2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：角平分線的性質(zhì) 知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解

專題12.9角平分線的性質(zhì)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】角的平分線的性質(zhì)

(1)性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(2)符號(hào)語言：

???OC平分

又；PELAD,PF1BD,垂足為E、F,

.■.PE=PF

【知識(shí)點(diǎn)二】角的平分線的判定

(1)判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

(2)符號(hào)語言：

■■PEVAD,PFVBD,垂足為￡、F,

又；PE=PF

0C平分々DB,

【知識(shí)點(diǎn)三】角的平分線的尺規(guī)作圖

EB

(1)以。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交04于D,交OB于E.

試卷第1頁，共8頁

（2）分別以。、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在乙4。8內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】利用角平分線性質(zhì)定理進(jìn)行求值與證明

【例1】（23-24七年級(jí)下?山東荷澤?階段練習(xí)）

1.如圖，在。3C中，ZACB=90°,。_1/8于點(diǎn)。，BE平分/ABC交AC于點(diǎn)、E,交CD

于點(diǎn)尸，過點(diǎn)￡作EG〃CD,交于點(diǎn)G,連接CG.

（2）求證：EC=EG；

【變式1］（23-24七年級(jí)下?廣東佛山?階段練習(xí)）

2.如圖，0c平分//08,點(diǎn)尸是射線OC上一點(diǎn)，尸”，08交于點(diǎn)點(diǎn)N是射線。4

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PN.若PM=6,則PN的長度不可能是（）

A.18B.7.2C.6D.4.5

【變式2］（23-24七年級(jí)下?四川巴中?期末）

3.如圖，在“BC中，ZABC,NACB的平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)。到3c邊的距離為3,且“BC

的周長為20,則的面積為.

【題型2】利用角平分線判定定理進(jìn)行求值與證明

【例2】

4.如圖，DEJ.AB于E,。尸_L4C于尸，若BD=CD、BE=CF,

試卷第2頁，共8頁

(1)求證：AD平分/BAC；

(2)已知/C=20,BE=4,求48的長.

【變式1】

5.如圖，在A/BC中，ZBAC=70°,AB=4,AC=2,若S/=2S沖，則/CW的度數(shù)

C.35°D.30°

【變式2】6.(23-24八年級(jí)上?山東聊城?階段練習(xí))

6.如圖，在春8。中，ZABC=48°,三角形的外角/八4c和//C尸的平分線交于點(diǎn)E,

則.

【題型3】綜合運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行證明與求值

【例3】

7.如圖，/BC和△E2D中，NABC=NDBE=90。,AB=CB,BE=BD,連接AE,CD,AE

與。。交于點(diǎn)M,AE與BC交于點(diǎn)、N.

試卷第3頁，共8頁

E

H

D

⑴求證：AE=CD-

（2）求證：AE1CD；

⑶連接有以下兩個(gè)結(jié)論：①破平分NC8E；②MB平分/4MD,其中正確的一個(gè)是

（請寫序號(hào)），并給出證明過程.

【變式1］（23-24八年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）

8.如圖，Z5=ZC=90°,M是3c的中點(diǎn)，。河平分N4DC,且44。。=100。，貝ljNM48

【變式2］（23-24八年級(jí)上?重慶永川?期末）

9.如圖，在。BC中，ABAC=68°,ZACB=72°,//C3的平分線與/A4c的外角平分

線交于點(diǎn)。，連接8。，則NADC的大小等于.

【題型4】通過作圖（作角平分線）進(jìn)行求值或證明

【例4】（23-24八年級(jí)上?廣東珠海?期中）

試卷第4頁，共8頁

10.請回答下列問題:

⑴如圖1,已知A/8C,利用直尺和圓規(guī)，作/B4C的平分線4。交3c于點(diǎn)D（保留作圖

痕跡，不要求寫作法）；

⑵如圖2所示，是“3C的角平分線￡、廠分別是43、/C上的點(diǎn)，且

NEDF+NBAC=18Q°,求證：DE=DF.

