專題10全等三角形(題型歸納)(原卷版+解析)2

專題10全等三角形題型分析題型分析題型演練題型演練題型一全等三角形的概念題型一全等三角形的概念1．（2022·廣西·一模）下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等形C．若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等形 D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等2．下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形是全等三角形B．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等C．所有等腰三角形都是全等三角形D．所有等邊三角形都是全等三角形3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖是小明用七巧板拼成的一個(gè)機(jī)器人，其中全等三角形有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)4．下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．5．下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①和②題型二全等三角形的性質(zhì)題型二全等三角形的性質(zhì)6．（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，點(diǎn)，在線段上，與全等，點(diǎn)A與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．（2022·云南·一模）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED8．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則EF的值為（）A．3 B．4 C．1或3 D．3或59．如圖，點(diǎn)B、E、A、D在同一條直線上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．710．如圖所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，點(diǎn)B、E、C在同一直線上，則結(jié)論：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（）A．僅① B．僅①③ C．僅①③④ D．僅①②③④題型三利用SSS證明三角形全等題型三利用SSS證明三角形全等11．如圖，已知∠AOB，用直尺和圓規(guī)按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；②畫射線O′A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A'于點(diǎn)C'；③以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)D'；④過點(diǎn)D′畫射線O′B'；根據(jù)以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL12．如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是（

）．A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．（2022·廣東·黃埔學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC與△EFB全等，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是（）A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）14．工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（

）A． B． C． D．15．如圖是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，那么能得出的依據(jù)是運(yùn)用全等三角形判定（

）A．邊邊邊 B．邊角邊 C．角邊角 D．角角邊題型四利用SAS證明三角形全等題型四利用SAS證明三角形全等16．為了測(cè)量工件的內(nèi)徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的工具，點(diǎn)O為卡鉗兩柄的交點(diǎn)，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之間的距離，就可知工件的內(nèi)徑AB．其數(shù)學(xué)原理是利用△AOB≌△COD，判斷的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS17．如圖，與相交于點(diǎn)O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．18．如圖，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，則下列添加的條件中正確的是（）A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E19．“又是一年三月三”．在校內(nèi)勞動(dòng)課上，小明所在小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的風(fēng)箏框架．已知的周長(zhǎng)為，．制作該風(fēng)箏框架需用材料的總長(zhǎng)度至少為（

）A． B． C． D．20．如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）．在圖中，要測(cè)量工件內(nèi)槽寬AB，只要測(cè)量A′B′就可以，這是利用什么數(shù)學(xué)原理呢？（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS題型五利用ASA證明三角形全等題型五利用ASA證明三角形全等21．如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（

）A．① B．② C．③ D．①和②22．一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、2或2、4去就可以了23．如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（

）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③24．如圖，已知，添加下列條件中的一個(gè)，不能判斷的是（

）A． B． C． D．25．如圖，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，若，，則的長(zhǎng)是(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2題型六利用HL證明三角形全等題型六利用HL證明三角形全等26．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．小旭說：我用兩塊含30°的直角三角板就可以畫角平分線．如圖，取OM＝ON，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點(diǎn)P，則射線OP是∠AOB的平分線，小旭這樣畫的理論依據(jù)是（

）A．SSA B．HL C．ASA D．SSS27．（2022·貴州遵義·三模）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④28．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板的示意圖，橫板的中點(diǎn)過支撐點(diǎn)，且繞點(diǎn)只能上下轉(zhuǎn)動(dòng)．如果，，則小孩玩耍時(shí)，蹺蹺板可以轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為（）A．15° B．20° C．30° D．40°29．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到正方形，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．30．（2022·浙江溫州·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)D落在GF上，連結(jié)AE，EG．若DG＝2，BC＝6，則△AEG的面積為（）A．4 B．6 C．5 D．8題型七尺規(guī)作圖題型七尺規(guī)作圖31．（2022·廣西貴港·三模）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△ABC，請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．32．（2022·廣東惠州·二模）如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，且BE=CF，CM∥DF，（1）作圖：在BC上方作射線BN，使∠CBN=∠1，交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求證：AC=DF．33．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在中，．求作：射線，使得．下面是小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與中作的弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；④作射線所以射線就是所求作的射線．根據(jù)小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，請(qǐng)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形保留作圖痕跡，并完成證明．34．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第35-36頁(yè)告訴我們作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，線段，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．請(qǐng)你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在和中，∴≌______．（2）這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號(hào)）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS35．圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中畫出以為斜邊的等腰直角，使點(diǎn)在格點(diǎn)上；（2）在圖②中畫出以為斜邊的直角，使點(diǎn)在格點(diǎn)上且與不全等，再在上找到一點(diǎn)，使得最短．（要求：只用無刻度的直尺，保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

