專題02二次函數(shù)中四邊形的存在性問(wèn)題-2023年中考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（專用）（原卷版）

專題02二次函數(shù)中四邊形的存在性問(wèn)題目錄最新?？碱}熱點(diǎn)題型歸納【題型一】梯形存在性【題型二】平行四邊形存在性【題型三】矩形存在性【題型四】菱形存在性【題型五】正方形存在性【題型一】梯形存在性【典例分析】（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸；（2）分別聯(lián)結(jié)AD、DC，CB，直線y＝4x+m與線段DC交于點(diǎn)E，當(dāng)此直線將四邊形ABCD的面積平分時(shí)，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)F為該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．【提分秘籍】梯形是相對(duì)限制較少的一類四邊形，要使得一個(gè)四邊形是梯形，只需要有其中一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行即可。所以，在此類問(wèn)題中，要么對(duì)點(diǎn)有較高的限制(在某一直線上)，要么對(duì)梯形形狀有較高要求(等腰或直角)。綜合利用各個(gè)條件，才能求出最后的結(jié)果【變式演練】1.（2023青浦區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫(xiě)出這條拋物線的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②向左或向右平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．2.【2021年青浦二?！浚?2分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時(shí)，求OE的長(zhǎng)．【題型二】平行四邊形存在性【典例分析】（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向左平移m個(gè)單位（m＞2），平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作A1、B1、C1，過(guò)點(diǎn)C1作C1D⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，使得以O(shè)、E、B1為頂點(diǎn)的三角形與△A1C1D相似，①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）②如果平移后的拋物線上存在點(diǎn)F，使得四邊形A1FEB1為平行四邊形，求m的值．【提分秘籍】解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算．難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快．已知定點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同，選用的方法也不同，通常有以下兩種情況：1、如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)．2、如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．【變式演練】1.【2021年楊浦二模】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．2．（2021·上海寶山區(qū)·九年級(jí)一模）已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)、．（1）求該拋物線的表達(dá)式以及對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在對(duì)稱軸上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．3.【2021年崇明二?！浚?2分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、CD、BD．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)稱軸；（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【題型三】矩形的存在性【典例分析】【提分秘籍】二次函數(shù)中的矩形存在性問(wèn)題相交于平行四邊形的存在性問(wèn)題而言，其難度更大。本文將從知識(shí)梳理和例題講解兩部分進(jìn)行講解，具體分析矩形存在性問(wèn)題中的“定”與“動(dòng)”以及具體的解題策略?！绢}型四】菱形的存在性【典例分析】（2022?嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求四邊形OABC的面積；（3）設(shè)拋物線y＝ax2+bx+3的對(duì)稱軸是直線l，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ADCE是菱形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【提分秘籍】在解決函數(shù)背景下的菱形的存在性問(wèn)題，我們需要先厘清菱形的判定：

(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都相等的四邊是菱形；

(3)對(duì)角線互相垂足平分的四邊形是菱形。在目前的問(wèn)題中，涉及的是：兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)全動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題或一個(gè)定點(diǎn)，三個(gè)半動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題。解題思路：思路1：先平四，再菱形

先根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定一組方程，再利用鄰邊相等，即利用距離公式列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解。思路2：先菱形，再平四

在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)定點(diǎn)和1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，利用距離公式求出半動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。再根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出另一個(gè)全動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。模型分析：分析：根據(jù)題意，先標(biāo)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，A(1,1)，B(5,4)，C(m,0)，D(x,y)，再依據(jù)思路1和思路2分析解答。

以思路1為例：先平四，再等腰以AB為對(duì)角線為例，先計(jì)算AB、CD中點(diǎn)，再利用AC=BC，可以得到C、D坐標(biāo)。

以此類推，得出另外兩種情況，即以AC、AD為對(duì)角線，解關(guān)于m,x,y的三元一次方程組，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)。以思路2為例：先等腰，再平四先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的存在性問(wèn)題確定點(diǎn)C，在確定點(diǎn)D。以AB=AC為例，利用距離公式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后再利用平行四邊形的存在性，計(jì)算BC、AD的中點(diǎn)，求出點(diǎn)D坐標(biāo)。以此類推，得到另外兩種情況，即AC=BC，AB=BC。先求出m的值，再解關(guān)于x,y的二元一次方程組。但是針對(duì)具體的問(wèn)題要具體分析，畫(huà)出圖形，看能否簡(jiǎn)便運(yùn)算。【變式演練】1.(2021年虹口區(qū))（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線H：交于點(diǎn)P(2，)，直線分別與直線l和雙曲線H交于點(diǎn)E、D．（1）求k和b的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如果ED=BO，求m的值；xOABP圖8yED（3）點(diǎn)CxOABP圖8yED2.【2021年徐匯區(qū)二?！咳鐖D，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E在x軸上，以CD為對(duì)角線作?CEDF．（1）當(dāng)點(diǎn)C在∠ABO的平分線上時(shí)，求上述拋物線的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如果點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，且?CEDF是菱形，求m的值．【題型五】正方形的存在性【典例分析】（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D，對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求證：菱形ABCD是正方形；（3）聯(lián)結(jié)OC，如果P是x軸上一點(diǎn)，且它的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，∠PCD＝∠BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【提分秘籍】從未知量的角度來(lái)說(shuō)，正方形可以有4個(gè)“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個(gè)等量關(guān)系，考慮對(duì)角線性質(zhì)，互相平分（2個(gè)）垂直（1個(gè)）且相等（1個(gè)）．比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說(shuō)的未知量小于方程個(gè)數(shù)，可能無(wú)解．從動(dòng)點(diǎn)角度來(lái)說(shuō)，關(guān)于正方形存在性問(wèn)題可分為：（1）2個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn);甚至可以有：（3）4個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．不管是哪一種類型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會(huì)列一個(gè)四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！常用處理方法思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn)．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知“兩定兩動(dòng)”的情形，若有3個(gè)或4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．【變式演練】1.【2021年黃浦區(qū)二?！浚?2分）如果拋物線C1：y＝ax2+bx+c與拋物線C2：y＝﹣ax2+dx+e的開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1