2.5直線與圓的位置關(guān)系

2.5直線與圓的位置關(guān)系【推本溯源】1.回顧一下點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，那么直線與圓有幾種關(guān)系呢？點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外；直線與圓的位置關(guān)系：相交：直線與圓有相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線（如右圖l1）；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；（如右圖l2）．

（3）相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。（如右圖l3）2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系我們是用點(diǎn)到圓心距離與半徑比較，那直線與圓的位置關(guān)系怎么表示出來？設(shè)圓心到直線的距離為r當(dāng)d＜r時(shí)，相交；當(dāng)d=r時(shí)，相切；當(dāng)d＞r時(shí)，相離。同樣地，當(dāng)相交時(shí)，d＜r；當(dāng)相切時(shí)，d=r；當(dāng)相離時(shí)，d＞r。3.如右圖，經(jīng)過圓O的半徑OD外端點(diǎn)D，作直線l⊥OD，直線l與圓O是怎樣的關(guān)系？∵l⊥OD∴OD=r∴直線與l相切因此，經(jīng)過半徑外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線。注：①直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；②直線與過交點(diǎn)的半徑垂直。幾何語言：∵l⊥OD，OD是半徑∴直線與l相切4.如圖，直線l是圓O的切線，切點(diǎn)為D，直線l與半徑OD有怎樣的關(guān)系？l⊥OD用反證法；假設(shè)l與OD不垂直，過圓心O作OD′⊥l，垂足為D′∵直線l是圓O的切線∴點(diǎn)O到直線l的距離等于半徑∵點(diǎn)D′在圓上，這樣切線會(huì)和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與題目相切矛盾∴l(xiāng)⊥OD因此，圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。5.（1）做一個(gè)圓，使它與已知三角形的各邊都相切？根據(jù)在角得內(nèi)部到角兩邊距離相等得點(diǎn)在角得平分線上可得圓心O是三個(gè)內(nèi)角平分線得交點(diǎn)。（2）畫出右圖▲ABC里面最大的圓因此，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.這個(gè)三角形是圓的外切三角形。

如圖：▲ABC的面積、周長與內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系是？因此，三角形的面積等于三角形周長與內(nèi)切圓半徑之積的一半。6.如圖，PA、PB是圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B.PA與PB相等嗎？PA=PB∵PA、PB是圓O的切線∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°∴PA=PB在經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

因此，從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

幾何語言：∵PA、PB是圓O的切線∴PA=PB【解惑】例1：已知平面內(nèi)有與直線，的半徑為，點(diǎn)O到直線的距離為，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)O到直線的距離與圓的半徑大小作比較即可．【詳解】解：∵點(diǎn)O到直線的距離為，且的半徑為，∴，即直線與的位置關(guān)系是相切，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，是的切線，切點(diǎn)為，連接與交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，由切線的性質(zhì)得出，由圓周角定理可得出答案．【分析】解：連接，為的切線，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向以個(gè)單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時(shí)間為___________秒．

【答案】2或10【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【詳解】解：當(dāng)位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；∴(秒)；當(dāng)位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．∴(秒)；故答案為：2或10【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．例4：已知圓P的半徑是，圓心P在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為__________．【答案】或【分析】分兩種情況討論：如圖，當(dāng)圓心P在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；從而可得答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)圓心P在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；此時(shí)，綜上：或；故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．例5：如圖，以的一邊為直徑的，交于點(diǎn)D，連接，，已知．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）先求出，根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵是的半徑，是的切線．（2）解：在中，，，∵為的直徑，，，∴在中，，，，則的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握圓的切線的判定是解題關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·陜西商洛·?？既＃┤鐖D，為的切線，為切點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（

）

A．18° B．24° C．25° D．27°【答案】D【分析】連接，則，由切線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和可求得的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖，∵為的切線，為切點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，作連接切點(diǎn)與圓心的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，AC交于點(diǎn)D，，則的度數(shù)為（

）

A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【分析】BC是的切線，可得，又由，圓周角定理即可得到荅案．【詳解】解：∵BC是的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，∴．又∵，∴，∴．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理，其中解題關(guān)鍵是運(yùn)用圓的切線垂直于半徑的性質(zhì)．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)的半徑和圓心O到直線l的距離的大小，相交：；相切：；相離：；即可選出答案．【詳解】解：∵的直徑為4，∴的半徑為2，∵圓心O到直線l的距離為2，∴，∴直線l與的位置關(guān)系是相切，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的弦，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由切線的性質(zhì)得，則，由圓周角定理得，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，

是的切線，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、圓周角定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵5．（2023·廣東廣州·廣州四十七中?？既＃┤鐖D，是的直徑，是的切線，若，則_______．

【答案】【分析】由切線性質(zhì)可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由切線性質(zhì)可得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，、是的切線，A、為切點(diǎn)，點(diǎn)、在上．若，則的度數(shù)是________．

【答案】/100度【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出，根據(jù)，得出，即，根據(jù)切線長定理得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∵、是的切線，A、為切點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是___________．

【答案】/度【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，

∵，分別與相切于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)，連接，若，則的大小為__________．

【答案】【分析】證明，可得，結(jié)合，證明，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的直徑，弦于點(diǎn)H，．

(1)求的長；(2)延長到P，過P作的切線，切點(diǎn)為C，若，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和相交弦定理求解；（2）根據(jù)切割線定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：∵直徑，弦于點(diǎn)H，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵切于點(diǎn)C，∴，∵，∴，或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查相交弦定理和切割線定理的運(yùn)用．掌握這兩個(gè)定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·九年級(jí)單元測試）如圖，，，當(dāng)?shù)陌霃絩為何值時(shí)，與直線相離？相切？相交？

