重難點(diǎn)專項(xiàng)突破08相似三角形中的“一線三等角”模型

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破08相似三角形中的“一線三等角”模型【知識梳理】一線三等角指的是有三個等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點(diǎn)在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點(diǎn)E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE【答案】24．【解析】，， ． 又，． ．． ， ．．在中，，．．【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等．例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作， 分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．AABCDEF【答案】．【解析】， 而， ． 又，． ，． ．． ， ． 又，．【總結(jié)】本題是對“一線三等角”模型的考查．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共3小題）1．（2020·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，為的邊上一點(diǎn)，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知證明△ADB∽△ABC,利用代值求解即可．【詳解】∵，∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=2∠A，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，∴∠ABD=∠A=∠C，∴△ADB∽△ABC，AD=BD∴，設(shè)BD=AD=x，則，即，解得：（不符題意，舍去），∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．2．（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、F分別是等腰三角形ABC邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的長為（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3.5【分析】注意到△BDF與△CED相似，利用相似比求出BF，然后得出AF的長度．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠FDE＝∠B，∴∠BDF+∠BFD＝∠BDF+∠EDC，∴∠BFD＝∠CDE，∴△BDF∽△CED，∴，∴，∴BF＝1.5，∴AF＝AB﹣BF＝AC﹣BF＝AE+CE﹣BF＝4．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．識別出圖形中的“一線三等角”模型從而得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△ADE與△ACD一定相似；②△ABD與△DCE一定相似；③當(dāng)AD＝3時，CE＝；④0＜CE≤2．其中正確的結(jié)論有幾個？（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】利用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可以判定①②正確；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的長，進(jìn)而得出③正確；利用判定③正確的結(jié)論，通過分析AD的取值范圍即可得出④正確．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4．∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠C＝45°．∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．∴①正確；∵∠ADE＝45°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．∵∠B＝45°，∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．∴∠BAD＝∠EDC．∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．∴②正確；由①知：△ADE∽△ACD，∴．∴AD2＝AE?AC．∴AE＝．∴EC＝AC﹣AE＝4﹣＝．∴③正確；∵點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），∴0＜AD＜4．∵垂線段最短，∴當(dāng)AD⊥BC時，AD取得最小值＝BC＝2．∴2≤AD＜4．∵AD2＝AE?AC，∴AE＝＝．∴2≤AE＜4．∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，∴0＜CE≤2．∴④正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共2題）4．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動過程中，點(diǎn)G的運(yùn)動路徑=________，△CEF面積的最小值是________．【答案】215【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，因?yàn)镚N為△ABE的中位線，故G的運(yùn)動路徑為線段MN；過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接MN，∵E為邊AD上一個動點(diǎn)，點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動，G是BE的中點(diǎn)∴當(dāng)E在A點(diǎn)時，BE與AB重合，G與AB的中點(diǎn)N重合，當(dāng)E運(yùn)動到D點(diǎn)時，BE與BD重合，G與BD的中點(diǎn)M重合，∴E在從A到D的運(yùn)動過程中，MN為△ABE的中位線，∴．故G的運(yùn)動路徑=2，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點(diǎn)，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF

∴當(dāng)時，△CEF面積的最小值故答案為：2，15．【點(diǎn)睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立△CEF面積與AE長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽淮北·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）6．（2021秋?大觀區(qū)校級期中）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【分析】（1）利用“一線三直角”證明△OCP∽△PDA，繼而得出＝；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得AB的長度．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【點(diǎn)評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?碭山縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC是對角線，且AB＝AC．F是BC邊上一動點(diǎn)，連接AF，DF，DF交AC于點(diǎn)E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求證：AC?EC＝BF?CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如圖2，若DF∥AB，求的值；②如圖3，若DF＝DC，求△DCF的面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF＝∠FCE，再根據(jù)∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠ABF+∠FAB得出∠EFC＝∠FAB，證△ABF∽△FCE，根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①證△ABF∽△CBA，得，再根據(jù)，最后利用平行線分線段成比例得出得出結(jié)論即可；②過點(diǎn)A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點(diǎn)A作AG⊥DN于點(diǎn)G，根據(jù)三角函數(shù)得出，證△AMF∽△AGD，根據(jù)線段比例關(guān)系分別求出CF和DN的值即可求出△DCF的面積．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABF＝∠FCE，∵∠AFD＝∠B，∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠B+∠FAB，∴∠EFC＝∠FAB，∴△FAB∽△EFC，∴，即AB?EC＝BF?CF；（2）解：①∵DF∥AB，∴∠BAF＝∠AFE，∴∠BAF＝∠ACB，又∵∠ABF＝∠CBA，∴△FAB∽△ACB，∴，∴，∴，∵DF∥AB，∴；②如圖，過點(diǎn)A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點(diǎn)A作AG⊥DN于點(diǎn)G，在△ABC中，AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝8，則，∴，∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝90°，∴，∵∠AMN＝∠GNM＝∠AGN＝90°，∴四邊形MNGA是矩形，∴GN＝AM＝6，∠MAG＝90°，又∵∠FAD＝90°，則∠FAM+∠FAG＝∠DAG+∠FAG＝90°，∴∠FAM＝∠DAG．又∵∠AMF＝∠AGD＝90°，∴△FAM∽△DAG，∴，則，∴，則，∵DF＝CD，∴CF＝2CN＝7，∴FM＝CM﹣CF＝1，由△FAM∽△DAG，得＝＝，∴DG＝，∴DN＝DG+GN＝+6＝，∴S△DCF＝CF?DN＝×＝．【點(diǎn)評】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識是解題的關(guān)鍵．8．（2017秋?固鎮(zhèn)縣月考）已知：如圖．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果，AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1或x＝2是原分式方程的解，∴DC＝1或DC＝2．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．9．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，于，于，試說明：（1）（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明△ADE∽△ACB，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴．在△ADE和△ACB中，∴△ADE∽△ACB∴∴AD·BC=DE·AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一動點(diǎn)，連接BE，作CF⊥BE分