第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點）（原卷版）

第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點）考點考點考向一、相似三角形的性質(zhì)1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）二、利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來解決實際問題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應(yīng)邊易測這一原則。三、位似的概念及性質(zhì)1）兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對應(yīng)點的連線都經(jīng)過位似中心”的特點確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離比等于相似比。四、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點并延長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。五、圖形的變換與坐標1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應(yīng)相應(yīng)地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應(yīng)點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應(yīng)點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)。3）、以原點為位似中心的位似變換在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k（對應(yīng)點在位似中心同側(cè)）或者－k（對應(yīng)點在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應(yīng)點的坐標為或。考點考點精講一．相似三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2021秋?青岡縣期末）若兩個相似三角形的相似之比為1：2，則它們的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：162．（2021秋?威縣期末）若兩個相似三角形的相似比為1：3．則它們的對應(yīng)周長比為（）A．1：9 B．1：6 C．6：1 D．1：33．（2021秋?秦皇島期末）若兩個相似三角形的面積比是1：9，則它們對應(yīng)邊的中線之比為（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：14．（2021秋?梧州期末）若△ABC∽△EFG，并且它們的相似比AB：EF＝2：5，則它們的周長比C△ABC：C△EFG＝（）A．2：5 B．4：25 C．25：4 D．6：155．（2021秋?滕州市期末）兩個相似三角形對應(yīng)中線的長分別為6cm和12cm，若較大三角形的面積是12cm2，則較小的三角形的面積為（）A．6cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．1cm26．（2021秋?本溪縣期末）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應(yīng)中線．若AD＝10，A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：97．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積．8．（2022?福州模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD有交點，且∠ABC+∠ADC＝90°．點E與點C在BD同側(cè)，連接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．（1）求證：DC⊥CE；（2）若，BD＝20，，求△BDE的面積．9．（2021秋?交城縣期末）閱讀理解：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD為△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）10．（2021秋?吉安縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，點D在AB上．（1）當△ABC∽△CBD時，求BD的長；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，說明理由；如果不平分，利用備用圖，畫出∠ACB的平分線CD（CD交AB于D），并求BD的長．11．（2021秋?新野縣期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，DF⊥AE于點F．（1）求證：．（2）已知AB＝8，BC＝12，求AF的長．12．（2021秋?宛城區(qū)期末）閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖2，過C作CE∥DA，交BA的延長線于點E．任務(wù)一：請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；任務(wù)二：如圖3，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接寫出線段FC的長．13．（2022?南充模擬）如圖，AB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，BC與⊙O交于D，弧CD上一點E，使得點D成為弧AE的中點，連接AE與BC交于F．（1）比較AB與AF的長度．并說明理由．（2）當AB＝6，BC＝10時，求CF的長．三．作圖相似變換（共5小題）14．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°．利用尺規(guī)分別在AB、AC邊上求作點D、E，使△ADE∽△ABC，且點C的對應(yīng)E是AC是的中心．（保留作圖痕跡，不寫作法）15．（2022秋?瑞安市月考）如圖，在6×8的方格紙中，點A，B，C均為格點，請按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中作出與△ABC相似的格點△CDE；（2）在圖2中作出與∠C相等的∠AFB，點F為格點且不與點C重合．16．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，點E在對角線AC上，點F為AD上一點，連接EF．已知點P在邊CD上，以CP為邊，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點Q，使得△CPQ∽△AEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）17．（2022秋?二七區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一點D，使△ABC∽△CBD（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求△ACD的周長．18．（2022秋?晉江市校級期中）如圖，已知正方形ABCD，點在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點F，使得△ABE∽△DFA．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長．四．位似變換（共3小題）19．（2021秋?長子縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則D點坐標為（）A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）20．