題型八倍長(zhǎng)中線模型題型八倍長(zhǎng)中線模型36．如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．37．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，已知AC＝4，BC＝6（1）尺規(guī)作圖：作AB邊上的中點(diǎn)D和△BCD關(guān)于點(diǎn)D的中心對(duì)稱圖形；（2）根據(jù)圖形說明線段CD長(zhǎng)的取值范圍．38．如圖，在中，，是邊上的中線，延長(zhǎng)至，使，求證：.39．（2022·山東煙臺(tái)·一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．40．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使，連接BE，證明：．【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．題型九旋轉(zhuǎn)模型題型九旋轉(zhuǎn)模型41．（2022·廣東汕尾·九年級(jí)期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．42．已知等邊△ABC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.圖1

圖2（1）若點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且CE＝BD，連接BE，BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)P，在圖（1）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出∠APE的大小；（2）將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，連接BF交AC于點(diǎn)Q，在圖（2）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明.43．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．44．（2022·福建泉州·九年級(jí)期中）如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，且、相交于點(diǎn).（1）求證：（2）求證：45．（2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，∠EAD＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，連接EF．（1）求證：EF＝ED；（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的長(zhǎng)．題型十垂線模型題型十垂線模型46．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是∠ACB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請(qǐng)直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．47．在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D點(diǎn)，于E點(diǎn)．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．48．（2022·安徽·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）49．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．50．（2022·對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）九年級(jí)期中）在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，連接DE．(1)如圖1，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形，猜想∠BAE與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②用等式表示線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明;(2)如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形并直接寫出線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系．題型十一角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用題型十一角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用51．（2022·寧夏·銀川北塔中學(xué)一模）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交，于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2.5 B．2 C．1.5 D．152．（2022·福建省福州第四十中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE＝BD；分別以D，E為圓心、以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若△BCG的面積為4，BC＝4，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．無法確定 B．4 C．3 D．253．（2022·山東泰安·一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．654．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)三模）以下不是命題的是（）A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．定理一定是真命題C．畫線段cm D．全等三角形對(duì)應(yīng)角相等55．（2022·河北邯鄲·三模）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則下列各點(diǎn)中到兩邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)Q B．點(diǎn)N C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M題型十二角平分線的判定定理題型十二角平分線的判定定理56．（2022·上海徐匯·二模）如圖，兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°57．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④58．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，∠GBC，∠BAC的平分線相交于點(diǎn)F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．55° D．60°59．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．7.5 B．8 C．15 D．無法確定專題10全等三角形題型分析題型分析題型演練題型演練題型一全等三角形的概念題型一全等三角形的概念1．（2022·廣西·一模）下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等形C．若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等形 D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等【答案】D【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】全等的兩個(gè)圖形的面積、周長(zhǎng)均相等，但是周長(zhǎng)、面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等，則A、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；邊長(zhǎng)相等的所有等邊三角形是全等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．2．下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形是全等三角形B．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等C．所有等腰三角形都是全等三角形D．所有等邊三角形都是全等三角形【答案】B【分析】依據(jù)全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形．即可求解．【詳解】A、全等三角形的形狀相同，但形狀相同的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形，則全等三角形的周長(zhǎng)和面積一定相等，故B正確；C、兩個(gè)等腰三角形，形狀相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故錯(cuò)誤；D、兩個(gè)等邊三角形，形狀相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故錯(cuò)誤．故選：B．3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖是小明用七巧板拼成的一個(gè)機(jī)器人，其中全等三角形有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】B【詳解】分析：.首先觀察圖形，嘗試找出圖中所有的三角形，根據(jù)全等三角形的定義得出答案.詳解：如圖：對(duì)圖中的三角形進(jìn)行標(biāo)注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2對(duì)全等三角形.4．下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等圖形的概念進(jìn)而得出答案．【詳解】解：圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，如圖所示：故選B．5．下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①和②【答案】D【分析】根據(jù)全等圖形的定義逐一判斷即可．【詳解】①和②，是全等圖形，將①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°即可和②完全重合，其它兩個(gè)圖形不符合故選D．題型二全等三角形的性質(zhì)題型二全等三角形的性質(zhì)6．（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，點(diǎn)，在線段上，與全等，點(diǎn)A與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形全等的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得出答案．【詳解】∵與全等，點(diǎn)A與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，∴．故選A．7．（2022·云南·一模）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B．8．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則EF的值為（）A．3 B．4 C．1或3 D．3或5【答案】D【分析】根據(jù)全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根據(jù)△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)求出EF的長(zhǎng)為奇數(shù)，再根據(jù)EF長(zhǎng)為奇數(shù)和三角形的三邊關(guān)系可求得EF的值．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∴4-2＜EF＜4+2，即2＜EF＜6，∵△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，∴EF的長(zhǎng)為奇數(shù)，∴EF=3或5．故選：D．9．如圖，點(diǎn)B、E、A、D在同一條直線上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB＝ED，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得EB＝AD，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故選：B．10．如圖所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，點(diǎn)B、E、C在同一直線上，則結(jié)論：①AE=ED；②AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥DC中成立的是（）A．僅① B．僅①③ C．僅①③④ D．僅①②③④【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AE=ED，①成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠D，又∠DEC+∠D=90°，∴∠DEC+∠ABE=90°，即∠AED=90°，∴AE⊥DE，②成立；∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴AB=EC，BE=CD，又BC=BE+EC，∴BC=AB+CD，③成立；∵∠B+∠C=180°，∴AB∥DC，④成立，故選D．題型三利用SSS證明三角形全等題型三利用SSS證明三角形全等11．如圖，已知∠AOB，用直尺和圓規(guī)按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；②畫射線O′A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A'于點(diǎn)C'；③以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)D'；④過點(diǎn)D′畫射線O′B'；根據(jù)以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】A【分析】根據(jù)題意可知OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，進(jìn)而問題可求解【詳解】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．故選：A．12．如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是（

