第15課時(shí)矩形的判定考點(diǎn)過關(guān)易錯(cuò)點(diǎn)警示及能力點(diǎn)拓展

第15課時(shí)矩形的判定（解析版）一、考點(diǎn)過關(guān)考點(diǎn)1靈活選用矩形的判定方法判定四邊形為矩形1．（2021春?武安市期末）四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD思路引領(lǐng)：由四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，得四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定定理知，只需添加條件是對(duì)角線相等．解：添加AC＝BD，理由如下：∵四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選：D．總結(jié)提升：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?豐順縣校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（）A．MB＝MO B．OM=12AC C．BD⊥AC D．∠AMB思路引領(lǐng)：由平行四邊形的性質(zhì)可知，OA＝OC，OB＝OD，再證OM＝ON，則四邊形AMCN是平行四邊形，然后證MN＝AC，即可得出結(jié)論．解：添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是OM＝AC，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)M、N滿足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵OM=12∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．故選：B．總結(jié)提升：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?單縣期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC思路引領(lǐng)：由矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B+∠A＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∴選項(xiàng)B不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)B符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．總結(jié)提升：本題考查了矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE思路引領(lǐng)：先證四邊形DBCE為平行四邊形，再由矩形的判定和菱形的判定進(jìn)行解答即可．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴∠BDE＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定、菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?蒙陰縣期中）如圖，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面給出四個(gè)結(jié)論：①BE＝CF；②AB＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四邊形ABCD是矩形．其中說法正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以分別判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四邊形BCFE是平行四邊形，∴BE＝CF，故①正確，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB＝DC，故②正確，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，∠AEB=∠DFC∠BAE=∠CDF∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝DC，∴S△ABE＝S△DCF，故③正確，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四邊形ABCD是矩形，故④正確，故選：D．總結(jié)提升：本題考查矩形的判斷、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．6．（2019春?晉江市期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)等于這個(gè)三角形的（）A．周長(zhǎng) B．周長(zhǎng)的一半 C．兩腰長(zhǎng)和的一半 D．兩腰長(zhǎng)的和思路引領(lǐng)：由DE∥AC、DF∥AB可得出四邊形AEDF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合四邊形AEDF的周長(zhǎng)即可得到結(jié)論．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴DE＝AF，AE＝DF，∴C四邊形AEDF＝AE+ED+DF+FA＝2（AE+BE）＝2AB，∵AB＝AC，∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)等于這個(gè)三角形的兩腰長(zhǎng)的和，故選：D．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)找出EB＝ED是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形．思路引領(lǐng)：利用三個(gè)內(nèi)角等于90°的四邊形是矩形，即可證明．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分別平分∠ABC與∠BCD，∴∠HBC=12∠ABC，∠HCB=1∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠BCD）∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．總結(jié)提升：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，難度適中．8．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）當(dāng)∠BOD＝90°時(shí)，四邊形BECD是菱形；（3）當(dāng)∠A＝50°，則當(dāng)∠BOD＝100°時(shí)，四邊形BECD是矩形．思路引領(lǐng)：（1）由AAS證明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出結(jié)論；（2）對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形；（3）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，證出DE＝BC，即可得出結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，∠OEB=∠ODC∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：當(dāng)∠BOD＝90°時(shí)，四邊形BECD是菱形；理由：∵四邊形BECD是平行四邊形，∴當(dāng)∠BOD＝90°時(shí)，四邊形BECD是菱形；（3）解：若∠A＝50°，則當(dāng)∠BOD＝100°時(shí)，四邊形BECD是矩形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形；故答案是：（2）90°；（3）100°．總結(jié)提升：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2利用平行線間的距離解決問題9．如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)E，圖中面積相等的三角形共有3對(duì)，分別是△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．思路引領(lǐng)：根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答．解：面積相等的三角形共有3對(duì)，分別是△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．故答案為：3；△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．總結(jié)提升：本題考查了梯形，三角形的面積，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．10．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）已知平面上四點(diǎn)A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直線y＝mx﹣m+2將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為﹣1．