第2章對稱圖形圓（圓的內(nèi)切與外接與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖）

第二章對稱圖形圓一、外接圓和內(nèi)切圓1、在⊙O上任取三點A、B、C，分別連結(jié)AB、BC、CA，則⊙O叫做△ABC的外接圓，O點叫做△ABC的外心，它是△ABC三條中垂線的交點．點O到三角形三個頂點的距離相等．2、如果⊙I與△ABC的三邊相切，則⊙I叫做△ABC的內(nèi)切圓，圓心I叫做△ABC的內(nèi)心．△ABC的內(nèi)心就是△ABC三條內(nèi)角平分線的交點．點I到三角形三邊的距離相等．3、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，鈍角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心是斜邊中點．而它們的內(nèi)心均在三角形內(nèi)部．典例1兩直角邊是5和12的直角三角形中，其內(nèi)心和外心之間的距離是．【答案】【詳解】試題解析：如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB=13，設(shè)M為AB的中點∴AM為外接圓半徑．設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則OD=OE=r，∠C=90°，∵四邊形OECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=5r，BD=BN=12r，即5r+12r=13，解得r=2，∴AN=3；在Rt△OMN中，MN=AMAN=，∴OM=．典例2若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為.【答案】或【分析】分兩種情形討論：①當圓心O在△ABC內(nèi)部時．②當點O在△ABC外時．分別求解即可．【詳解】①當圓心O在△ABC內(nèi)部時，作AE⊥BC于E．∵OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，∴AE=OA+OE=2+，∴S△ABC=?BC?AE=×2×（2+）=2+．②當點O在△ABC外時，連接OA交BC于E．S△ABC=?BC?AE=×2×（2）=2，故答案為2+或2．典例3已知的兩直角邊長分別為3和4，則它的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，再根據(jù)切線長定理求得內(nèi)切圓的半徑，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∴外接圓半徑為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，∵∴，∴四邊形是矩形，∵，∴該四邊形為正方形，∴，∴，，∴，解得．∴它的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為．故答案為：．跟蹤訓練1如圖，內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半徑；（2）求AD的長．【答案】（1）5；（2）12【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，求出OB；（2）連接OA，過點O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根據(jù)垂徑定理求出DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OF，根據(jù)勾股定理求出AE，結(jié)合圖形計算得到答案．【詳解】解：（1）如圖1，連接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圓周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如圖2，連接OA，過點O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四邊形OFDE為矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．跟蹤訓練2我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形內(nèi)切圓半徑為，則大正方形的內(nèi)切圓半徑為（）

A． B． C．15 D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，則四邊形為正方形，然后利用內(nèi)切圓和直角三角形的性質(zhì)得到，，接著利用完全平方公式進行代數(shù)變形，并結(jié)合勾股定理，得出關(guān)于AB為未知數(shù)的一元二次方程，最后可解得的長．【詳解】

解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O、為內(nèi)切圓的半徑，則四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，而，∴①，∵小正方形內(nèi)切圓半徑為，∴小正方形的邊長為7，∴小正方形的面積為49，∴，∴即②，把①代入②中得，∴，∴(負值舍去)，∴大正方形內(nèi)切圓半徑為．故選：A．跟蹤訓練3如圖，正方形內(nèi)接于，是的內(nèi)切圓，則的半徑與的半徑的比值是．

【答案】/【分析】如圖，連接，，過作于，則是的半徑，由正方形，可知是等腰直角三角形，，由是的內(nèi)切圓，可知，且為中點，則，三點共線，，設(shè)的半徑為，則，即的半徑為，然后計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，過作于，則是的半徑，

∵正方形，∴是等腰直角三角形，，∵是的內(nèi)切圓，∴，且為中點，∴，∴三點共線，∴，設(shè)的半徑為，則，∴的半徑為，∴的半徑與的半徑的比值為，故答案為：．二、尺規(guī)作圖典例4尺規(guī)作圖蘊含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點P是中邊上的一點，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點P是其中一個切點；(2)點P是中邊上的一點，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經(jīng)過點P；③與邊相切；(3)【不可及點的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點在墻的另一側(cè)，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線作出結(jié)果；（2）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線、已知線段作出結(jié)果，有多種不同做法．（3）根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線作出結(jié)果，有多種不同做法．【詳解】（1）解：

①過點作，垂足為點；②作的平分線交于點；

③以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．（2）法1：①過點作的垂線交于點，②在上截取，③作交于點（或作的平分線交于點）；④以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法2：①過點作，垂足為點；②作的平分線交于點；③作的垂直平分線交于點；（或過點作交于點；或作交于點）；④以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法3：①反向延長射線，過點作，垂足為點；②作的平分線；③過點作，交于點；④作的垂直平分線交于點；（或過點作交于點）；⑤以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法4：①在上任取一點（除外），作，垂足為點；②以點為圓心，長為半徑作⊙，交于點；③過點作，交于點；④過點作，交于點；⑤以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法5：①在上任取一點（除外），作，垂足為點；②以點為圓心，長為半徑作⊙交于點；③連接，并延長交于點；④過點作交于點；⑤以點為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

（3）法1：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；③同樣方法，得點；④作直線；則直線為所求的圖形．

法2：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；③作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；④作直線；則直線為所求的圖形．

