圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．18．（2021秋?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．（1）填空：正方形EFGH的面積為，四個(gè)直角三角形的面積和為．（2）求a+b的值．專題09勾股定理之趙爽弦圖模型綜合應(yīng)用（2大類型）專題說(shuō)明專題說(shuō)明勾股定理的幾種常見(jiàn)證明方法（趙爽弦圖法、劉徽青朱出入法、歐幾里得面積法等），理解證明思路；運(yùn)用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問(wèn)題；體驗(yàn)知識(shí)的遷移和方法的運(yùn)用過(guò)程，從而提高分析、類比的能力，提高解決問(wèn)題的能力；感受勾股定理中折射出的數(shù)學(xué)文化，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。解題思路解題思路弦圖模型，包含兩種模型：內(nèi)弦圖模型和外弦圖模型.（一）內(nèi)弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.（二）外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.【典例分析】【類型一：內(nèi)弦圖模型】【典例1】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝6，BC＝4，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為4的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．56 B．24 C．64 D．32【答案】A【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2＝82+62＝100所以x＝10所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長(zhǎng)是：（10+4）×4＝56．故選：A．【變式1-1】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝6，BC＝4，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為4的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．56 B．24 C．64 D．32【答案】A【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2＝82+62＝100所以x＝10所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長(zhǎng)是：（10+4）×4＝56．故選：A．【變式1-2】（2022秋?錫山區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面積＝4×ab+5＝13，故選：B．【變式1-3】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，則EF的長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．7 D．7【答案】C【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，小正方形的邊長(zhǎng)＝12﹣5＝7，∴EF＝；故選：C．【類型二：外弦圖模型】【典例2】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30【答案】C【解答】解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m，則S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因?yàn)镾1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故選：C．【變式2-1】（2021春?梁山縣期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，則S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【答案】B【解答】解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m，則S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，∵S1+S2+S3＝45，∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，即3S2＝45，解得S2＝15．故選：B．【變式2-2】（2022秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項(xiàng)能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項(xiàng)能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項(xiàng)能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項(xiàng)不能證明勾股定理．故選：D．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）如圖①是美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖②，現(xiàn)將這四個(gè)全等的直角三角形緊密拼接，形成飛鏢狀，且外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，則該飛鏢狀圖案的面積（）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即AB+AC＝6，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝32+（3+AC）2，解得：AC＝1，∴OA＝3+1＝4，∴，∴該飛鏢狀圖案的面積＝4S△AOB＝24，故選：D．2．（2022?費(fèi)縣校級(jí)二模）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中說(shuō)法正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：∵大正方形面積為49，∴大正方形邊長(zhǎng)為7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故說(shuō)法①正確；∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長(zhǎng)為2，∴x﹣y＝2，故說(shuō)法②正確；∵大正方形面積等于小正方形面積與四個(gè)直角三角形面積之和，∴4×xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故說(shuō)法③正確；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝，故說(shuō)法④錯(cuò)誤；故選：A．3．（2022秋?電白區(qū)期中）在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形（如圖所示），若大正方形的面積為13，小正方形的面積是1，較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．13 B．19 C．25 D．169【答案】C【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為c，∵大正方形的面積是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面積是＝3，又∵直角三角形的面積是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．故選：C．4．（2021秋?樂(lè)山期末）如圖，圖（1）是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成．若較短的直角邊BC＝5，將四個(gè)直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若△BCD的周長(zhǎng)是30，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．76 B．57 C．38 D．19【答案】A【解答】解：設(shè)AC＝AD＝x，則BD＝30﹣5﹣2x＝25﹣2x，∵BD2＝BC2+CD2，∴52+（2x）2＝（25﹣2x）2，∴x＝6，∴BD＝25﹣2x＝13，AD＝6，∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是：（13+6）×4＝76．故選：A．5．（2022秋?新鄭市校級(jí)月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EPGH正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．675【答案】C【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，由題意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，∵S1+S2+S3＝2022，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022，∴3（a2+b2）＝2022，∴3S2＝2022，∴S2的值是674．故選：C．6．