專題12角的計(jì)算綜合題

專題12角的計(jì)算（綜合題）易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)01：角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．細(xì)節(jié)剖析：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．細(xì)節(jié)剖析：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)02：方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．細(xì)節(jié)剖析：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”．（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)03：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2021秋?東莞市期末）已知∠AOB＝55°，∠BOC＝20°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．75° B．35° C．75°或35° D．無(wú)法確定【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】分清OC在∠AOB內(nèi)部還是外部就可求出答案【規(guī)范解答】解：①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝55°﹣20°＝35°②當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝55°+20°＝75°綜上所述∠AOC＝35°或75°．故選：C．【考察注意點(diǎn)】根據(jù)題意畫出圖形，本題中易錯(cuò)的地方是漏掉其中的一種情況，所以求解時(shí)要分情況討論．2．（2021秋?南開(kāi)區(qū)期末）如圖，∠AOB＝α，OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線，OA2、OB2分別是∠A1OM和∠MOB1的平分線，OA3、OB3分別是∠A2OM和∠MOB2的平分線，…，OAn，OBn分別是∠An﹣1OM和∠MOBn﹣1的平分線，則∠AnOBn的度數(shù)是（）A． B． C． D．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)分別表示出∠A1OB1、∠A2OB2、…，即可歸納出此題規(guī)律，求得此題結(jié)果．【規(guī)范解答】解：∵OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線，∴∠A1OM＝∠AOM，∠B1OM＝∠BOM，∴∠A1OB1＝∠A1OM+∠B1OM＝∠AOM+∠BOM＝（∠AOM+B0M）＝∠AOB＝α，同理，∠A2OB2＝∠A1OB1＝×α＝α，∠A3OB3＝∠A2OB2＝×α＝α，…∴∠AnOBn＝，故選：C．【考察注意點(diǎn)】此題考查了角度的計(jì)算與規(guī)律歸納的能力，關(guān)鍵是能利用角的平分線性質(zhì)及和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算推理與規(guī)律歸納．3．（2020秋?東西湖區(qū)期末）將一張正方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，CE、CF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B'、D'，若∠ECF＝21°，則∠B'CD'的度數(shù)為（）A．35° B．42° C．45° D．48°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】可以設(shè)∠ECB′＝α，∠FCD′＝β，根據(jù)折疊可得∠DCE＝∠D′CE，∠BCF＝∠B′CF，進(jìn)而可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)∠ECB′＝α，∠FCD′＝β，根據(jù)折疊可知：∠DCE＝∠D′CE，∠BCF＝∠B′CF，∵∠ECF＝21°，∴∠DCE＝∠D′CE＝21°+β，∠BCF＝∠B′CF＝21°+α，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∴21°+β+21°+21°+α＝90°，∴α+β＝27°，∴∠B'CD'＝∠B′CE+∠D′CF+∠ECF＝α+β+21°＝48°．故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)．4．（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）α，β都是鈍角，有四名同學(xué)分別計(jì)算（α+β），卻得到了四個(gè)不同的結(jié)果，分別為26°，50°，72°，90°，老師判作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)其中有正確的結(jié)果，那么計(jì)算正確的結(jié)果是（）A．26° B．50° C．72° D．90°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)鈍角的取值范圍，得到兩個(gè)鈍角和的取值范圍，除以6后看所給的哪個(gè)角在這個(gè)范圍內(nèi)即可．【規(guī)范解答】解：∵α、β都是鈍角，∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，∴180°＜α+β＜360°，∴30°＜（α+β）＜60°，∴計(jì)算正確的結(jié)果是50°．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是求（α+β）的范圍．5．（2021春?高青縣期中）已知∠AOB＝70°，以O(shè)端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．42° B．98° C．42°或98° D．82°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】依據(jù)OC的位置分兩種情況討論，利用分類討論思想求解即可．【規(guī)范解答】解：①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣28°＝42°；②當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+28°＝98°．故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是角的計(jì)算，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．6．（2021秋?河北區(qū)校級(jí)期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置（∠D＝30°、∠BAC＝45°），將三角板DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且0°＜∠CBE＜90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90°的次數(shù)為2次；④在圖1的情況下，作∠DBF＝∠EBF，則AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】①計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度大于45°時(shí)，∠DBC+∠ABE的大小與105°比較便可得結(jié)論；②利用角的和差與角的平分線得∠MBN＝∠DBC﹣∠DBA﹣∠CBE，便可求出其值；③由當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，BD⊥BC，當(dāng)旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，DE⊥AB，當(dāng)旋轉(zhuǎn)75°時(shí)，DB⊥AB，便可得結(jié)論；④當(dāng)BE在∠DBE外時(shí)，作圖判斷便可．