思路引領(lǐng)：根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)得到四邊形ABCD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)當(dāng)直線y＝mx﹣m+2過矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，直線把矩形的面積分成相等的兩部分，然后把中點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）代入y＝mx﹣m+2即可計(jì)算出m的值．解：∵點(diǎn)A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），∴四邊形ABCD為矩形，∵直線y＝mx﹣m+2將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，∴直線y＝mx﹣m+2過矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，而矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），∴2m﹣m+2＝1，∴m＝﹣1．故答案為﹣1．總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，熟知過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩部分是解本題的關(guān)鍵．二、拔尖提優(yōu)訓(xùn)練11．（2011春?雁江區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AE＝AF，過點(diǎn)E作EH⊥EF交DC于點(diǎn)H，過F作FG⊥EF交BC于G，當(dāng)AD、AB滿足AB＝AD（關(guān)系）時(shí)，四邊形EFGH為矩形．思路引領(lǐng)：利用矩形ABCD的四個(gè)內(nèi)角都是直角的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理推知△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．又由矩形EFGH的對(duì)邊FG＝EG推知ED＝BF，則AD＝AB．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°．又∵EH⊥EF，F(xiàn)G⊥EF∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四邊形EFGH是矩形，則EH＝FG，∴ED＝FB又∵AE＝AF，∴AD＝AB．故答案是：AD＝AB．總結(jié)提升：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)．平行四邊形具有的性質(zhì)矩形都具備，并且矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角．12．（2022春?鹽城期末）如圖，過四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，如所圍成的四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD需滿足的條件是AC⊥BD．（只需寫出一個(gè)符合要求的條件）思路引領(lǐng)：根據(jù)平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出∠E＝90°即可．解：添加的條件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E＝90°，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．總結(jié)提升：本題主要考查對(duì)矩形的判定，平行四邊形的判定，平行公理及推論等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出平行四邊形EFHGH和∠E＝90°是解此題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)．設(shè)AM的長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是2.4≤x＜4．思路引領(lǐng)：連接AP，首先根據(jù)勾股定理的逆定理可求出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出四邊形AEPF是矩形，由矩形的性質(zhì)求出AM=12EF=12AP，然后根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，利用直角三角形的面積公式可求出AP的最小值，結(jié)合點(diǎn)P不與點(diǎn)B，解：連接MP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝36+64＝100，又∵BC2＝100，∴AB2+AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴AM=12EF=當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短，此時(shí)S△BAC=12×6×8=解得AP＝4.8．即AP的范圍是AP≥4.8．當(dāng)P和C重合時(shí)，AP＝8，∴4.8≤AP＜8．∴2.4≤AM＜4．即2.4≤x＜4．故答案為：2.4≤x＜4．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，矩形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?柳州期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FD．（1）求證：AE=12（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判斷四邊形ACDF的形狀，并證明你的結(jié)論．思路引領(lǐng)：（1）證△AGF≌△DGC（ASA），得出AF＝CD，則AF＝AB，證AE是△BDF的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論；（2）證四邊形是ACDF平行四邊形，得出FG＝CG，證△AFG是等邊三角形，得出AG＝GF，則AD＝CF，再利用矩形的判定方法得出結(jié)論．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，AE＝CE，∴∠FAG＝∠CDG，∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∴GA＝GD，在△AGF和△DGC中，∠FAG=∠CDGAG=DG∴△AGF≌△DGC（ASA），∴AF＝CD，∴AF＝AB，∵AE＝CE，∴AE是△BDF的中位線，∴AE=12（2）解：四邊形ACDF是矩形．理由如下：由（1）得AF＝CD，AB＝AF，又∵AB∥CD，∴四邊形是ACDF平行四邊形，∴FG＝CG，又∵AG＝AB，∴AG＝AF，∴AB＝AG＝AF，∵∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG＝GF，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四邊形ACDF是矩形．總結(jié)提升：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2017?達(dá)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點(diǎn)E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的長(zhǎng)；（2）連接AE、AF．問：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，證出OE＝OC＝OF，∠ECF＝90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．（1）證明：∵EF交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=C∴OC＝OE=12（2）解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：連接AE、AF，如圖所示：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形．總結(jié)提升：此題主要考查了矩形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出∠ECF＝90°是解題關(guān)鍵．16．（2014春?沂水縣期末）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是如數(shù)學(xué)知識(shí)自身的生長(zhǎng)歷史一樣，往往起源于猜測(cè)中的發(fā)現(xiàn)，我們所發(fā)現(xiàn)的不一定對(duì)，但是當(dāng)利用我們已有的知識(shí)作為推理的前提論證之后，當(dāng)所發(fā)現(xiàn)的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．（1）嘗試證明：等腰三角形的探索中借助折