第3節(jié)　電勢差與電場強度的關(guān)系 教學(xué)設(shè)計

第3節(jié)電勢差與電場強度的關(guān)系[學(xué)習(xí)目標]1．掌握公式U＝Ed的推導(dǎo)過程，理解公式的含義，知道公式的適用條件。2．理解電場強度的另一種表述。3．能夠應(yīng)用U＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)解決有關(guān)問題。知識點1電勢差與電場強度的關(guān)系1．關(guān)系式：UAB＝Ed。2．物理意義：勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積。3．適用條件(1)勻強電場。(2)d為兩點沿電場方向的距離。[判一判]1．(1)公式U＝Ed適用于所有電場。()(2)由U＝Ed可知，勻強電場中兩點間的電勢差與這兩點的距離成正比。()(3)在勻強電場中，任意兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點間距離的乘積。()提示：(1)×(2)×(3)×知識點2公式E＝eq\f(UAB,d)的意義1．意義：在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點間的電勢差與這兩點沿電場強度方向距離之比。2．電場強度的另一種表述：電場強度在數(shù)值上等于沿電場方向每單位距離上降低的電勢。3．電場強度的另一個單位：由E＝eq\f(UAB,d)可導(dǎo)出電場強度的另一個單位，即伏[特]每米，符號為V/m。1V/m＝1N/C。[判一判]2．(1)勻強電場的電場強度值等于沿電場線方向每單位長度上的電勢差值。()(2)電場強度的單位可用V/m表示。()提示：(1)√(2)√1．(對公式E＝eq\f(UAB,d)的理解)下列說法正確的是()A．由公式E＝eq\f(UAB,d)得，電場強度E與電勢差UAB成正比，與兩點間距離d成反比B．由公式E＝eq\f(UAB,d)得，在勻強電場中沿電場線方向上兩點間距離越大，電場強度就越小C．在勻強電場中，任意兩點間電勢差等于電場強度和這兩點間距離的乘積D．公式E＝eq\f(UAB,d)只適用勻強電場解析：選D。公式E＝eq\f(U,d)只適用于勻強電場，E與電勢差和兩點間的距離無關(guān)，故A錯誤，D正確；在勻強電場中，電場強度處處相等，故B錯誤；在勻強電場中，兩點間電勢差等于電場強度與兩點間沿電場方向距離的乘積，故C錯誤。2．(公式E＝eq\f(UAB,d)的應(yīng)用)(多選)如圖所示，在勻強電場中有A、B、C三點，三點構(gòu)成直角三角形，∠A＝37°，AB邊長為5m，D為AB中點，電場線與ABC所在平面平行，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和6V，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則()A．CD兩點間電勢差UCD＝4VB．D點電勢φD＝10VC．該電場的電場強度E＝2V/mD．該電場的方向沿BC方向解析：選BC。在勻強電場中，平行等距離的兩點電勢差相等，則φA－φD＝φD－φB解得φD＝10V所以UCD＝φC－φD＝－4V故A錯誤，B正確；三角形中B、C的電勢分別為6V和6V，則B和C為等勢點，BC為等勢線，電場線方向沿AC方向，則電場強度為E＝eq\f(UAC,ABcos37°)＝eq\f(8,5×0.8)V/m＝2V/m，故C正確，D錯誤。3.(非勻強電場中UAB＝Ed的定性分析)如圖所示的同心圓是電場中的一簇等差等勢線，一個電子只在電場力作用下沿著直線由A→C運動時的速度越來越小，B為線段AC的中點，則下列說法正確的是()A．電子沿AC方向運動時受到的電場力越來越小B．電子沿AC方向運動時它具有的電勢能越來越大C．電勢差UAB＝UBCD．電勢φA<φB<φC解析：選B。由等勢線分布和電子速度變化可知該電場為負點電荷的電場，電子沿AC方向運動時受到的電場力越來越大，A錯誤；根據(jù)電子只在電場力作用下沿著直線由A→C運動時的速度越來越小，可知電子具有的電勢能越來越大，B正確；根據(jù)U＝Ed，由于電場為非勻強電場，平均電場強度EAB<EBC，故電勢差UAB<UBC，C錯誤；電勢φA>φB>φC，D錯誤。4．