專題04一線三等角模型

專題04一線三等角模型基本模型：例題精講例1．（直角K字型）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到①的位置時(shí)，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到②的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到③的位置時(shí)，試問具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析，②見解析；(2)見解析；(3)【詳解】（1）①如圖1，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．②∵，∴，∵，∴．（2）如圖2，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）線段的熟練關(guān)系為：或或．理由如下：如圖3，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴或或．例2．（非直角K字型）【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴；應(yīng)用：解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．證明：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請(qǐng)寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：如圖1，∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：如圖2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【變式訓(xùn)練2】（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①ED=EA－BD；②1【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中點(diǎn)；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CDCE，∴ED=EA－BD；故答案為：ED=EA－BD②如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=APAD=1，∴EQ=1，∴△ADE的面積為．故答案為：1【變式訓(xùn)練3】已知：中，，，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)E作于H，連接DE，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí)，連接BE交直線AC于M，若，則的值為______．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)或【詳解】（1）∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．（3）當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴的值為；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，作于點(diǎn)G，同理可證：，，設(shè)，則，∵，∴∴，∴，，∴，綜上所述，的值為或，故答案為：或．【變式訓(xùn)練4】【問題背景】（1）如圖1，在中，，，，，垂足為E．求證：；【變式運(yùn)用】（2）如圖2，在中，，，．求；【拓展遷移】（3）如圖3，在中，，，與交于點(diǎn)，，，直接寫出的值．【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）8．【詳解】解：（1），，，，，，在與中，，；（2）過點(diǎn)B作，垂足為E，，，由（1）知，，；（3）過點(diǎn)B作，垂足為F，，，由（1）知，，，，，，．課后訓(xùn)練1．如圖，為等邊三角形，是邊上一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，在邊上取一點(diǎn)，使，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，在△EDB和△DFC中，,∴△EDB≌△DFC，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=60°，∴∠BED+∠BDE=120°，∴∠CDF+∠BDE=120°，∴∠EDF=180°（∠CDF+∠BDE）=180°120°=60°.故選C.2．如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且．(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，，則BE_________CF．②如圖2，若0°<∠BCA<180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與∠BCA關(guān)系的條件__________________，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；(2)如圖3．若線CD經(jīng)過∠BCA的外部，，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡(jiǎn)述理由【答案】(1)①BE＝CF；②，理由見解析(2)EF＝BE＋AF，理由見解析【詳解】（1）①∵∠BEC=∠CFA=α=90°，∴∠BCE+∠CBE=180°∠BEC=90°．又∵∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．②α+∠BCA=180°，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°∠BEC=180°α．又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°α．又∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°α．∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°α．∴∠EBC=∠FCA．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．故答案為：①BE＝CF；②（2）EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠ACF=180°∠BCA=180°α．又∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°∠BEC=180°α．∴∠EBC=∠FCA．在△BEC和△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS）．∴BE=CF，EC=FA．∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．3．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD＝AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE．連接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，則∠ABC＝°；(2)過D點(diǎn)作DG⊥AE，垂足為G．①填空：△DEG≌△；②求證：AE＝AF+BC；(3)如圖2，若點(diǎn)F是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫出線段AE，AF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．【答案】(1)60°；(2)①EFA；②見解析；(3)AE＝AF+BC，理由見解析【詳解】（1）解：如圖1：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，∵∠1=20°，∴∠2=∠DEF∠1=70°，∵∠EDA+∠2+∠3=180°，∠ADE＝50°∴∠3=60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠4=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC＝∠C∠4=60°．（2）解：①如圖1，過D作DG⊥AE于G，在△DEG中，∠2+∠5=90°，∵∠2+∠1=90°，∴∠1=∠5，∵DE=FE，在△DEG與△EFA中，，∴△DEG≌△EFA，故答案是：EFA；②∵△DEG≌△EFA，∴AF=EG，∵∠4+∠B=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠B，在△DAG與△ABC中，，∴△DAG≌△ABC，∴BC=AG，∴AE=EG+AG=AF+BC．