【規(guī)范解答】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為x°，①當(dāng)x＞45°時(shí)，∠DBC+∠ABE＝（x+60）°+（x﹣45）°＝（2x+15）°＞105°，于是此小題結(jié)論錯(cuò)誤；②∠MBN＝∠DBC﹣∠DBM﹣∠CBN＝∠DBC﹣∠DBA﹣∠CBE＝（60+x）°﹣（15+x）°﹣x°＝52.5°，于是此小題的結(jié)論正確；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，BD⊥BC，當(dāng)旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，DE⊥AB，當(dāng)旋轉(zhuǎn)75°時(shí)，DB⊥AB，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90°的次數(shù)為3次，于是此小題結(jié)論錯(cuò)誤；④當(dāng)BE在∠DBE外時(shí)，如下圖所示，雖然∠DBF＝∠EBF，但AB不平分∠DBF，于是此小題的結(jié)論錯(cuò)誤．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計(jì)算．7．（2022春?墾利區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，連接EF．將∠BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF上的點(diǎn)B'處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A'處，得折痕EN．則∠NEM的度數(shù)為（）A．105° B．90° C．60° D．不能確定【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，從而可得∠NEM＝∠AEB，進(jìn)而求解．【規(guī)范解答】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，∴∠NEM＝∠FEN+∠FEM＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查角的計(jì)算，解題關(guān)鍵通過(guò)翻折得到角相等．二．填空題8．（2021秋?禮泉縣期末）如圖，∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射線OM、ON分別平分∠AOB與∠COD，又∠MON＝90°，則∠AOB為30度．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】首先設(shè)出未知數(shù)，然后利用角的和差關(guān)系和角平分線的性質(zhì)列出方程，即可求出∠AOB的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：設(shè)∠AOB＝2x°，則∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，∵射線OM、ON分別平分∠AOB與∠COD，∴∠BOM＝∠AOB＝x°，∠CON＝∠COD＝2x°，又∵∠MON＝90°，∴x+3x+2x＝90，x＝15，∴∠AOB＝15°×2＝30°．故答案為：30°．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系，解題時(shí)要能根據(jù)圖形找出等量關(guān)系列出方程，求出角的度數(shù)．9．（2021?涼山州模擬）已知射線OA，從O點(diǎn)再引射線OB，OC，使∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，則∠AOC的度數(shù)為18°52′或116°10′【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】此題考慮兩種情況：①OC在OA、OB之間；②OB在OA、OC之間．分別畫圖計(jì)算即．【規(guī)范解答】解：如右圖所示，①OC在OA、OB之間，∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，＝67°31′﹣48°39′，＝66°91′﹣48°39′，＝18°52′；②OB在OA、OC之間，∵∠AOB＝67°31′，∠BOC＝48°39′，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝67°31′+48°39′＝115°70′＝116°10′；故答案是18°52′或116°10′．【考察注意點(diǎn)】本題考查角度的計(jì)算，是多解問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是漏解，因?yàn)轭}目中沒(méi)有交代其中的位置關(guān)系，所以求解時(shí)要討論，在線段的計(jì)算中有時(shí)也出現(xiàn)類似的情況．10．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，則∠AOD等于30度．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】先求出∠AOC，根據(jù)角平分線定義求出∠AOD即可．【規(guī)范解答】解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC＝30°，故答案為：30．【考察注意點(diǎn)】本題考查了角的計(jì)算和角平分線定義．掌握角平分線的定義的運(yùn)用，能求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．11．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)B′處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN．∠FEG＝20°，則∠MEN＝100°或80°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)，根據(jù)∠MEN＝∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB?∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°?20°）＝80°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°+20°）＝100°，∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，綜上，∠MEN的度數(shù)為100°或80°，故答案為：100°或80°．【考察注意點(diǎn)】本題考查角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．12．（2021秋?秦淮區(qū)期末）一副三角板AOB與COD如圖1擺放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．當(dāng)三角板COD繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（從圖1到圖2）．設(shè)圖1、圖2中的∠NOM的度數(shù)分別為α，β，α+β＝105度．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線的意義，以及角的和與差，分別表示出∠MON，然后利用兩個(gè)圖形分別計(jì)算α、β即可．【規(guī)范解答】解：如圖1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°+∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°+∠BOD），∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD＝（45°+60°），如圖2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°﹣∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°﹣∠BOD），∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD＝（45°+60°），∴α+β＝45°+60°＝105°，故答案為：105．