(等分法確定勻強電場的電場強度)a、b、c是勻強電場中的三個點，各點電勢分別為φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三點所在平面與電場方向平行，下列各圖中電場強度的方向表示正確的是()解析：選D。由于是勻強電場，因此a、b連線的中點與c點電勢相等，電場強度的方向垂直于等勢面且由高電勢處指向低電勢處，D正確。探究一勻強電場中E＝eq\f(UAB,d)的應(yīng)用【問題導(dǎo)引】如圖所示的一個勻強電場，電場強度大小為E，A、B是沿電場方向上的兩點，其電勢差為UAB，A、B之間相距為d?，F(xiàn)將一個電荷量為q的電荷由A移到B。(1)從力和位移的角度計算靜電力所做的功；通過A、B間的電勢差計算靜電力做的功。(2)比較兩次計算的功的大小，說明電勢差與電場強度有何關(guān)系。(3)B、C在同一等勢面上，UAC與電場強度有何關(guān)系？[要點提示](1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)UAB＝Ed(3)UAC＝Ed【例1】如圖所示，在電場強度E＝1×102V/m的勻強電場中，將一電荷量為2×10－2C正點電荷由A點移到B點。已知A、B兩點間距離L＝2m，兩點連線與電場方向成60°角，求：(1)A、B兩點間的電勢差UAB；(2)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功WAB。[解析](1)根據(jù)勻強電場的電勢差與電場強度的關(guān)系，由題圖可知A、B兩點間的電勢差為UAB＝ELcos60°代入數(shù)據(jù)解得UAB＝100V；(2)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功為WAB＝qUAB，代入數(shù)據(jù)解得WAB＝2J。[答案](1)100V(2)2J[針對訓(xùn)練1]如圖所示，勻強電場中某電場線上的兩點A、B相距0.2m，正電荷q＝106C，從A移到B，電場力做功為2×106J，則()A．該電場的電場強度為10V/mB．該電場的電場強度方向由B指向AC．A、B間的電勢差為10VD．B點的電勢比A點的高解析：選A。根據(jù)電場力做功公式UAB＝eq\f(WAB,q)＝2V，電場強度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(2,0.2)V/m＝10V/m，故A正確；由A向B電場力做正功，電場力由A指向B，電荷帶正電，電場力方向與電場強度方向相同，電場強度方向由A指向B，故B錯誤；A、B間的電勢差為2V，故C錯誤；電場強度方向由A指向B，沿電場線方向電勢降低，故D錯誤。探究二非勻強電場中E＝eq\f(UAB,d)的定性分析1．定性分析在非勻強電場中，公式E＝eq\f(U,d)可用來定性分析問題，由U＝Ed可以得出結(jié)論。在等差等勢面中等勢面越密的地方電場強度就越大，如圖甲所示。再如圖乙所示，a、b、c為某條電場線上的三個點，且距離ab＝bc，由于電場線越密的地方電場強度越大，故Uab<Ubc。2．三點妙用(1)判斷電場強度大小：等差等勢面越密，電場強度越大。(2)判斷電勢差的大小及電勢的高低：距離相等的兩點間的電勢差，E越大，U越大，進而判斷電勢的高低。(3)利用φ－x圖像的斜率判斷電場強度隨位置變化的規(guī)律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示電場強度的大小，正負表示電場強度的方向。【例2】如圖所示，實線為電場線，虛線為等勢面，φa＝50V，φc＝20V，則a、c連線中點b的電勢φb為()A．等于35V B．大于35VC．小于35V D．等于15V[解析]從電場線疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判斷Uab＞Ubc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V。[答案]C[針對訓(xùn)練2]如圖所示的是某電場中的三條電場線，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢φA＝30V，B點的電勢φB＝－20V，則下列說法正確的是()A．C點的電勢φC＝5VB．C點的電勢φC＞5VC．C點的電勢φC＜5VD．負電荷在A點的電勢能大于在B點的電勢能解析：選C。