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全等三角形基本模型綜合訓練(五)1.如圖,在△ABC中,AB=4,AC=2,點D為BC的中點,則AD的長可能是()A.1 B.2 C.3 D.42.如圖,點P,D分別是∠ABC邊BA,BC上的點,且,.連結PD,以PD為邊,在PD的右側作等邊△DPE,連結BE,則△BDE的面積為(

)A. B.2 C.4 D.3.如圖,△ABC是邊長為4的等邊三角形,點P在AB上,過點P作PE⊥AC,垂足為E,延長BC至點Q,使CQ=PA,連接PQ交AC于點D,則DE的長為()A.1 B.1.8 C.2 D.2.54.如圖,O是正內(nèi)一點,,,.將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,下列結論錯誤的是(

)A.點O與的距離為4B.C.S四邊形AOBO′ D.5.如圖,AB=AD,AC=AE,,AH⊥BC于H,HA的延長線交DE于G,下列結論:①DG=EG;②BC=2AG;③AH=AG;④,其中正確的結論為()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④6.如圖所示,中,.直線l經(jīng)過點A,過點B作于點E,過點C作于點F.若,則__________.7.等腰直角三角形ABC中,,,且△ABC的面積為16,過點B作直線,點G是直線EF上的一個動點,連接AG,將AG繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到線段AH,連接BH,則線段BH的最小值為______.8.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置,連接BC',BC'的延長線交AB'于點D,則BD的長為_____.9.如圖,點C為線段的中點,E為直線上方的一點,且滿足,連接,以為腰,A為直角頂點作等腰,連接,當最大,且最大值為時,則_________.10.如圖,在中,分別以、為邊向外作正方形、,連接、、、,若,則四邊形的面積__________.11.(1)【初步探索】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC、CD上的點,且EF=BE+FD,探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是:延長FD到點G,使DG=BE.連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是;(2)【靈活運用】如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分別是BC、CD上的點,且EF=BE+FD,上述結論是否仍然成立,并說明理由;(3)【拓展延伸】如圖3,已知在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若點E在CB的延長線上,點F在CD的延長線上,仍然滿足EF=BE+FD,請寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系,并給出證明過程.12.在平面直角坐標系中,點的坐標為,點為軸正半軸上的一個動點,以為直角頂點,為直角邊在第一象限作等腰Rt.(1)如圖1,若,則點的坐標為______;(2)如圖2,若,點為延長線上一點,以為直角頂點,為直角邊在第一象限作等腰Rt,連接,求證:;(3)如圖3,以為直角頂點,為直角邊在第三象限作等腰Rt.連接,交軸于點,求線段的長度.全等三角形基本模型綜合訓練(五)1.如圖,在△ABC中,AB=4,AC=2,點D為BC的中點,則AD的長可能是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【詳解】解:延長AD到E,使DE=AD,連接BE,在△ADC和△EDB中,,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=2,在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE,即2<2AD<6,解得1<AD<3,故選:B.2.如圖,點P,D分別是∠ABC邊BA,BC上的點,且,.連結PD,以PD為邊,在PD的右側作等邊△DPE,連結BE,則△BDE的面積為(

)A. B.2 C.4 D.【答案】A【詳解】解:過點作,垂足為,過點作,垂足為,在中,,,,,,是等邊三角形,,,,,,,,,,的面積,故選:A.3.如圖,△ABC是邊長為4的等邊三角形,點P在AB上,過點P作PE⊥AC,垂足為E,延長BC至點Q,使CQ=PA,連接PQ交AC于點D,則DE的長為()A.1 B.1.8 C.2 D.2.5【答案】C【詳解】解:過作的平行線交于,,是等邊三角形,,,是等邊三角形,,∵CQ=PA,∴在中和中,,≌,,于,是等邊三角形,,,,,,故選:C.4.如圖,O是正內(nèi)一點,,,.將線段以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,下列結論錯誤的是(

