微專題1　運(yùn)動的合成與分解的兩類模型 教學(xué)設(shè)計

微專題1運(yùn)動的合成與分解的兩類模型類型一小船渡河模型1．小船參與的兩個分運(yùn)動(1)船對地的運(yùn)動(即船在靜水中的運(yùn)動)，它的方向與船頭的指向相同．(2)船隨水漂流的運(yùn)動，它的方向與河岸平行．2．兩類最值問題(1)渡河時間最短問題水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水).(2)渡河位移最短問題情況一：v水＜v船最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cosθ＝v水，即cosθ＝eq\f(v水,v船)，如圖乙所示．情況二：v水＞v船合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖丙所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，當(dāng)合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設(shè)為α)，此時航程最短．由圖可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程為x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此時船頭指向應(yīng)與上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).【例1】小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s.(1)當(dāng)小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達(dá)對岸？(2)要使小船到達(dá)河的正對岸，應(yīng)如何行駛？多長時間能到達(dá)對岸？(sin37°＝0.6)(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，要使小船航程最短，應(yīng)如何航行？[解析](1)因為小船垂直于河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運(yùn)動，故渡河時間t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船經(jīng)過40s，在正對岸下游120m處靠岸．(2)要使小船到達(dá)河的正對岸，則v水、v船的合運(yùn)動v合應(yīng)垂直于河岸，如圖甲所示，則v合＝eq\r(veq\o\al(2,船)－veq\o\al(2,水))＝4m/s，經(jīng)歷時間t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s．又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船頭指向與河岸的上游所成角度為53°.(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，如圖乙所示，應(yīng)使v合的方向垂直于v船，故船頭應(yīng)偏向上游，與河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角．[答案](1)40s正對岸下游120m處(2)船頭指向與河岸的上游成53°角50s(3)船頭指向與河岸的上游成60°角[針對訓(xùn)練1](2022·湖南永州期末)一艘小船在靜水中的速度是3m/s，一條河寬45m，河水流速為4m/s，下列正確的是()A．小船在這條河中運(yùn)動的最大速度是5m/sB．小船在這條河中運(yùn)動的最小速度是3m/sC．小船渡過這條河的最短時間是9sD．小船渡過這條河的最小位移是60m解析：選D.當(dāng)小船在靜水中的速度與水流速度同向時，小船速度最大，為7m/s，當(dāng)小船在靜水中的速度與水流速度反向時，小船速度最小，為1m/s，故A、B錯誤；當(dāng)小船在靜水中的速度與河岸垂直時，渡河時間最短t＝eq\f(d,v靜)＝eq\f(45,3)s＝15s，故C錯誤；因為小船在靜水中的速度小于水流速，可知合速度的方向不可能垂直于河岸，則小船不能垂直到對岸，當(dāng)小船在靜水中的速度方向垂直于合速度方向時，位移最小x＝eq\f(v水,v靜)d＝60m，故D正確．