由題圖看出，AC段電場線比CB段電場線密，則AC段電場強度較大，根據(jù)公式U＝Ed可知，AC間電勢差UAC大于CB間電勢差UCB，所以φC＜eq\f(φA＋φB,2)＝5V，故C正確，A、B錯誤；而負電荷在低電勢處電勢能較大，故D錯誤。探究三應(yīng)用“等分法”求解勻強電場的電場強度1．方法介紹先由等分法確定電勢相等的點，畫出等勢線，然后根據(jù)電場線與等勢面垂直畫出電場線，且電場線的方向由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面。2．兩個結(jié)論結(jié)論1：勻強電場中的任一線段AB的中點C的電勢φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如圖甲所示。結(jié)論2：勻強電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如圖乙所示。【例3】(多選)一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖所示，三點的電勢分別為17V、33V、49V。下列說法正確的是()A．坐標原點處的電勢為1VB．電場強度的大小為5V/mC．勻強電場的方向由O點指向c點D．質(zhì)子從b點運動到c點，電場力做功為－16eV[解析]如圖所示。在ac連線上，確定中點b′點，電勢為33V，將bb′連線，即為等勢線，那么垂直bb′連線，則為電場線，再依據(jù)沿著電場線方向，即勻強電場的方向由c點指向O點，電勢降低，則電場線方向如圖，因為勻強電場，則有E＝eq\f(Ucb,d)依據(jù)幾何關(guān)系，則d＝eq\f(b′c×bc,bb′)代入數(shù)據(jù)，得電場強度大小為E＝eq\f(4\r(13),3)×102V/m，故B、C錯誤；根據(jù)φc－φa＝φb－φO，因a、b、c三點電勢分別為φa＝17V、φb＝33V、φc＝49V，解得原點處的電勢為φO＝1V，故A正確；質(zhì)子從b點運動到c點，電場力做功為W＝eUbc＝－16eV，故D正確。[答案]AD[針對訓(xùn)練3](多選)在勻強電場中a、b、c、d為矩形的四個頂點，e、f分別為ab邊和cd的中點。ab＝cd＝2cm，ad＝bc＝1cm。已知電場線的方向平行于矩形所在平面，a、b、c三點電勢分別為4V、8V、6V，則()A．d點的電勢為2VB．電場線方向沿bf指向fC．電場強度為200V/mD．一電子從a點運動到c點，電勢能減少解析：選ABD。由于該電場是勻強電場，等勢線是等間距的平行直線，故Uad＝Ubc，故d點的電勢為φd＝2V，故A正確；ab中點的電勢為φe＝eq\f(φa＋φb,2)＝6V，故ec為等勢線，電場方向與等勢面垂直，由高電勢指向低電勢，故電場方向沿bf方向且由b指向f，故B正確；be之間沿電場線方向的距離為d＝eq\f(\r(2),2)cm，由U＝Ed可知，電場強度為E＝eq\f(Ube,d)＝2eq\r(2)×102V/m，故C錯誤；電子帶負電，在電勢越高的地方電勢能越小，故電子從a到c電勢能減小，故D正確。(限時：45分鐘)【合格考練】1．關(guān)于電場強度的公式①E＝keq\f(q,r2)、②E＝eq\f(F,q)、③E＝eq\f(U,d)，下列說法正確的是()A．它們都只對點電荷的電場成立B．①②式只對點電荷的電場成立，③式只對勻強電場成立C．①式只對點電荷的電場成立，②式對任何電場都成立，③式只對勻強電場成立D．①式只對點電荷的電場成立，②③式對任何電場都成立解析：選C。公式②是電場強度的定義式，適用于所有電場；而兩個點電荷間相互作用力，根據(jù)庫侖定律F＝keq\f(Qq,r2)，代入②式就會得出①式的表達式，因此①式是由兩個點電荷間作用力推出的，故只適用于點電荷的電場，而③式是電荷在勻強電場中運動時，電場力做功Edq＝Uq推出的，因此③式只適用于勻強電場，C正確，A、B、D錯誤。2．(多選)關(guān)于勻強電場中的電場強度和電勢差的關(guān)系，下列說法正確的是()A．任意兩點間的電勢差，等于電場強度和這兩點間距離的乘積B．沿電場線方向，相同距離上電勢降落必相等C．電勢降低最快的方向必是電場強度方向D．在相同距離的兩點上，電勢差大的，其電場強度也大解析：選BC。UAB＝Ed中的d為A、B兩點沿電場方向的距離，A、D錯誤；由UAB＝Ed可知沿電場線方向，電勢降落最快，且相同距離上電勢降落必相等，B、C正確。