數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂：+平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。正交分解在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.圖2-3-14如圖2—3-14，光滑斜面上一個(gè)木塊受到重力G的作用，產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是木塊受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力F2。也就是說(shuō)，重力G的效果等價(jià)于F1和F2的合力的效果,即G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力G分解。2。向量的坐標(biāo)表示圖2—3—15如圖2—3-15,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj。這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y)。其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo).a=（x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示.3.向量的直角坐標(biāo)的意義圖2—3-16如圖2-3-16,在直角坐標(biāo)平面中,以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a,則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定。設(shè)=xi+yj,則向量的坐標(biāo)（x，y）就是終點(diǎn)A的坐標(biāo);反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y）也就是向量的坐標(biāo)。因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示.4。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1)若a=(a1,a2），b=(b1,b2),則a+b=（a1+b1，a2+b2)，即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo),等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和。(2)若a=(a1，a2）,b=（b1,b2）,則a—b=（a1-b1，a2—b2)，即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo),等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差。(3）若A(x1,y1),B(x2,y2)，則=（x2—x1，y2-y1）,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).(4)若a=(a1,a2）,λ∈R，則λa=(λa1，λa2),即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積。5。平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的證明設(shè)a=(a1,a2),b=（b1，b2)，則a+b=（a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1）e1+(a2+b2）e2，即a+b=（a1+b1,a2+b2)。用同樣的方法可以證明：a-b=(a1—b1,a2-b2),λa=λ(a1,a2）=(λa1，λa2）。疑難疏引已知A(x1,y1）,B（x2,y2),則AB=—=(x2,y2）-(x1,y1)=(x2—x1,y2—y1）.活學(xué)巧用1。若{e1,e2｝為正交基底,設(shè)a=（x2+x+1）e1—（x2-x+1）e2（其中x∈R)，則向量a位于(）A。第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D(zhuǎn)。第四象限解析：a=(x2+x+1,-x2+x-1),x2+x+1=x2+x++=（x+)2+≥＞0，—x2+x—1=-（x2-x)—1=—(x2—x+)-=—(x—）2—≤—＜0，∴a位于第四象限.答案:D2.在直角坐標(biāo)系xOy中,向量a、b、c的方向和長(zhǎng)度如圖2-3-17所示，分別求它們的坐標(biāo)。圖2—3-17解析：設(shè)a=（a1，a2）,b=(b1,b2)，c=(c1，c2)，則a1=｜a｜·cos45°=2×=，a2=|a|·sin45°=2×=，b1=|b｜·cos120°=3×（-)=-，b2=｜b｜·sin120°=3×=,c1=｜c(diǎn)｜·cos(-30°）=4×=,c2=｜c(diǎn)｜·sin（-30°)=4×（-）=—2,∴a=（)，b=(-,）,c=（,-2).答案：a=(），b=(-,），c=(,-2)。3.設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是（-1，2)、（3，—5)，求a+b、a—b、3a、2a+3解析：a+b=(-1,2)+(3,-5）=(-1+3，2—5）=（2,-3),a—b=（—1，2)-（3,-5）=(—1—3,2+5)=（-4，7),3a2a+3b答案：a+b=（2,—3)，a-b=(—4，7)，3a=(-3，6)，2a+34。已知點(diǎn)A（-1，2），B(2,8）及=,=-,求點(diǎn)C、D和CD的坐標(biāo)。解析：設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為（x1,y1)、（x2,y2）,由題意可得=(x1+1，y1—2），=（3，6)，=(-1—x2,2—y2）,=(-3，—6)。∵=，=—,∴（x1+1，y1—2）=（3,6),(—1-x2，2-y2)=-(—3,-6）,也就是(x1