[針對訓(xùn)練2](多選)一小船要渡過50m寬的河，已知船在靜水中的速度為4m/s，水流速度為3m/s，則以下說法中正確的是()A．小船渡河的位移一定大于50mB．小船渡河的速度一定小于等于5m/sC．小船渡河的最短時間為12.5sD．若船頭指向不變，則小船渡河時將做勻速直線運(yùn)動解析：選CD.船在靜水中的速度大于水流速度，故船可以垂直行駛至河岸正對面，這時船的位移就是50m，故A錯誤；小船的渡河速度與小船的渡河方向有關(guān)，當(dāng)小船順流而下時，渡河速度就會大于5m/s，故B錯誤；小船渡河最短時間跟垂直河岸的分運(yùn)動有關(guān)，當(dāng)垂直河岸的分運(yùn)動的速度等于小船在靜水中的速度時，小船的渡河時間最短，設(shè)河寬為d，則渡河時間為t＝eq\f(d,v靜)＝12.5s，故C正確；若船頭指向不變，小船垂直于河岸的分運(yùn)動和沿河岸方向的分運(yùn)動均是勻速直線運(yùn)動，所以小船的合運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動，故D正確．類型二“關(guān)聯(lián)”速度1．“關(guān)聯(lián)”速度問題：物體斜著拉繩(桿)或繩(桿)斜著拉物體時，兩端所連接物體的速度關(guān)系問題．2．“關(guān)聯(lián)”速度的分解規(guī)律(1)分解依據(jù)①物體的實(shí)際運(yùn)動是合運(yùn)動．②由于繩(桿)不可伸長，所以繩(桿)兩端所連物體的速度沿著繩(桿)方向的分速度大小相同．(2)分解方法：將物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個分量．(3)常見的速度分解情形【例2】如圖所示，將楔形木塊B放在光滑水平面上靠墻邊處并用手扶著，然后在木塊和墻面之間放入一個小球A，楔形木塊的傾角為θ，放手讓小球和木塊同時由靜止開始運(yùn)動，某時刻二者速度分別為vA和vB，則()A．vA∶vB＝1∶1B．vA∶vB＝sinθ∶cosθC．vA∶vB＝cosθ∶sinθD．vA∶vB＝sinθ∶tanθ[解析]將vA分解到沿斜面和垂直于斜面兩個方向，如圖甲所示，則有：v2＝vAcosθ，將vB分解到沿斜面和垂直于斜面兩個方向，如圖乙所示，則有v2＝vBsinθ，因為小球和木塊總是相互接觸的，所以小球的速度vA和木塊的速度vB在垂直于接觸面的方向上的投影相等，即：vAcosθ＝vBsinθ，即vA∶vB＝sinθ∶cosθ，B正確．[答案]B【例3】如圖所示，有一不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C，與質(zhì)量為m的物體A連接，A放在傾角為θ的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接，連接物體B的繩最初水平．從當(dāng)前位置開始，使物體B以速度v沿桿勻速向下運(yùn)動，設(shè)繩的拉力為T，在此后的運(yùn)動過程中，下列說法正確的是()A．物體A做減速運(yùn)動B．物體A做勻速運(yùn)動C．T小于mgsinθD．T大于mgsinθ[解析]將物體B的速度進(jìn)行分解，如圖，由圖可知繩端的速度為v繩＝vsinα，與B的位置有關(guān)，因為B為勻速運(yùn)動，B下降過程中α變大，因此物體A做加速運(yùn)動，則T大于mgsinθ.[答案]D[針對訓(xùn)練3]如圖所示，物體A以速度v沿桿勻速下滑，A用細(xì)繩通過定滑輪拉物體B，當(dāng)繩與水平夾角為θ時，B的速度為()A．vsinθ B．vcosθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)解析：選A.將A物體的速度按沿繩和垂直于繩兩個方向正交分解，如圖所示，可得繩子速率v繩＝vsinθ，而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速度大小為vB＝v繩＝vsinθ，故A正確，B、C、D錯誤．[針對訓(xùn)練4](多選)如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和小球B，豎直放置，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L.