3.如圖所示，三個同心圓是一個點電荷周圍的三個等勢面，已知這三個圓的半徑成等差數(shù)列。A、B、C分別是這三個等勢面上的點，且這三點在同一條電場線上。A、C兩點的電勢依次為φA＝10V和φC＝2V，則B點的電勢()A．一定等于6V B．一定低于6VC．一定高于6V D．無法確定解析：選B。從點電荷的電場線和等勢面的特點知，EA＞EB＞EC，AB＝BC，由U＝Ed定性分析，UAB＞UBC，所以φB＜6V。4.如圖所示，勻強電場E＝100V/m，A、B兩點相距10cm，A、B連線與電場線夾角為60°，若取A點電勢為0，則B點電勢為()A．－10V B．10VC．－5V D．－3V解析：選C。A、B連線沿電場線的距離為d＝0.05m，根據(jù)勻強電場中電勢差與電場強度的關(guān)系可知，UAB＝Ed＝5V，電場中B點的電勢等于B點到零電勢點的電勢差，φB＝UBA＝－UAB＝－5V，C正確。5．如圖，△abc中bc＝4cm，∠acb＝30°。勻強電場的電場線平行于△abc所在平面，且a、b、c三點的電勢分別為3V、－1V、3V。下列說法正確的是()A．電場強度的方向沿ac方向B．電場強度的大小為200V/mC．電子從a點移動到b點，電勢能減少了4eVD．電子從c點移動到b點，電場力做功為4eV解析：選B。由于ac兩點電勢相等，故ac為一條等勢線，電場方向與等勢線垂直，且由高電勢指向低電勢可知，電場方向垂直ac，且指向斜上方E＝eq\f(Ucb,cbsin30°)＝eq\f(4,4×\f(1,2))V/cm＝200V/m故A錯誤，B正確；電子從a點移動到b點，電場力做功Wab＝－eUab＝－4eV“－”表示電場力做負功，電勢能增加，增加了4eV，故C錯誤；電子從c點移動到b點，電場力做功為Wcb＝－eUcb＝－4eV，故D錯誤。6．(多選)如圖，在勻強電場中，A、B、C、D、E、F位于邊長為L＝2cm的正六邊形的頂點上，勻強電場的方向平行于正六邊形所在的平面。已知A、B、D、E的電勢分別為－2V、0、6V、4V。則下列說法正確的是()A．C點的電勢φC＝2VB．A、F間的電勢差UAF＝2VC．C、F間的電勢差UCF＝4VD．該勻強電場的電場強度大小E＝200V/m解析：選CD。連接AD、BF、CE，如圖所示：由圖可知AD與BF、CE都垂直，故電場強度方向由D指向A，由正六邊形對稱性可知F與B的電勢相等，C與E的電勢相等，故F點的電勢為0，C點的電勢為4V，則A、F間的電勢差為UAF＝φA－φF＝－2V－0＝－2VC、F間的電勢差為UCF＝φC－φF＝4V－0＝4V由幾何關(guān)系得dOA＝Lsin30°UOA＝UFA＝－UAF＝2V則電場強度的大小為E＝eq\f(UOA,dOA)＝eq\f(2,2×10－2×\f(1,2))V/m＝200V/m，故A、B錯誤，C、D正確。7．如圖所示，在勻強電場中有一直角三角形OBC，電場方向與三角形所在平面平行，若三角形三頂點O、B、C處的電勢分別為φO、φB、φC，已知φO＝0，φB＝3V，φC＝6V，OB＝4cm，OC＝6cm。則下列說法正確的是()A．勻強電場中電場強度的大小為125V/mB．勻強電場中電場強度的大小為200V/mC．勻強電場中電場強度的方向斜向下與OC夾角為30°D．一個電子由C點運動到O點再運動到B點的過程中電場力做功3eV解析：選A。如圖根據(jù)勻強電場的特點，OC中點D的電勢為3V，則BD為一條等勢線，電場方向如圖，電場強度的方向斜向下與OC夾角為θ，tanθ＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(3,4)θ＝37°由幾何關(guān)系得，O到BD的距離d＝2.4cm，在勻強電場中E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,2.4×10－2)V/m＝125V/m故A正確，B、C錯誤；根據(jù)W＝qU可知一個電子由C點運動到O點再運動到B點的過程中電場力做功為W＝－e×3V＝－3eV，故D錯誤。8．(多選)如圖所示，A、B、C是勻強電場中平行于電場線的某一平面上的三個點，各點的電勢分別為φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G為AC的中點，在下列各示意圖中，能正確表示該電場強度方向的是()解析：選BC。