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：選項(xiàng)A中：（a+b）（a+b）×＝ab×2+c2，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B中：（a+b）2＝ab×4+c2，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中：c＝ab×4+（b﹣a）2，化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．7．（2022?館陶縣一模）根據(jù)圖形（圖1，圖2）的面積關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖1能說(shuō)明勾股定理，圖2能說(shuō)明完全平方公式 B．圖1能說(shuō)明平方差公式，圖2能說(shuō)明勾股定理 C．圖1能說(shuō)明完全平方公式，圖2能說(shuō)明平方差公式 D．圖1能說(shuō)明完全平方公式，圖2能說(shuō)明勾股定理【答案】B【解答】解：由圖1可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即圖1可以說(shuō)明平方差公式；由圖2可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化簡(jiǎn)，得：a2+b2＝c2，即圖2可以說(shuō)明勾股定理；故選：B．8．（2022春?延津縣期中）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，則EF2的值是（）A．128 B．64 C．32 D．144【答案】A【解答】解：∵AE＝5，BE＝13，∴AB＝＝＝，∴小正方形的面積為：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，由圖可得，EF2的值等于小正方形的面積的2倍，∴EF2的值是64×2＝128，故選：A．【能力提升】9．（2022?無(wú)錫模擬）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是15，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是39，則大正方形的邊長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】B【解答】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意得：，解得：c2＝27，解得：c＝3或﹣3（舍去），故大正方形的邊長(zhǎng)為3，故選：B．10．（2022秋?代縣期末）綜合與實(shí)踐美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；（2）如圖2，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積；（3）如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．【解答】解：（1）由圖1可得，大正方形的面積為c2，大正方形的面積＝4×ab+（a﹣b）2，∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，化簡(jiǎn)可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，設(shè)AC＝x，則AB＝6﹣x，依題意得：（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，∴該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為：×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．答：該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24；（3）設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的面積均為a，則S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，兩式相加，可得2S2＝S1+S3，又∵S1+2S2+S3＝42，∴4S2＝42，∴S2＝10.5．11．（2022秋?吳江區(qū)月考）【方法探究】我們知道，通過(guò)不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．如圖1，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（a＜b），斜邊長(zhǎng)為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為（a+b）2、c2+2ab，由此可發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為a2+b2＝c2．【方法遷移】將圖1中的四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)趫D2中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，并加以說(shuō)明．【解答】解：（1）大正方形的面積＝（a+b）2；或大正方形的面積＝c2+2ab；∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，故答案為：（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）結(jié)論仍然成立．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H．這個(gè)幾何圖形的面積＝正方形BCHF的面積+正方形ETHD的面積+2個(gè)直角三角形的面積＝正方形ABJE的面積+2個(gè)正方形的面積，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2．12．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【解答】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．13．（2022春?玉山縣月考）“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗(yàn)明勾股定理，為中國(guó)古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范．（1）如圖1所示，是小華制作的一個(gè)“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊BC的長(zhǎng)為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的，求直角三角形的長(zhǎng)直角邊AC的長(zhǎng)；（2）小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，設(shè)大正方形面積為5x2，∴AB＝x，∵小正方形的面積占總面積的，∴小正方形面積為x2，∴CD＝x，∵四個(gè)直角三角形全等，∴AD＝BC＝1，∴AC＝AD+CD＝x+1，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（x+1）2+12＝（x）2，解得：x＝﹣（舍）或x＝1，∴AC＝x+1＝1+1＝2；（2）如圖，∵四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，∴AE＝AC＝2，∴CE＝AC+AE＝4，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)為：4×（AE+BE）＝8+4．14．（2022秋?榕城區(qū)期中）知識(shí)探究：如圖1是兩直角邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四個(gè)與圖1完全一樣的直角三角形可以拼成如圖2和圖3的幾何圖形．其中圖2和圖3的四邊形ABCD、四邊形EFGH都是正方形．請(qǐng)你根據(jù)幾何圖形部分與整體的關(guān)系完成第（1）（2）題．請(qǐng)選擇（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有關(guān)代數(shù)式表示：圖2中正方形ABCD的面積：（m﹣n）2+2mn．圖3中正方形ABCD的面積：（m+n）2﹣2mn．（2）請(qǐng)你根據(jù)題（1），寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．．知識(shí)應(yīng)用：（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．【解答】解：（1）圖2中，正方形ABCD面積為AB2，由圖1得AB2＝m2+n2，∴由圖中正方形EFGH面積加上四個(gè)直角三角形面積等于正方形ABCD的面積可得：m2+n2＝（m﹣n）2+2mn；圖3中正方形ABCD的面積為AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．故答案為：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn．（2）∵圖2中正方形EFGH的面積為（m﹣n）2，而S△ABG＝S△DAF＝S△CDE＝S△BCH＝．∴圖2中正方形ABCD的面積＝（m﹣n）2+4×＝（m﹣n）2+2mn．又∵圖3中正方形ABCD的面積＝（m+n）2﹣2mn，圖2與圖3中正方形ABCD的邊長(zhǎng)都是圖1中直角三角形的斜邊，∴圖1中正方形ABCD的面積＝圖2中正方形ABCD的面積．故（m﹣n）2+2mn＝（m+n）2﹣2mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．故答案為：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（3）由（1）可得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；，∴，又a＞0，∴．15．（2022春?濰坊期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已