由于微小的擾動，A球沿豎直滑槽向下運(yùn)動，B球沿水平滑槽向右運(yùn)動，當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(圖中未標(biāo)出)，關(guān)于兩球速度vA與vB的關(guān)系，下列說法正確的是()A．若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等B．若θ＝45°，則A、B兩球的速度大小相等C．vA＝vBtanθD．vA＝vBsinθ解析：選BC.當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時，根據(jù)運(yùn)動的分解可知(如圖所示)，沿桿方向兩分速度相等，vAcosθ＝vBsinθ，即vA＝vBtanθ.當(dāng)θ＝45°時，vA＝vB.[A級——合格考達(dá)標(biāo)練]1．小船橫渡一條河，船在靜水中的速度大小不變，方向始終垂直于河岸．已知小船的部分運(yùn)動軌跡如圖所示，則可判斷，此過程中河水的流速()A．越接近B岸水速越大B．越接近B岸水速越小C．由A到B水速先增大后減小D．水流速度恒定解析：選B.小船對地速度等于在靜水中速度與隨水流運(yùn)動速度的矢量和，若水流速度恒定，則小船對地速度也恒定，運(yùn)動軌跡應(yīng)為直線，D錯誤；由于小船運(yùn)動軌跡的彎曲方向不變，則水流速度一直減小，C錯誤；因為只有水流速度發(fā)生變化，則加速度方向應(yīng)平行于水流速度方向，由軌跡的彎曲方向可知，加速度方向應(yīng)向左，與水流方向相反，故越接近B岸，水流速度越小，A錯誤，B正確．2．如圖所示，一條小船位于200m寬的河的正中A點(diǎn)處，從這里向下游100eq\r(3)m處有一危險區(qū)，當(dāng)時水流速度為4m/s，為了使小船避開危險區(qū)沿直線到達(dá)對岸，小船在靜水中的速度至少是()A.eq\f(4\r(3),3)m/s B.eq\f(8\r(3),3)m/sC．2m/s D．4m/s解析：選C.恰使小船避開危險區(qū)，小船應(yīng)沿直線AB到達(dá)對岸，如圖所示，則有tanθ＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，所以θ＝30°.當(dāng)船頭與AB垂直時，小船在靜水中的速度最?。钚∷俣葹関1＝v2sinθ＝4sin30°m/s＝2m/s，故C正確．3．某船要渡過60m寬的河，船渡河的最短時間是12s；若船沿垂直于河岸的直線到達(dá)正對岸，渡河時間是15s，則船在靜水中的速率v1及河水的流速v2分別為()A．v1＝5m/sv2＝4m/sB．v1＝5m/sv2＝3m/sC．v1＝4m/sv2＝5m/sD．v1＝4m/sv2＝3m/s解析：選B.當(dāng)船以最短時間渡河時，船頭指向正對岸，則渡河時間為：t1＝eq\f(d,v1)，所以船在靜水中的速度為：v1＝eq\f(d,t1)＝eq\f(60,12)m/s＝5m/s，故C、D錯誤；當(dāng)船垂直于河岸到達(dá)正對岸時，合速度垂直于河岸，渡河時間為：t2＝eq\f(d,\r(veq\o\al(2,1)－veq\o\al(2,2)))，代入數(shù)據(jù)得：v2＝3m/s，故A錯誤，B正確．4.如圖所示，人在岸上以恒定速度v拉船，當(dāng)輕繩與水平面的夾角為θ時，船的速度為()A．vcosθ B.eq\f(v,cosθ)C．v D．vsinθ解析：選B.將船的速度按如圖所示進(jìn)行分解，人拉繩行走的速度v＝v船cosθ，故v船＝eq\f(v,cosθ)，B正確．5．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車以速度v勻速向右運(yùn)動時，物體P的速度為()A．v B．vcosθC.eq\f(v,cosθ) D．vcos2θ解析：選B.將繩兩端所連物體速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，根據(jù)沿繩方向的分速度相等可得vP＝vcosθ，B正確．6．一條筆直的河流沿東西走向，兩岸平行，各處的寬度均為d＝80m，水流的速度均為v水＝3m/s，船在靜水中的速度恒為v船＝5m/s，則()A．渡河的最短時間為20sB．渡河的最短位移為90mC．保持船頭沿南北方向到達(dá)對岸，渡河位移最短D．船能夠沿南北方向的直線渡到正對岸解析：選D.