）．A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程，可知，進(jìn)而即可得判定圖中兩三角形全等的條件．【詳解】如圖，由作圖可知在與中（SSS）故選D13．（2022·廣東·黃埔學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC與△EFB全等，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是（）A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）【答案】D【分析】畫出平面直角坐標(biāo)系，利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【詳解】解：如圖所示：△ABC與△EFB全等，點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是：(4，﹣3)．故選：D．14．工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．【詳解】解：由題意可知在中∴(SSS)∴∴就是的平分線故選：D15．如圖是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，那么能得出的依據(jù)是運(yùn)用全等三角形判定（

）A．邊邊邊 B．邊角邊 C．角邊角 D．角角邊【答案】A【分析】由作圖可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根據(jù)SSS可證△ODC≌△O′D′C′，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.【詳解】由作圖可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，故選A.題型四利用SAS證明三角形全等題型四利用SAS證明三角形全等16．為了測(cè)量工件的內(nèi)徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的工具，點(diǎn)O為卡鉗兩柄的交點(diǎn)，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之間的距離，就可知工件的內(nèi)徑AB．其數(shù)學(xué)原理是利用△AOB≌△COD，判斷的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】利用“邊角邊”證明△ABO和△CDO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答．【詳解】解：在△ABO和△CDO中△ABO≌△CDO（SAS）故選B17．如圖，與相交于點(diǎn)O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABO和△DCO中，，∴，故B正確．故選：B．18．如圖，已知AB=AD，AC=AE，若要判定△ABC≌△ADE，則下列添加的條件中正確的是（）A．∠1=∠DAC B．∠B=∠D C．∠1=∠2 D．∠C=∠E【答案】C【分析】根據(jù)題目中給出的條件，，根據(jù)全等三角形的判定定理判定即可．【詳解】解：，，則可通過，得到，利用SAS證明△ABC≌△ADE，故選：C．19．“又是一年三月三”．在校內(nèi)勞動(dòng)課上，小明所在小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的風(fēng)箏框架．已知的周長(zhǎng)為，．制作該風(fēng)箏框架需用材料的總長(zhǎng)度至少為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)BF=EC以及邊與邊的關(guān)系即可得出BC=EF，再結(jié)合∠B=∠E、AB=DE即可證出△ABC≌△DEF（SAS），進(jìn)而得出C△DEF=C△ABC=24cm，結(jié)合圖形以及CF=3cm即可得出制成整個(gè)風(fēng)箏框架所需這種材料的總長(zhǎng)度．【詳解】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴C△DEF=C△ABC=24cm．∵CF=3cm，∴制成整個(gè)風(fēng)箏框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．故選：B．20．如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）．在圖中，要測(cè)量工件內(nèi)槽寬AB，只要測(cè)量A′B′就可以，這是利用什么數(shù)學(xué)原理呢？（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根據(jù)題意，連接AB，A′B′，證明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可求得答案．【詳解】解：連接AB，A′B′，如圖，∵點(diǎn)O分別是AA′、BB′的中點(diǎn)，∴OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．故選：B．題型五利用ASA證明三角形全等題型五利用ASA證明三角形全等21．如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（