法3：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；③過點作，垂足為點；④過點作，垂足為點；

⑤作的平分線；則直線為所求的圖形．

法4：①在上任取一點（除外），過點作；②作的平分線，交于點；③作線段的垂直平分線；則直線為所求的圖形．

法5：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外）；②過點作，垂足為點；過點作，垂足為點；與交于點；③作的平分線交于點，射線反向延長線交于點；④作線段平分線；則直線為所求的圖形．

法6:①在上任取一點（除外），過點作，垂足為點；②過點作，垂足為點；③作的平分線交于點；④作線段的垂直平分線；則直線為所求的圖形．

法7:①在上任取兩點、（除外），以點為圓心，長為半徑作⊙；②過點作，交⊙于點；③連接并延長交于點；④作線段的垂直平分線；

則直線為所求的圖形．跟蹤訓練4如圖，已知P是外一點．用兩種不同的方法過點P作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．【答案】答案見解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作的切線，作射線，交于點，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接,交于點，則是等腰三角形，，則，即為所求．【詳解】解：作法：連結(jié)PO，分別以P、O為圓心，大于PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結(jié)兩點交PO于點A；以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結(jié)PQ，PQ即為所求．作法：作射線，交于點，以為圓心，為半徑作,以為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接,交于點，則是等腰三角形，，則，即為所求．典例4（1）如圖1，已知線段a，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作Rt△ABC，使斜邊AB＝a，∠A＝30°；（2）如圖2，已知矩形MNPQ中，MN＝6，若在邊PQ上存在一點D，使∠MDN＝30°，則邊NP長度的取值范圍是．【答案】（1）見解析；（2）（2）≤NP≤【分析】（1）作線段AB的垂直平分線EF交AB于D，以BD為邊向上作等邊三角形BDC，連接AC，△ABC即為所求作．（2）如圖2中，以MN為邊向右作等邊△MON，以O(shè)為圓心，OM為半徑作⊙O，當⊙O與邊PQ有交點時，滿足條件，分別求出PN的最大值與最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1中，△ABC即為所求作．①作線段AB的垂直平分線EF，交AB于D，②分別以點B，D為圓心，BD為半徑畫弧，兩弧相交于點C，③連接AC，BC，即△ABC即為所求作（2）如圖2中，以MN為邊向右作等邊△MON，以O(shè)為圓心，OM為半徑作⊙O，當⊙O與邊PQ有交點時，滿足條件，當⊙O與PQ相切時，此時PN的值最大，延長DO交MN于E，則OE垂直平分MN∵MN=6∴OE=3，OM=6∴PN=DE=DO+OE=3+6當⊙O經(jīng)過P、Q時，矩形MNQP是⊙O的內(nèi)接矩形，此時OD=OE=3∴PN=6，此時PN的值最小，∴6≤NP≤3+6．故答案為：6≤NP≤3+6．1．在平面直角坐標系中，已知點．若在x軸正半軸上有一點C．使，則點C的橫坐標是．【答案】【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，求出OK、KC，即可求解．【詳解】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABD，以D為圓心，DA為半徑作⊙D交x軸正半軸為C，連接CA、CB，此時滿足條件．過點D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，則四邊形OJDK是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在Rt△DCK中，，∴，∴點C的橫坐標為故答案為：．2．如圖，在等邊中，，點為的中點，動點分別在上，且，作的外接圓，交于點．當動點從點向點運動時，線段長度的變化情況為（

）A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小【答案】D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON=1，F(xiàn)O=OB=GO=OH=2，則點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，由勾股定理可求GH，即可求解．【詳解】如圖，連接BO，EO，F(xiàn)O，GO，HO，過點O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°∴∠EOF=120，∵OE=OF，ON⊥EF，∠OEF=∠OFE=30°EN=FN=，OF=2ON，F(xiàn)N=ON，ON=1，F(xiàn)O=2，OB=GO=OH=2，∴點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，∴OG=OH，OP⊥GH，∴GH=2PH，∵PH=∵動點E從點D向點A運動時，OP的長是先變小再變大，∴GH的長度是先變大再變小，故選：D．3．若四邊形的對角線，相交于O，，，，的周長相等，且，，的內(nèi)切圓半徑分別為3，4，6，則的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確【答案】A【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，分別表示出四個三角形的面積，再根據(jù)由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得，進而可得，由此列出方程，即可解出．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，，，則，由切線長定理可知：，，，，，，，，，，∴，同理：，，，

由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得：，∴，∴，∴．故選：A．4．正三角形的邊長為，那么該正三角形的內(nèi)切圓半徑為（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，是等邊三角形，，，

由題意，平分，平分，∴，，，∴為內(nèi)切圓的半徑，∴，故選：B．5．如圖，為四邊形的內(nèi)切圓，，，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作于點，設(shè)與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，連接，，，得四邊形，四邊形都是正方形，四邊形是矩形，設(shè)圓半徑為，則，，根據(jù)切線長定理和勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：過點作于點，設(shè)與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，連接，，，如圖，則：，

，四邊形，四邊形都是正方形，∴，∴，∴點、、三點共線，∴四邊形是矩形，，，∵點、、是切點，，，設(shè)圓半徑為，則，，，，，，