當(dāng)v船方向與河岸垂直時，渡河時間最短，t＝eq\f(d,v船)＝16s，故A錯誤；當(dāng)小船合速度的方向與河岸的方向垂直時，渡河位移最短，設(shè)此時船頭的方向與河岸的夾角為θ，cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)，船渡河的位移為河寬d＝80m，船能夠沿南北方向的直線渡到正對岸，故B、C錯誤，D正確．7．(多選)甲、乙兩船在同一河流中同時開始渡河，河水流速為v0，船在靜水中的速率均為v，甲、乙兩船船頭均與河岸成θ角，如圖所示，已知甲船恰能垂直到達(dá)河正對岸的A點(diǎn)，乙船到達(dá)河對岸的B點(diǎn)，A、B之間的距離為L，則下列判斷正確的是()A．乙船先到達(dá)對岸B．若僅是河水流速v0增大，則兩船的渡河時間都不變C．不論河水流速v0如何改變，只要適當(dāng)改變θ角，甲船總能到達(dá)正對岸的A點(diǎn)D．若僅是河水流速v0增大，則兩船到達(dá)對岸時，兩船之間的距離仍然為L解析：選BD.將小船的運(yùn)動分解到平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，由分運(yùn)動和合運(yùn)動具有等時性，知甲、乙兩船到達(dá)對岸的時間相等．渡河的時間t＝eq\f(d,vsinθ)，故A錯誤；若僅是河水流速v0增大，渡河的時間t＝eq\f(d,vsinθ)與河水流速無關(guān)，則兩船的渡河時間都不變，故B正確；只有甲船速度大于水流速度時，不論水流速v0如何改變，甲船都可能到達(dá)河的正對岸A點(diǎn)，故C錯誤；若僅是河水流速v0增大，則兩船到達(dá)對岸時間不變，根據(jù)速度的分解，船在水平方向的分速度的差值仍不變，則兩船之間的距離仍然為L，故D正確．[B級——等級考增分練]8．(多選)(2022·廣東高州期末)如圖所示，小船從河岸的O點(diǎn)沿虛線運(yùn)動軌跡，勻速運(yùn)動到河對岸的P點(diǎn)，河水的流速v水、船在靜水中的速度v靜與虛線的夾角分別為α、θ，河寬為L，且v靜、v水的大小不變，下列說法正確的是()A．渡河時間t＝eq\f(L,v靜)B．渡河時間t＝eq\f(L,v靜sin（θ＋α）)C．v水越小，渡河時間越短D．當(dāng)α＋θ＝90°時，渡河的時間最短解析：選BD.渡河的時間t＝eq\f(d,v靜sin（α＋θ）)，與v水無關(guān)，A、C錯誤，B正確；當(dāng)α＋β＝90°時，渡河時間最短tmin＝eq\f(d,v靜sin90°)＝eq\f(d,v靜)，D正確．9.如圖所示，一鐵球用細(xì)線懸掛于天花板上，靜止垂在桌子的邊緣，懸線穿過一光盤的中間孔，手推光盤在桌面上平移，光盤帶動懸線緊貼著桌子的邊緣以速度v沿水平方向勻速運(yùn)動，當(dāng)光盤由A位置運(yùn)動到圖中虛線所示的B位置時，懸線與豎直方向的夾角為θ，此時鐵球()A．豎直方向速度大小為vcosθB．豎直方向速度大小為vsinθC．豎直方向速度大小為vtanθD．相對于地面速度大小為v解析：選B.將光盤的速度在沿繩和垂直于繩的方向分解，如圖所示，沿繩方向的分量v′＝vsinθ，這就是桌面以上繩子變長的速度，也等于鐵球上升的速度，B正確，A、C錯誤；由題意可知鐵球在水平方向上速度與光盤相同，豎直方向速度為vsinθ，可得鐵球相對于地面速度大小為veq\r(1＋sin2θ)，D錯誤．10．(2022·廣東高州期末)如圖所示，繩子通過固定在天花板上的定滑輪，左端與套在固定豎直桿上的物體A連接，右端與放在水平面上的物體B相連．到達(dá)如圖所示位置時，繩與水平面的夾角分別為夾角為37°、53°，兩物體的速率分別為vA、vB，且此時vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，sin37°＝eq\f(3,5)、cos37°＝eq\f(4,5)，則vA的大小為()A.eq\f(10,3)m/sB.eq\f(4,3)m/sC．2m/sD．4m/s解析：選A.設(shè)此時繩子的速率為v繩，將A、B的速度分別沿繩的方向和垂直繩的方向分解，可得v繩＝vAsin37°，v繩＝vBcos53°，結(jié)合vA＋vB＝eq\f(20,3)m/s，解得vA＝eq\f(10,3)m/s.11．(多選)小河寬80m，河中各點(diǎn)水流速度與各點(diǎn)到較近河岸邊的距離關(guān)系為v水＝kx(k＝0.1s－1)，一小船以4m/s速度垂直于河岸渡河，則下列說法中正確的是()A．小船渡河時的軌跡為直線B．小船渡河時的軌跡為曲線C．小船到達(dá)距河對岸20m處，船的渡河速度為4eq\r(5)m/