）A．① B．② C．③ D．①和②【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶去．【詳解】解：由圖形可知，有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶去．故選：．22．一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個(gè)答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】帶1、3去，只有兩角，沒有完整邊不能確定三角形，帶1、2或2、3去，只有一角，沒有完整邊，不能確定三角形，帶2、4去，有一角，可以延長(zhǎng)邊還原出原三角形，帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，帶1、4可以用“角邊角”確定三角形．即可得出答案【詳解】解：帶1、3去，只有兩角，沒有完整邊不能確定三角形，帶1、2或2、3去，只有一角，不能確定三角形，帶2、4去，有一角，可以延長(zhǎng)邊還原出原三角形，帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，所以A、B、D不符合題意，C符合題，故選：C．23．如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（

）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法“角邊角”可以判定應(yīng)當(dāng)帶③去．【詳解】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶③去．故選：C．24．如圖，已知，添加下列條件中的一個(gè)，不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理一一判斷即可.【詳解】由，還有一條公共邊AB,故A.，可利用AAS判定；

B.，可利用SAS判定；

C.，可利用ASA判定；

D.，不能判定；故選D.25．如圖，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，若，，則的長(zhǎng)是(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)，，即可求線段的長(zhǎng)．【詳解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故選B．題型六利用HL證明三角形全等題型六利用HL證明三角形全等26．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．小旭說：我用兩塊含30°的直角三角板就可以畫角平分線．如圖，取OM＝ON，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點(diǎn)P，則射線OP是∠AOB的平分線，小旭這樣畫的理論依據(jù)是（