（2021秋?建平縣期末）如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A（2，2）、B（3，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD，則端點C的坐標分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）21．（2022秋?于洪區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△AOB擴大到原來的2倍，得到△A'OB．若點A的坐標為（1，2），則點A′的坐標為（）A．（2，4） B．（4，2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）五．作圖位似變換（共3小題）22．（2022春?西城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，對正方形ABCD及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數(shù)t，將得到的點先向右平移a個單位，再向上平移b個單位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其內(nèi)部的點，其中點A，B的對應(yīng)點分別為A'，B'．①a＝，b＝；②已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點F'與點F重合，則點F的坐標是．23．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，三個頂點的坐標分別為A（0，2），B（4，0），C（4，6）．以原點O為位似中心，在第三象限畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為1：2，并寫出點C的對應(yīng)點C1的坐標．24．（2022秋?富川縣期中）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A．（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1并寫出A1、B1、C1的坐標．（2）以點O為位似中心畫△DEF，使它與△ABC位似，且相似比為2：1．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·北京房山·九年級期中）如圖是測量河寬的示意圖，測得，，，則河寬的長為（）A． B． C． D．2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學九年級期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B． C． D．3．（2021·四川·達州市通川區(qū)第八中學九年級期中）在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點B1的坐標為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）4．（2021·浙江·翠苑中學九年級期中）如圖，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB'：OB＝1：3，則△A'B'C'與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：95．（2021·遼寧·沈陽市第四十三中學九年級月考）小亮用自制的直角三角板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知直角三角板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝30cm，又測得AM＝10m，邊DF離地面的高度DM＝1.5m，則樹高AB為（）A．7.5m B．9m C．6m D．5.25m二、填空題6．（2021·福建省福州第十九中學九年級期中）AOB三個頂點的坐標分別為A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原點O為位似中心，相似比為，將AOB縮小，則點B的對應(yīng)點的坐標是___．7．（2021·四川南溪·九年級期中）如圖，某小區(qū)車庫出入口的欄桿短臂長1m，長臂長8m，當短臂外端下降0.5m時，長臂外端升高_______________________．8．（2021·廣東高州·九年級期中）如圖，路燈距地面，身高的小明從點處沿所在的直線行走到點時，人影長度變短______．9．（2021·吉林·長春外國語學校九年級期中）如圖，數(shù)學興趣小組的小穎想測量教學樓前的一棵樹的樹高．下午課外活動時，她測得根長為1m的竹桿的影長是0.8m．但當她馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上．她先測得留在墻壁上的影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫她算一下，樹高是________m．10．（2021·廣東·深圳市高級中學九年級期中）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且于點M，連接AF、CE，求的最小值是_____．三、解答題11．（2021·廣東·深圳市南山外國語學校九年級期中）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知△ABC三個頂點分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以原點O為位似中心，在x軸的下方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并寫出A2，B2，C2的坐標．12．（2021·山東高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)·九年級期中）小強在地面E處放一面鏡子，當他垂直于地面AC站立于點C處時，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，法線FE⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請計算出教學樓的高度．13．（2021·陜西·西安市第六中學九年級期中）如圖，華華同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上、已知紙板的兩條邊DF＝1m，DE＝0.8m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝24m，求樹高AB．14．（2021·福建·晉江市第一中學九年級期中）如圖，已知點是坐標原點，、兩點的坐標分別為，．

（1）以點為位似中心在軸的左側(cè)將放大到原圖的倍（即新圖與原圖的相似比為），畫出對應(yīng)的；

（2）在（1）的條件下，若內(nèi)部一點的坐標為，則點對應(yīng)點的坐標是______；

（3）求出變化后的面積______．15．（2021·山東章丘·九年級期中）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上．（1）求證：△APQ∽△ABC；（2）若這個矩形的邊PN：PQ＝2：1，則這個矩形的長、寬各是多少？16．（2021·陜西師大附中九年級期中）大雁塔是西安市的標志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所繪制的便是這座著名古塔．我校社會實踐小組為了測量大雁塔的高度AB，在地面上立兩根高為2m的標桿CD和GH，兩桿之間的距離米，點G、C、B成一線．從C處退行4米到點E處，人的眼睛貼著地面觀察A點，A、D、E三點成一線；從G處退行6米到點F處，從F觀察A點，A、F、H也成一線．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計