)A.點O與的距離為4 B.C.S四邊形AOBO′ D.【答案】D【詳解】解:如圖1,連接OO′,由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,又∵OB=O′B,AB=BC,∴,又∵∠OBO′=60°,∴△OBO′是等邊三角形,∴OO′=OB=4.故A正確;∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.在△AOO′中,三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,故B正確;S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42=6+4,故C正確;如圖2將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°到位置,同理可得,故D錯誤;故選D.5.如圖,AB=AD,AC=AE,,AH⊥BC于H,HA的延長線交DE于G,下列結論:①DG=EG;②BC=2AG;③AH=AG;④,其中正確的結論為()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】B【詳解】解:①如圖,過點分別作的垂線交及的延長線于點,AB=AD,AC=AE,,AH⊥BC,,同理可得,,,又,,,故①正確②如圖,延長至,使,連接,,,,如圖,取的中點,連接并延長至,使得,是的中點,,,,,,,,,又,,,,③如圖,由①可知,故不一定等于故③不正確④如圖,由②可知,,,,故④正確,綜上所述,故正確的有①②④故選B6.如圖所示,中,.直線l經(jīng)過點A,過點B作于點E,過點C作于點F.若,則__________.【答案】7【解析】【詳解】解:∵BE⊥l,CF⊥l,∴∠AEB=∠CFA=90°.∴∠EAB+∠EBA=90°.又∵∠BAC=90°,∴∠EAB+∠CAF=90°.∴∠EBA=∠CAF.在△AEB和△CFA中,∵∠AEB=∠CFA,∠EBA=∠CAF,AB=AC,∴△AEB≌△CFA.∴AE=CF,BE=AF.∴AE+AF=BE+CF.∴EF=BE+CF.∵,∴;故答案為:7.7.等腰直角三角形ABC中,,,且△ABC的面積為16,過點B作直線,點G是直線EF上的一個動點,連接AG,將AG繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到線段AH,連接BH,則線段BH的最小值為______.【答案】【詳解】如圖所示:連接CG.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:,.∵,∴,即.在和中,,,∴要讓最小,也就是要最小,∴時,最?。撸?,∴∵,∴四邊形ABGC時矩形,∵,∴矩形ABGC是正方形.,∴.∵△ABC的面積為16,∴,解得:.∴.故答案為:8.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置,連接BC',BC'的延長線交AB'于點D,則BD的長為_____.【答案】【詳解】解:如圖,連接BB′,∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′,∴AB=AB′,∠BAB′=60°,∴△ABB′是等邊三角形,∴AB=BB′,在△ABC′和△B′BC′中,,∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),∴∠ABC′=∠B′BC′,延長BC′交AB′于D,則BD⊥AB′,∵∠C=90°,AC=BC=,∴AB==2=AB’,∴AD=∴BD=,故答案為:9.如圖,點C為線段的中點,E為直線上方的一點,且滿足,連接,以為腰,A為直角頂點作等腰,連接,當最大,且最大值為時,則_________.【答案】2【詳解】解:如圖1中,將線段CA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AH,連接CH,DC.∵∠DAE=∠HAC=90°,∴∠DAH=∠EAC,∵DA=EA,HA=CA,∴△DAH≌△EAC(SAS),∴DH=CE,∵CD≤DH+CH,,∴當D,C,H共線時,DC最大值=,如圖2中,設AC=x,則BC=CE=DH=x,CH=,∴+x=,解得:x=1,∴AB=2AC=2.故答案是:2.10.如圖,在中,分別以、為邊向外作正方形、,連接、、、,若,則四邊形的面積__________.【答案】18【詳解】解:連接FD,設CF與AD交于點M,CF與AB交于點N,如圖:∵四邊形ABFG、BCED是正方形,∴AB=FB,CB=DB,∠ABF=∠CBD=90°,∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠ABD=∠CBF,在△ABD和△FBC中,,∴△ABD≌△FBC(SAS);∴AD=FC,∠BAD=∠BFC,∴∠AMF=180°﹣∠BAD﹣∠CNA=180°﹣(∠BFC+∠BNF)=180°﹣90°=90°,∴AD⊥CF,∵AD=6,∴FC=AD=6,四邊形ACDF的面積.故答案為:18.11.(1)【初步探索】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC、CD上的點,且EF=BE+FD,探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是:延長FD到點G,使DG=BE.連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是;(2)【靈活運用】如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分別是BC、CD上的點,且EF=BE+FD,上述結論是否仍然成立,并說明理由;(3)【拓展延伸】如圖3,已知在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若點E在CB的延長線上,點F在CD的延長線上,仍然滿足EF=BE+FD,請寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系,并給出證明過程.【答案】(1);(2)成立,理由見解析;(3),證明見解析【解析】(1)解:.理由:如圖1,延長到點,使,連接,根據(jù)可判定,進而得出,,再根據(jù)可判定,可得出.故答案為:;(2)解:仍成立,理由:如圖2,延長到點,使,連接,,,,又,,,,,,,;(3)解:.證明:如圖3,在延長線上取一點,使得,連接,,,,又,,,,,,,,,,,即,.12.在平面直角坐標系中,點的坐標為,點為軸正半軸上的一個動點,以為直角頂點,為直角邊在第一象限作等腰Rt.(1)如圖1,若,則點的坐標為______;(2)如圖2,若,點為延長線上一點,以為直角頂點,為直角邊在第一象限作等腰Rt,連接,求證:;(3)如圖3,以為直角頂點,為直角邊在第三象限作等腰Rt.連接,交軸于點,求線段的長度.【答案】(1)點C(3,7);(2)證明見詳解過程;(3)2.【解析】(1)如圖1,過點C作CH⊥y軸于H,∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°,∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO,∴∠ABO=∠BCH,在△ABO和△BCH中,,∴△ABO≌△BCH(AAS),∴CH=OB=3,BH=AO=4,∴OH=7,點C(3,7),故答案為:(3,7);(2)過點E作EF⊥x軸于F,∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°,∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO,∴∠DBO=∠EDF,在△BOD

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