數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.兩角和的余弦公式比較cos(α-β)與cos(α+β)，并且注意到α+β與α-β之間的關(guān)系：α+β=α—（—β）,則由兩角差的公式得cos（α+β）=cos[α-(-β)］=cosαcos(-β）+sinαsin(-β）=cosαcosβ—sinαsinβ，即cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ。(C（α+β））2。兩角和與差的正弦公式sin(α-β)=cos(—α+β）=cos［(—α）+β]=cos（—α）cosβ—sin(-α)sinβ=sinαcosβ—cosαsinβ，即sin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.（S(α-β）)在上式中,以—β代β可得sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.（S（α+β）)3。正確理解和差角的正弦公式(1）公式對(duì)于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin（α±β）的意義。例如sin(α+β)是兩角α與β的和的正弦，它表示角α+β終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比。在一般情況下,sin(α+β）≠sinα+sinβ，如α=，β=時(shí),sin（+)=sin=1,sin+sin=+=≠1.∴sin(+）≠sin+sin。只有在某些特殊情況下,sin(α+β)=sinα+sinβ，例如，當(dāng)α=0,β=時(shí),sin（0+)=sin=,sin0+sin=0+=，∴sin（0+）=sin0+sin.在學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意：不能把sin（α+β)按分配律展開(kāi).(3)牢記公式并能熟練左、右兩邊互化。例如化簡(jiǎn)sin20°cos50°—sin70°cos40°，要能觀察出此式等于sin（20°—50°)=—sin30°=-。(4）靈活運(yùn)用和(差)角公式.例如化簡(jiǎn)sin（α+β）cosβ-cos(α+β）sinβ,不要將sin（α+β),cos（α+β）展開(kāi),而應(yīng)就整個(gè)式子,直接運(yùn)用公式sin[(α+β）-β］=sinα,這也是公式的逆用。4.兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)當(dāng)cos（α+β)≠0時(shí),將公式S（α+β），C（α+β）的兩邊分別相除,有tan(α+β)=.當(dāng)cosα·cosβ≠0時(shí)，將上式的分子、分母分別除以cosα·cosβ，得tan(α+β）=（T（α+β）).由于tan(-β）==—tanβ。在T(α+β)中以—β代β,可得tan（α—β)=（T（α-β))。5.關(guān)于兩角和與差的正切公式要注意幾個(gè)問(wèn)題(1)公式適用范圍。因?yàn)閥=tanx的定義域?yàn)閤≠+kπ，k∈Z.所以T(α±β）只有在α≠+kπ，β≠+kπ,α±β≠+kπ時(shí)才成立,否則不成立，這是由任意角的正切函數(shù)的定義域所決定的.當(dāng)tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在時(shí),不能使用T（α±β）處理某些有關(guān)問(wèn)題,但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法。例如,化簡(jiǎn)tan(-β),因?yàn)閠an的值不存在，不能利用公式T(α-β）,所以改用誘導(dǎo)公式.(2）注意公式的逆向運(yùn)用=tan［（α+β)—β］=tanα,=tan(45°+α）.(3）變形應(yīng)用tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ)，tanα—tanβ=tan（α—β）（1+tanαtanβ）,如tanα+tanβ+tanαtanβtan（α+β）=tan（α+β),tan（α+β)—tanα-tanβ=tanαtanβtan（α+β）.活學(xué)巧用1.在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則此三角形的外心位于它的（)A。內(nèi)部B。外部C。一邊上D.不確定解析：cosAcosB—sinAsinB＞0,即cos（A+B)＞0，∴-cosC＞0.∴cosC＜0.∴C為鈍角.∴△ABC為鈍角三角形?！嗳切蔚耐庑奈挥谒耐獠俊４鸢?B2。化簡(jiǎn)下列各式：(1)cos（80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α）；(2）sin（x+)+2sin（x-）—cos（-x);（3)。解析：(1)原式=cos(80°+3α）cos(35°+3α）+sin（80°+3α)sin(35°+3α）=cos［(80°+3α）-（35°+3α）］=cos45°=。（2）原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx—sinsinx=sinx—cosx+cosx-sinx=0.（3）原式===tan(α—β).答案:(1）；（2)0;（3）tan(α—β）.3。已知cos（α+β）=-，cos2α=-,α、β均為鈍角,求sin(α—β)。解析：∵α、β∈(90°,180°)，∴α+β，2α∈(180°,360°）?！遚os（α+β）=—＜0，cos2α=—＜0?！唳?β,2α∈（180°，270°).∴sin（α+β)=,sin2α=?！鄐in(α-β)=sin[2α-（α+β）]=sin2αcos(α+β）-cos2α·sin(α+β）=（-)×（-)-(—)(）=.答案：.4。求下列各式的值.（1）（2）（3).解：（1)原式=tan(75°—15°）=tan60°=。（2)原式===tan(55°-25°）=tan30°=。（3==tan（60°-15°)=tan45°=1。答案:(1）3；(2）;(3)1。5。化簡(jiǎn)求值:（3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°）·tan10°。解：原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°）·tan10°，因?yàn)閠an10°=tan（40°—30°)=所以1+tan40°tan30°=.同理，1+tan40°tan50°=，1+tan50°tan60°=.所以原式=(++）·tan10°=tan40°—tan30°+tan50°-tan40°+tan60°—tan50