根據(jù)勻強電場的特點可知，H、F的電勢分別為φH＝4V，φF＝3V，G的電勢φG＝eq\f(5V＋3V,2)＝4V，則φH＝φG，則電場線垂直于GH，又φC＝φF＝3V，可知電場線與CF垂直，故選B、C?！镜燃壙季殹?．如圖所示，在平行于ABC平面的勻強電場中，有一個邊長為6cm的等邊三角形，A、B、C三點電勢分別為8V，－4V和2V，D為靠近A點的AB線段的三等分點。下列說法正確的是()A．電場強度為400V/mB．電場線方向與AB平行，方向指向AC．電子在A點的電勢能小于在B點的電勢能D．若將一電子從C點移至D點，電場力做功為－2eV解析：選C。由勻強電場中的任一線段兩端電勢與中點電勢的關(guān)系，則有AB的中點F點的電勢為φF＝eq\f(φA＋φB,2)＝eq\f(8＋（－4）,2)V＝2V則F、C為等電勢點，F(xiàn)C為等勢線，則AB為一電場線，方向由A到B，則勻強電場的電場強度為E＝eq\f(UAB,dAB)＝eq\f(8－（－4）,6×10－2)V/m＝200V/m方向由A到B，故A、B錯誤；電子帶負電，由Ep＝qφ知其在電勢高處電勢能小，故C正確；D點的電勢為φD＝8V－eq\f(8－（－4）,3)V＝4V則UCD＝－2V，將一電子從C點移至D點，電場力做功為W＝－eUCD＝2eV，故D錯誤。10.(多選)空間有平行于梯形區(qū)域abcd的勻強電場，已知∠a＝45°，∠c和∠d均為直角，且上底bc＝2cm、下底ad＝4cm，a、b、c三點的電勢分別為4V、8V、10V。將一電荷量q＝－2×10－5C的點電荷從a點開始沿abcd路線移動，則下列判斷正確的是()A．梯形區(qū)域的下底ad中點的電勢為6VB．該勻強電場的場強大小為eq\r(2)V/mC．該點電荷在c點的電勢能為＋2×10－4JD．該點電荷從a點移到d點過程中，電場力對它做的功為＋8×10－5J解析：選AD。根據(jù)題述a、b、c三點電勢分別為4V、8V、10V，如圖所示，g為ad中點，根據(jù)在勻強電場中，平行線上相等長度的線段電勢差相等可知，ad中點的電勢為6V，d點電勢為8V，A正確；由幾何關(guān)系可知，ab⊥bd，根據(jù)電場線與等勢線垂直可知，電場強度方向沿ba方向。由E＝eq\f(U,d)可得該勻強電場的電場強度E＝eq\f(Uba,dab)＝100eq\r(2)V，B錯誤；根據(jù)電勢能公式可知，電荷量q＝－2×10－5C的點電荷在c點的電勢能Ep＝qφc＝－2×10－5×10J＝－2×10－4J，C錯誤；電荷量q＝－2×10－5C的點電荷從a點移動到d點的過程中，電場力對它做的功為W＝qUad＝q(φa－φd)＝－2×10－5×(4－8)J＝＋8×10－5J，D正確。11.在研究未知電場時，一般是先通過實驗找出等勢點描繪出等勢面，再由等勢面得到電場線。如圖所示，在平面直角坐標系中有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V。則該電場的電場強度()A．方向垂直x軸B．方向垂直AB連線C．大小為100V/mD．大小為100eq\r(2)V/m解析：選D。坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，則OA中點C的電勢為φC＝eq\f(0＋φA,2)＝3V＝φB，則BC連線為等勢面，場強方向與等勢面垂直，可知場強方向垂直BC斜向下，場強大小為E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,3×cos45°×10－2)V/m＝100eq\r(2)V/m。12．如圖所示，在勻強電場中，將一電荷量為2×10－4C的負電荷由A點移到B點，其電勢能增加了0.2J，已知A、B兩點間距離為2cm，兩點連線與電場方向成60°角，求：(1)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功WAB；(2)A、B兩點間的電勢差UAB；(3)該勻強電場的電場強度E。解析：(1)因負電荷由A移到B的過程中，負電荷的電勢能增加了ΔE＝0.2J，所以這個過程中電場力對負電荷所做的功W＝－ΔE＝－0.2J；(2)A、B兩點間的電勢差UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－0.2,－2×10－4)V＝1000V；(3)勻強電場的電場強度E＝eq\f(UAB,d×cos60°)＝e