）A．SSA B．HL C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，，根據(jù)全等三角形的判定方法，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，根據(jù)全等三角形的判定方法可得故選B27．（2022·貴州遵義·三模）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證，可得，AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即③正確，根據(jù)③可判斷④正確；【詳解】∵BD為∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，∴△(SAS)，故①正確；∵BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正確；∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE是等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，故③正確；作EG⊥BC，垂足為G，如圖所示：∵E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，在△BEG和△BEF中∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，在△CEG和△AFE中∴△CEG≌△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正確；故選：D．28．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板的示意圖，橫板的中點(diǎn)過支撐點(diǎn)，且繞點(diǎn)只能上下轉(zhuǎn)動(dòng)．如果，，則小孩玩耍時(shí)，蹺蹺板可以轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為（）A．15° B．20° C．30° D．40°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可得△OCA≌△OCB′，進(jìn)而可得∠OB′C＝∠OAC，再由三角形的外角性質(zhì)即可求解.【詳解】過點(diǎn)O作線段A′B′，如圖，∠AOA′即為蹺蹺板可以轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度在Rt△OCA和Rt△OCB′中∵OA＝OB′，OC＝OC∴△OCA≌△OCB′（HL）∴∠OB′C＝∠OAC＝15°∵∠AOA′＝∠OB′C＋∠OAC＝15＋15°＝30°∴蹺蹺板可以轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度為30°故選：C29．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到正方形，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)即可證明，可得到，然后可求得的長(zhǎng)，從而可求得的面積，最后利用正方形的面積減去和的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】設(shè)相交于點(diǎn)，連接，由已知得：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∴在和中，，，，，，又，，，又，，故選D．30．（2022·浙江溫州·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)D落在GF上，連結(jié)AE，EG．若DG＝2，BC＝6，則△AEG的面積為（）A．4 B．6 C．5 D．8【答案】D【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明四邊形是矩形，在證明，繼而解得，證明三點(diǎn)同在一條直線上，再證明，中，由勾股定理解得EK的長(zhǎng)，證明得到，最后由三角形面積公式解答．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)在正方形中，，正方形中，，四邊形是矩形在和中，三點(diǎn)同在一條直線上，四邊形是矩形與中四邊形是正方形設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為則，（舍去）與中故選：D．題型七尺規(guī)作圖題型七尺規(guī)作圖31．（2022·廣西貴港·三模）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△ABC，請(qǐng)根據(jù)“SAS”基本事實(shí)，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．【答案】見解析【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．【詳解】解：△DEF即為所求．32．（2022·廣東惠州·二模）如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，且BE=CF，CM∥DF，（1）作圖：在BC上方作射線BN，使∠CBN=∠1，交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求證：AC=DF．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【詳解】試題分析：（1）①以E為圓心，以EM為半徑畫弧，交EF于H，②以B為圓心，以EM為半徑畫弧，交EF于P，③以P為圓心，以HM為半徑畫弧，交前弧于G，④作射線BG，則∠CBN就是所求作的角．（2）證明△ABC≌△DEF可得結(jié)論．試題解析：（1）如圖，（2）∵CM∥DF，∴∠MCE=∠F，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF，∴AC=DF．33．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在中，．求作：射線，使得．下面是小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與中作的弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；④作射線所以射線就是所求作的射線．根據(jù)小甲同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，請(qǐng)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形保留作圖痕跡，并完成證明．【答案】見詳解【分析】根據(jù)要求作出圖形，再利證明三角形全等，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，射線即為所求．連接，，在和中，，∴∴，∴．34．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第35-36頁(yè)告訴我們作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得≌．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，線段，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．請(qǐng)你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在和中，∴≌______．（2）這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號(hào)）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS【答案】（1）；（2）④．【分析】（1）先根據(jù)作圖可知，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得；（2）根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形即可得．【詳解】（1）證明：由作圖可知，在和中，，∴．故答案為：．（2）這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是，故答案為：④．35．圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中畫出以為斜邊的等腰直角，使點(diǎn)在格點(diǎn)上；（2）在圖②中畫出以為斜邊的直角，使點(diǎn)在格點(diǎn)上且與不全等，再在上找到一點(diǎn)，使得最短．（要求：只用無刻度的直尺，保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義畫出圖形即可．（2）根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形即可．【詳解】（1）△ABC即為所求．（2）Rt△DEF如圖所示，取格點(diǎn)K，連接FK交DE于P，此時(shí)PF最短．題型八倍長(zhǎng)中線模型題型八倍長(zhǎng)中線模型36．如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，證明，得到，然后根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，，，，．37．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，已知AC＝4，BC＝6（1）尺規(guī)作圖：作AB邊上的中點(diǎn)D和△BCD關(guān)于點(diǎn)D的中心對(duì)稱圖形；（2）根據(jù)圖形說明線段CD長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）1＜CD＜5．【分析】（1）由題知CD為中線，只要使DE=CD，然后連接AE即可；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，先求出CE的取值范圍，即可求出CD的取值范圍.【詳解】解：（1）中點(diǎn)D如圖所示，△ADE即為所求．（2）由題意AE＝BC＝6，∴6﹣4＜EC＜4+6，∴2＜EC＜10，∵EC＝2CD，∴1＜CD＜5．38．如圖，在中，，是邊上的中線，延長(zhǎng)至，使，求證：.【答案】詳見解析【分析】首先延長(zhǎng)AD至M，使DM=AD，先證明△ABD≌△MCD，進(jìn)而得出MC=AB，∠B=∠MCD，即可得出∠ACM=∠ACE，再證明△ACM≌△ACE，即可得出答案．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至M，使DM=AD，連結(jié)CM，又，，，，，，，，，，，.又，.，即.39．（2022·山東煙臺(tái)·一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長(zhǎng)AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．40．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使，連接BE，證明：．【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)FD至G，使得，連接BG，EG，結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）證明：，，，，（2）；如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，在與中，，，，在中，，即，的取值范圍是；故答案為：；（3）延長(zhǎng)FD至G，使得，連接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，兩邊之和大于第三邊，，又，，題型九旋轉(zhuǎn)模型題型九旋轉(zhuǎn)模型41．（2022·廣東汕尾·九年級(jí)期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）不成立，理由詳見解析【分析】（1）由題意首先證明∠DAC=∠BCE，進(jìn)而利用AAS定理證明，進(jìn)而進(jìn)行線段等量代換即可求證；（2）根據(jù)題意首先利用角的等量代換證明和，進(jìn)而利用AAS定理證明，進(jìn)而進(jìn)行線段等量代換即可求證．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴．∵，∴，，∴．在和中，∴，∴，．∵，∴．（2）不成立．理由如下：∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴．42．已知等邊△ABC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.圖1

圖2（1）若點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且CE＝BD，連接BE，BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)P，在圖（1）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出∠APE的大小；（2）將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，連接BF交AC于點(diǎn)Q，在圖（2）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析.∠APE=60°；（2）補(bǔ)全圖形見解析.，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，按照要求補(bǔ)全圖形即可；（2）先補(bǔ)全圖形，然后首先證明△ABD≌△BEC得出∠BAD=∠CBE，之后通過一系列證明得出△AQF≌△EQB，最后進(jìn)一步從而得出即可.【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如下，其中∠APE=60°，（2）補(bǔ)全圖形.