【考察注意點(diǎn)】考查角平分線的意義，圖形中角的和與差，等量代換和恒等變形是常用的方法．13．（2021秋?市中區(qū)期末）點(diǎn)O為直線l上一點(diǎn)，射線OA、OB均與直線l重合，將射線OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0≤α≤90°），過(guò)點(diǎn)O作射線OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC內(nèi)部，ON在∠COD內(nèi)部），當(dāng)∠MON＝α?xí)r，則α＝20°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由平角的定義可得∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，由已知條件可得∠CON＝，∠COM＝30°﹣，利用∠COM＝∠MON+∠CON，即可求得α．【規(guī)范解答】解：由題意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，∵∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD，∴∠CON＝，∠COM＝（90°﹣α）＝30°﹣，∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝α∴30°﹣＝α+，解得：α＝20°．故答案為：20°．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查角計(jì)算，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．三．解答題14．（2021秋?綿陽(yáng)期末）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OM，ON在直線AB的異側(cè)，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分∠AON．（1）若∠BOM＝150°，求∠BOE和∠NOF的度數(shù)；（2）設(shè)∠AOF＝θ，用含θ的式子表示∠MOE．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】解：（1）由OE平分∠BOM，可以求出∠BOE的度數(shù)，根據(jù)平角求出∠AOM30°，由∠MON＝90°，求出∠AON＝90°﹣30°＝60°，再根據(jù)OF平分∠AON，即可求出∠NOF的度數(shù)．（2由OF平分∠AON，得到∠AON＝2θ，所以∠MOA＝90°﹣2θ，由平角得到∠BOM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，再根據(jù)OE平分∠MOB，即可求出∠MOE．【規(guī)范解答】解：（1）∵OE平分∠BOM，∠BOM＝150°，∴∠BOE＝，∵∠BOM＝150°，∴∠AOM＝180°﹣150°＝30°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣30°＝60°，∵OF平分∠AON，∴∠NOF＝．（2）∵∠AOF＝θ，OF平分∠AON，∴∠AON＝2θ，∵∠MON＝90°，∴∠MOA＝90°﹣2θ，∴∠BOM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，∵OE平分∠MOB，∴∠MOE＝．【考察注意點(diǎn)】本題考查角的計(jì)算，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是厘清各角之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022春?廣饒縣期末）直線AB外有一定點(diǎn)C，O是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)O從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察∠α的變化情況，正確的是B．A．逐漸變大B．逐漸變小C．大小不變D．無(wú)法確定（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到∠α＝140°時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)停止，然后將射線OB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2位置，且∠AOC：∠BOC＝1：2．①求圖2中∠AOC，∠BOC的度數(shù)；②在圖2的基礎(chǔ)上，作射線OM平分∠AOC，在∠BOC內(nèi)作射線ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，如圖3，求∠MON的度數(shù)．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）由圖形及角的概念即可得到答案；（2）①根據(jù)α的度數(shù)可得∠AOC＝40°，再根據(jù)比例可得∠BOC的度數(shù)；②根據(jù)角之間的比例關(guān)系可得∠CON和∠MOC的度數(shù)，再根據(jù)角的和差可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠α逐漸變小，故選：B；（2）①當(dāng)∠α＝140°時(shí)，∠AOC＝180°﹣140°＝40°，∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∴∠BOC＝2∠AOC＝80°，答：∠AOC＝40°，∠BOC＝80°；②由①得，∠BOC＝80°，∵∠CON：∠BON＝1：3，∴∠CON＝∠BOC＝20°，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝AOC＝20°，∴∠MON＝20°+20°＝40°．【考察注意點(diǎn)】此題主要考查角的運(yùn)算和旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，理清圖形中的角的和差關(guān)系，以及旋轉(zhuǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?方城縣期末）（1）如圖1所示，將兩塊不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．①若∠DCE＝25°，則∠ACB＝155°；若∠ACB＝130°，則∠DCE＝50°．②猜想∠ACB與∠DCE有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2所示，若兩個(gè)相同的三角尺的60°角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是銳角），如圖3所示，∠AOD與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不說(shuō)明理由．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；②根據(jù)∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（2）根據(jù)∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（3）根據(jù)∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【規(guī)范解答】解：（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案為：155°，50°；②∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠DCB+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝180°；（2）∠DAB與∠CAE的數(shù)量關(guān)系是：∠DAB+∠CAE＝120°．理由：∵∠DAB+∠CAE＝（∠DAC+∠BAC）+∠CAE＝∠DAC+∠BAC+∠CAE＝∠DAC+（∠BAC+∠CAE）＝∠DAC+∠BAE又∠DAC＝∠BAE＝60°，∴∠DAB+∠CAE＝60°+60°＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．