【答案】見解析【分析】作于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：作于，如圖所示：，，當(dāng)時(shí)，和直線相離；當(dāng)時(shí)，和直線相切；當(dāng)時(shí)，和直線相交．

【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、含角的直角三角形的性質(zhì)；設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為．若直線和相交；直線和相切；直線和相離．11．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，和過點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為，交于點(diǎn)E，且平分∠DAB．(1)求證：直線是的切線；(2)連接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)角平分線的定義和等邊對等角證明，則，由，可證，即可證明直線是的切線；（2）先求出，利用勾股定理求出，證明∽求出，利用勾股定理求出，，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵點(diǎn)在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖所示，連接，由（1）得，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，，∴∽，∴，即，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【知不足】1．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖所示，是的直徑，點(diǎn)C在的延長線上，與相切，切點(diǎn)為D，如果，那么等于（

）．

A．15° B．20° C．35° D．55°【答案】B【分析】如圖：連接，由圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖，連接，則

∵是的切線，∴，即，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C、D分別在兩個(gè)半圓上，若過點(diǎn)C的切線與的延長線交于點(diǎn)E，則與的數(shù)量關(guān)系是（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】連接，，，根據(jù)圓周角定理得到，得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，∵是的直徑，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為___________．【答案】/27度【分析】連接，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可利用圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．【答案】34【分析】首先根據(jù)等邊對等角得到，然后利用外角的性質(zhì)得到，利用切線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵切于點(diǎn)A，∴，∴．故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為________．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，∴,∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合得到即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明是的切線，，即．是的直徑，．∴．，，，即，．（2）解：與都是所對的圓周角，．，，．由（1）知，，平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)M，F(xiàn)是上的一點(diǎn)，且，連接．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)是直徑，得出，根據(jù)菱形性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出即可；（2）連接，根據(jù)是直徑，得出，求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，證明，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵是直徑，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴；（2）證明：連接，如圖所示：

∵是直徑，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵為直徑，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角為直角，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握切線的判定方法．9．（2023·全國·一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)D，E．作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G．

(1)求證：是的切線．(2)已知，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5【分析】（1）連接，根據(jù)，得出，根據(jù)，，推出，進(jìn)而得出，即可求證；（2）根據(jù)垂徑定理可得，通過證明四邊形為矩形，可得，，設(shè)的半徑為r，則，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，則，∴，即是的切線．

（2）解：∵，，，∴四邊形為矩形，，∴，，設(shè)的半徑為r，即∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：．∴的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確畫出輔助線，根據(jù)勾股定理列出方程求解．10．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，則直線即為所求；（2）如圖所示，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且，∵是的切線，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為的直徑，，分別與相切于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于點(diǎn)．若，則長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作于，由垂徑定理得到的長，從而求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】解：作于，直徑于，，，分別切于，，，直徑，四邊形是矩形，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出的長．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)是垂直于y軸的直線l上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P，且與直線l相切于點(diǎn)A，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，過作軸于，連接，，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線是的切線，∴，∵軸，∴軸，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，過作軸于，連接，，則，，，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，在中，，即，解得，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·西南大學(xué)附中?？既＃┤鐖D，是的切線，A，B為切點(diǎn)，若，，則的長度為（

）

A．6 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得到是等邊三角形，得到,利用特殊的銳角三角函數(shù)值解出答案．【詳解】解：連接，

是的切線,，，，是等邊三角形，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中有關(guān)圓切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北武漢·武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？寄M預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為步，股（長直角邊）長為步，問該直角三角形內(nèi)能容納的最大圓的直徑是多少？”你的答案是（

）A．3步 B．4步 C．6步 D．17步【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，然后根據(jù)等面積法即可確定出內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，設(shè)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑為r，則，解得即直徑為步．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，在，三邊長為a，b，c（斜邊），如果內(nèi)切圓半徑為r，由面積法可得,熟記公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知的直徑與弦的夾角為，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)切線性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，在中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：連接，，，，，切于，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．6．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，連接，若，則______．

【答案】/32度【分析】由，由三角形外角的性質(zhì)得到，由切線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】，，，切于點(diǎn)A，直徑，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是___________．【答案】/40度【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：是的直徑，與相切于點(diǎn)，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）的半徑r和圓心O到直線l的距離d分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩根和與兩根積，則直線l與的位置關(guān)系是_____________．【答案】相交【分析】由以及題意知，，，由，可判斷直線l與的位置關(guān)系．【詳解】解：，由題意知，，∵，∴直線l與相交，故答案為：相交．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握．9．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形中，，將矩形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若是直角三角形，則點(diǎn)到直線的距離是__________．【答案】6或或【分析】由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，延長交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)是直角三角形，易得點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切于點(diǎn)E時(shí)，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【詳解】解：由題意矩形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，可知點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)是直角三角形，點(diǎn)到直線的距離為的長度，即，

當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切與點(diǎn)E時(shí)，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為外一點(diǎn)，，是的切線，，為切點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，．(1)求證：；(2)連接，若，的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）過作于，得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接，延長交于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：過作于，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，延長交于，∵，是的切線，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，是的切線，是的弦，且，垂足為E，連接并延長，交于點(diǎn)P．

(1)求證：；(2)若的半徑5，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和切線的性質(zhì)解答即