證明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD=∠CBE.∵∠APE是△ABP的一個(gè)外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.∵AF是由AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到，∴AF=AD，∠DAF=120°.∵∠APE=60°，∴∠APE+∠DAP=180°.∴AF∥BE∴∠1=∠2∵△ABD≌△BEC，∴AD=BE.∴AF=BE.在△AQF和△EQB中，∴△AQF≌△EQB（AAS）∴AQ=QE∴∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，且AE=BC，CD=BD.∴AE=CD..∴43．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析；（2）BE+DF=EF，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可．（2）延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF，根據(jù)題意證明△ABH≌△ADF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．44．（2022·福建泉州·九年級(jí)期中）如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，且、相交于點(diǎn).（1）求證：（2）求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得∠C=∠BAD；（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC=EF．【詳解】（1）如圖∵，∴是等腰三角形又∵為的中點(diǎn)，∴（等腰三角形三線合一）在和中，∵為公共角，，∴.另解：∵為的中點(diǎn)，∵，又，，∴，∴，又，∴∴，在和中，∵為公共角，，∴.（2）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴.45．（2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，∠EAD＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，連接EF．（1）求證：EF＝ED；（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）EF＝.【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可證△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝題型十垂線模型題型十垂線模型46．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是∠ACB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請(qǐng)直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）見解析；（2）AD＝BE+DE【分析】（1）由“AAS”可證△BCE≌△CAD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解．【詳解】證明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）∵△BCE≌△CAD，∴BE＝DC，AD＝CE，∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，故答案為：AD＝BE+DE．47．在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D點(diǎn)，于E點(diǎn)．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析，（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．【分析】（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB即可得到答案；（2）與（1）證法類似可證出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到線段的關(guān)系．【詳解】解：（1）①證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．如圖②∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．DE＝AD﹣BE，如圖③∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．48．（2022·安徽·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AG=AC-CG+=2.5，∴，故答案為：或．49．（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AF-BF=2CE【分析】（1）過B作BH⊥CE于點(diǎn)H，可證△ACE≌△CBH，通過線段的等量代換可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，△ACE≌△CBG，通過線段的等量代換可得答案．【詳解】（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AF-BF=2CE證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．50．（2022·對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）九年級(jí)期中）在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E，連接DE．(1)如圖1，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形，猜想∠BAE與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②用等式表示線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明;(2)如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形并直接寫出線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①補(bǔ)全圖形，如圖1所示.見解析；猜想：∠BAE=∠BCD.理由見解析；②見解析；（2）補(bǔ)全圖形，如圖3所示.見解析；線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系：CE-DE=AE.【分析】(1)①依題意補(bǔ)全圖形，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；②在AE上截取AF=CE，可證出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可證明△ADF≌△CDE，得出DF=DE,∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.證出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出結(jié)論;(2)在CE上截取CF=AE，連接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF由∠BAC=45°可得AD=CD，可證△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故，即可得線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系.【詳解】（1）①依題意，補(bǔ)全圖形，如圖1所示.猜想：∠BAE=∠BCD.理由如下：∵CD⊥AB,AE⊥BC，∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.②證明：如圖2，在AE上截取AF=CE.連接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE,∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD,∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.∴EF=.∵AF+EF=AE,∴CE+DE=AE.

（2）依題意補(bǔ)全圖形，如圖3所示.在CE上截取CF=AE，連接DF∵CD⊥AD，AE⊥BC∴∠ADC=∠AEC=90°∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD∴∠EAD=∠DCF∵∠BAC=45°∴∠DCA=45°∴AD=CD又∵CF=AE∴△ADE≌△CDF∴ED=DF∠ADE=∠CDF∵∠CDF+∠ADF=90°∴∠ADE+∠ADF=90°∴∠EDF=90°∴△EDF是等腰直角三角形∴∵CE=CF+EF∴∴線段AE，CE，DE的數(shù)量關(guān)系：CE-DE=AE.故答案為：CE-DE=AE題型十一角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用題型十一角平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用51．（2022·寧夏·銀川北塔中學(xué)一模）如圖，，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交，于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】D【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可得出答案．【詳解】解：