【考察注意點(diǎn)】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用角的和差進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，求解過(guò)程類似．17．（2021秋?松滋市期末）（問(wèn)題）（1）如圖①，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，若線段AB＝26cm，則線段DE的長(zhǎng)為13cm．（拓展）（2）在（問(wèn)題）中，若把條件“如圖①，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)”改為“如圖②，點(diǎn)C是線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”，其余條件不變，試求DE的長(zhǎng)．（應(yīng)用）（3）如圖③，∠AOB＝α，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)部，射線OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，則∠MON的大小為α（用含字母α的式子表示）；（4）如圖④，在（3）中，若點(diǎn)C在∠AOB外部，且射線OC與射線OB在OA所在直線的同側(cè)，其他條件不變，則（3）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)寫出求解過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義，結(jié)合線段的中點(diǎn)定義解題即可；（2）當(dāng)C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用DE＝DC﹣CE求出即可；（3）根據(jù)角平分線的定義解題即可；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，利用角平分線的定義解題即可【規(guī)范解答】解：（1）∵點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，∴CD＝AC，CE＝BC，∵AB＝26cm，∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13cm，故答案為：13；（2）如圖，當(dāng)C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，∴CD＝AC，CE＝BC，∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13cm；答：DE的長(zhǎng)度等于13cm；（3）∵射線OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，故答案為：α；（4）（3）結(jié)論成立，理由如下：∵射線OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，∴（3）中的結(jié)論成立．【考察注意點(diǎn)】本題考查角平分線的定義，兩點(diǎn)間距離，熟練掌握角平分線的定義，線段的中點(diǎn)定義，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．18．（2021秋?濱海縣期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠AOB，則我們稱射線OC是射線OA的“友好線”．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠AOB，稱射線OC是射線OA的友好線；同時(shí)，由于∠BOD＝∠AOB，稱射線OD是射線OB的友好線．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的友好線，則∠AOM＝40°；（2）如圖3，∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止；①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是40°，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是另一條射線的友好線．（直接寫出答案）【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)新定義直接可得答案；（2）①分兩種情況：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；②分4種情況：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好線時(shí)，∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好線時(shí)，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好點(diǎn)∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好點(diǎn)，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，分別解方程即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵射線OM是射線OA的友好線，∴∠AOM＝∠AOB＝40°，故答案為：40°；（2）射線OD與射線OA重合時(shí)，t＝60（秒），①存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是40°，有兩種情況：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，∴t＝28；在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，∴t＝44，綜上所述，當(dāng)t為28秒或44秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是40°；②相遇之前，（Ⅰ）如圖：OC是OA的友好線時(shí)，∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），∴t＝20；（Ⅱ）如圖：OC是OD的友好線時(shí)，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），∴t＝30；相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好點(diǎn)∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，∴t＝，（Ⅳ）OD是OA的友好點(diǎn)，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，∴t＝，綜上所述，當(dāng)t為20秒或30秒或秒或秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是另一條射線的友好線．【考察注意點(diǎn)】本題考查角的和差及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義，用方程的思想解決問(wèn)題．19．（2021秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOC＝36°，此時(shí)∠COD繞點(diǎn)O以每秒6°沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒（0≤t＜60），請(qǐng)直接寫出∠AOC和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）由補(bǔ)角及直角的定義可求得∠BOD的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解∠DOE的度數(shù)；（2）由角平分線的定義可得∠EOF＝∠COD，進(jìn)而可求解；（3）可分兩總情況：①0＜t≤6時(shí)，6＜t＜60時(shí)，分別計(jì)算可求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOC，∠BOF＝∠BOD，∴∠EOF＝∠