（3）解：AE+AF=BC，理由如下：如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于M，∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°，∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，在△ADM與△BAC中，，∴△ADM≌△BAC，∴BC=AM，∵EF=DE，∠DEF=90°，∵∠3+∠DEF+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∵∠3+∠5=90°，∴∠4=∠5，在△MED與△AFE中，，∴△MED≌△AFE，∴ME=AF，∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，即AE+AF=BC．4．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；(2)如圖2，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，則的面積為．【答案】(1)；(2)見解析；(3)16【解析】（1）解：，，即，，，故答案為：；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)至，使，連接、、，設(shè)交于點(diǎn)，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，在與中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，故答案為：16．5．如圖ABD與AEC均為等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如圖1，若反向延長(zhǎng)ABC的高AM交DE于點(diǎn)N，過D作DH⊥MN．求證：DH＝AM，DN＝EN；（2）如圖2，若AM為ABC的中線，反向延長(zhǎng)AM交DE于點(diǎn)N，試探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）由（1）（2）的探究我們發(fā)現(xiàn)．（填“＜”“＞”或“＝”號(hào)，無(wú)需證明）【答案】（1）見解析；（2）DE＝2AM，見解析；（3）＝【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EP⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∵DH⊥MN，AM⊥BC，∴∠DHA＝∠AMB＝90°，∴∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＋∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠ABM，在△DAH與△ABM中，∴△DAH≌△ABM（AAS），∴DH＝AM，同理可得：△APE≌△CMA（AAS），∴EP＝AM，∴EP＝DH，∵DH⊥MN，EP⊥MN，∴∠DHN＝∠EPN＝90°，在△DHN與△EPN中，∴△DHN≌△EPN（AAS），∴DN＝EN；（2）解：DE＝2AM，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)G，使AM＝MG，連接GC，∵AM為△ABC的中線，∴BM＝CM，在△ABM與△GCM中，∴△ABM≌△GCM（SAS），∴AB＝GC，∠ABM＝∠GCM，∴AB//GC，∴∠BAC＋∠ACG＝180°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠DAE＋∠BAC＝360°－∠BAD－∠CAE＝180°，∴∠DAE＝∠ACG，∵AB＝GC，AB＝AD，∴AD＝GC，在△ADE與△CGA中，∴△ADE≌△CGA(SAS)，∴DE＝AG，∵AM＝MG，∴AG＝2AM，∴DE＝2AM；（3）解：∵△ABM≌△GCM，∴S△ABM＝S△GCM，∴S△ABM＋S△AMC＝S△GCM＋S△AMC，∴S△ABC＝S△AGC，∵△ADE≌△CGA，∴S△AGC＝S△DAE，∴S△ABC＝S△DAE，故答案為：＝．6．如圖1所示，已知AB為直線a上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線a上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)．（1）【問題探究】小華同學(xué)想探究圖1中線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系．他的方法是：作直線于點(diǎn)H，可以先證明和________，于是可得：________和________，所以得到線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系是________；（2）【方法應(yīng)用】在圖2中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)分別在直線a的上方和下方時(shí)，試探究三條線段、、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展延伸】在圖2中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)分別在直線a的上方和下方時(shí)，小華同學(xué)測(cè)得線段，，請(qǐng)用含有m、n的代數(shù)式表示△ABC的面積為________．【答案】（1）△CBH；；；；（2），理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）∵，，∴∠=∠CHA=，∴∠DA+∠AD=90°，∠AD+∠CAH=90°，∴∠DA=∠CAH，∵AD=AC，∴△DA≌△HAC，同理△CBH，∴D=AH，=BH，∴故答案為：△CBH，，，；（2）．理由：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，，∴，，在和中，∴≌，∴，同理可得：，∴，由圖可得：，∴；（3）∵CG=B，CG=A，∴B=A=（AB）=(mn)，∴△ABC的面積===，故答案為：.7．（1）如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)、．證明：①；②．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）成立：DE=BD+CE；證明見解析；（3）見解析【詳解】（1）①∵BD⊥直線l，CE⊥直線l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立：DE=BD+CE證明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如圖過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中∴△EMI≌△GNI（AAS）∴EI=GI∴I是EG的中點(diǎn)．8．已知點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)A，且，．①與全等嗎？請(qǐng)說明理由；②連接DE，試猜想的形狀，并說明理由；③是否成立？_________（填“成立”或“不成立”）．（2）類比探究如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)A，且，．試直接寫出的形狀為___________；此時(shí)線段DC、AE和AC之間的數(shù)量關(guān)系為__________（直接寫出結(jié)論，不用說明理由）．【答案】（1）①全等，理由詳見解析；②是等腰直角三角形，理由詳見解析；③成立；（2）等腰直角三角形，【詳解】解：（1）①全等．理由如下：∵，，∴，又∵，，∴．②是等腰直角三角形，理由如下：∵，∴，，在中．，∴，即，∴是等腰直角三角形．③∵≌，∴AE=BC，AB=CD，∴CD=AB=AC+BC=AC+AE,故答案為：成立；（2）∵，，∴，又∵，，∴．∴，，在中．，∴，即，∴是等腰直角三角形．∵AB=CD，AE=BC，∴AC=AB+BC=AE+CD，故答案為：等腰直角三角形，.9．已知：中，過B點(diǎn)作BE⊥AD，．(1)如圖1，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連，作于，交于點(diǎn)．求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，連，過作，且，連交于，連，問與有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上，且，連接、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）見詳解，（2），證明見詳解，（3）．【詳解】（1）證明：如圖1中，于，，，，，(AAS)，．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，作于交AC延長(zhǎng)線于．，