北師版九年級數(shù)學(xué) 1.3正方形的性質(zhì)與判定（學(xué)習(xí)、上課課件）

3正方形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的判定中點四邊形知識點正方形的定義知1－講11.正方形的定義定義圖示數(shù)學(xué)表達式有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形∵在ABCD

中，AB=BC(或AB=AD

或BC=CD

或AD=CD)，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，∴ABCD是正方形知1－講2.圖解知1－講3.四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形間的關(guān)系知1－講特別提醒1.正方形在平行四邊形的基礎(chǔ)上還必須具備兩個條件:(1)一組鄰邊相等.(2)一個角是直角.2.正方形不僅是平行四邊形，還是矩形和菱形.3.四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的包含關(guān)系如圖1-3-1所示.知1－練例1如圖1-3-2，△

ABD和△

BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°．求證：四邊形ABCD是正方形.解題秘方：緊扣定義中“有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形”進行判定.知1－練證明：∵△ABD和△

BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，∴∠ADB=∠ABD=45°，∠CBD=∠CDB=45°，AB=AD.∴∠

ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形.又∵∠A=90°，AB=AD，∴四邊形ABCD

是正方形.此處滿足了正方形定義中的三個條件.知1－練1-1.已知在ABCD中，∠A=90°，如果再添加一個條件，可使該平行四邊形是正方形，那么這個條件可以是()A.∠B=90° B.AB=CDC.

AD=BC D.AB=ADD知2－講知識點正方形的性質(zhì)21.正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).正方形的性質(zhì)可以從邊、角、對角線、對稱性這四個方面來研究.總結(jié)如下表：知2－講性質(zhì)圖形數(shù)學(xué)表達式邊對邊平行，鄰邊互相垂直，四條邊都相等∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AD∥BC；AD⊥DC，DC⊥CB，CB⊥BA，BA⊥AD；AD=DC=CB=BA知2－講性質(zhì)圖形數(shù)學(xué)表達式角四個角都相等，都等于90°∵四邊形ABCD

是正方形，∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°對角線兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠

DAB和∠DCB，BD

平分∠ADC

和∠ABC知2－講性質(zhì)圖形數(shù)學(xué)表達式對稱性是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線和過每一組對邊中點的直線直線m，n，AC，BD

是正方形ABCD

的四條對稱軸是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點點O

是正方形ABCD的對稱中心知2－講2.平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)對比類別邊角對角線平行四邊形對邊平行、相等對角相等對角線互相平分菱形對邊平行、四條邊相等對角相等對角線互相垂直平分，每條對角線平分一組對角矩形對邊平行、相等四個角都是直角對角線互相平分且相等正方形對邊平行、四條邊相等四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角知2－講特別提醒正方形的特殊性質(zhì)：1.正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.2.正方形的面積=邊長平方=兩條對角線乘積的一半.3.周長相等的四邊形中，正方形的面積最大.知2－練如圖1-3-3，在正方形ABCD

中，E為CD

上一點，F(xiàn)為BC

延長線上一點，CE=CF.例2解題秘方：從正方形中獲取邊、角相等的信息來解決問題.知2－練(1)求證：△BCE≌△DCF；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.知2－練(2)若∠BEC=60°，求∠

EFD的度數(shù).解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－∠CFE=60°－45°=15°知2－練2-1.如圖，四邊形ABCD

是正方形，△DCE是等邊三角形，AC，BD

交于點O，連接AE交BD

于點F，連接OE

交CD于點G.知2－練(1)求∠AED的度數(shù)；知2－練(2)若OG=1，求△CDE

的周長．解：易知OC＝OD，DE＝CE，∴點O，點E在CD的垂直平分線上．∴OE垂直平分CD.∴G是CD的中點．∵OB＝OD，OG＝1，∴OG是△BCD的中位線．∴BC＝2OG＝2.∵四邊形ABCD為正方形，∴DC＝BC＝2.∵△DCE是等邊三角形，∴△CDE的周長＝3CD＝6.知3－講知識點正方形的判定3(1)從四邊形出發(fā)：①四條邊相等，四個角都是直角的四邊形是正方形；②對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形；(2)從平行四邊形出發(fā)：①有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；②對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；(3)從矩形出發(fā)：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對角線互相垂直的矩形是正方形；(4)從菱形出發(fā)：①有一個角是直角的菱形是正方形；②對角線相等的菱形是正方形.知3－講知3－講

知3－練【新視角一題多解】已知：如圖1-3-4，△ABE

為等腰直角三角形，AB=AE，AC

為高，O

是AE

的中點，延長CO

到點D，使OD=OC，連接AD，DE.求證：四邊形ACED

是正方形.例3解題秘方：“先確定待證四邊形是一種特殊的四邊形，再加上邊或角或?qū)蔷€的關(guān)系”確定它是正方形.知3－練

知3－練

知3－練

知3－練3-1.如圖，在矩形ABCD

中，點E，F(xiàn)

分別是AB，BC

的中點，連接AF，CE.知3－練(1)若AE=2，AF=5，求CE

的長；知3－練(2)若AF=CE，求證：四邊形ABCD

是正方形.知4－講知識點中點四邊形41.中點四邊形的概念：順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形叫做中點四邊形.如圖1-3-5，在四邊形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別是AB，BC，CD，DA

的中點，則四邊形EFGH

就是中點四邊形.2.常見的中點四邊形(1)任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；(2)平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；(3)矩形的中點四邊形是菱形；(4)菱形的中點四邊形是矩形；(5)正方形的中點四邊形是正方形.知4－講知4－講知4－講特別提醒中點四邊形的形狀實質(zhì)取決于原四邊形兩條對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.如兩條對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形的四個角是直角(矩形或正方形)；兩條對角線相等的四邊形的中點四邊形的四條邊相等(菱形或正方形).知4－練【母題教材P23議一議(1)】如圖1-3-6，順次連接菱形ABCD的各邊中點E，F(xiàn)，G，H，若AC=a，BD=b，求四邊形EFGH的面積.例4解題秘方：要求中點四邊形的面積，確定中點四邊形的形狀及邊的長度是關(guān)鍵.知4－練

知4－練

知4－練4-1.如圖，在四邊形ABCD中，

AC=4，BD=6，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1

各邊中點，得到四邊形A2