【變式1］（2024?湖南湘西?模擬預(yù)測）

11.如圖，在。8C中，ZC=90°,以N為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交/C、于點(diǎn)

M,N,再分別以M,N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。，作射線/。，交

BC于點(diǎn)、E.已知CE=4,AB=7,的面積為（）

【變式2］（2024?湖南?中考真題）

12.如圖，在銳角三角形48c中，是邊3c上的高，在R4,8C上分別截取線段3E,

BF,使BE=BF；分別以點(diǎn)￡,尸為圓心，大于尸的長為半徑畫弧，在//8C內(nèi)，兩弧

交于點(diǎn)尸，作射線AP,交AD于點(diǎn).M,過點(diǎn)M作腦V/48于點(diǎn)N.若MN=2,

AD=4MD,則4/=.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

［例1］（2024?天津?中考真題）

試卷第5頁，共8頁

13.如圖，RtZk/BC中，ZC=9O°,Z5=4O0,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB

于點(diǎn)E,交/C于點(diǎn)尸；再分別以點(diǎn)瓦尸為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ?/p>

圓的半徑相等）在/A4c的內(nèi)部相交于點(diǎn)P;畫射線/尸，與3c相交于點(diǎn)。，則/NOC的

大小為（）

A.60°B.65。C.70°D.75°

【例2】（2021?黑龍江大慶?中考真題）

ADRn

14.已知，如圖1,若/。是。臺(tái)。中/A4c的內(nèi)角平分線，通過證明可得,同理,

若NE是。8C中/氏4c的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì).請你根據(jù)上述信息，求

解如下問題：如圖2,在“8C中，AD=2,CD=3,/D是的內(nèi)角平分線，則“BC的8C

邊上的中線長/的取值范圍是

圖1圖2

2、拓展延伸

[例1]（23-24七年級(jí)下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）

15.如圖1,在A48C中，2。為/C邊上的高，2廠是一48。的角平分線，點(diǎn)￡為/斤上一

點(diǎn)，連接/E,ZAEF=45°.

試卷第6頁，共8頁

⑴求證：AE平分NB4F

（2）如圖2,連接CE交8。于點(diǎn)G,若與AOE的面積相等，求證：BG=CF

【例2】（23-24八年級(jí)上?江西宜春?期末）

16.課本再現(xiàn)：

思考如圖12.3-3,任意作一個(gè)角作出N403的平分線OC.在。C上任取一點(diǎn)尸,

過點(diǎn)P畫出03的垂線，分別記垂足為。、E,測量尸。、PE并作比較，你得到什么

結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.

通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？

A

【實(shí)驗(yàn)猜想】針對以上問題，同學(xué)們進(jìn)行了小組實(shí)驗(yàn)探究，并猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角

的兩邊的距離相等.

【推理證明】為了證明該定理，小明同學(xué)根據(jù)書上的圖形（如圖12,3-3）寫出了“已知”和“求

證”，請你利用全等的知識(shí)完成證明過程.

（1）已知：點(diǎn)尸是的平分線。C上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)。，PEL0B于點(diǎn)

E.求證：PD=PE.

【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2,/上1C的平分線與的外角48。的平分線相交于點(diǎn)。過

點(diǎn)。作0。，4c于點(diǎn)，于點(diǎn)E,連接03.

①證明：0B平分NCBE；

②若NCAB=70°,則ZCOB=.

試卷第7頁，共8頁

D

ABE

試卷第8頁，共8頁

1.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)證明/EG/=90。，即可證明結(jié)論成立；

(2)利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立.

【詳解】(1)證明：???CD，48,

:"CDA=90°

-,-EG//CD,

:"EGA=ZCDA=90°

N4+ZAEG+ZEGA=180°

NA+NAEG=180°-ZEGA=180°-90°=90°

(2)證明："ZACB=90°,

：.EC1BC

?:BE平分/ABC,EGLAB,

EC=EG

2.D

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出圖形轉(zhuǎn)化線段是

解決問題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)P作尸0,04,如圖所示，由角平分線的性質(zhì)可得PO=PM=6,根據(jù)點(diǎn)與直線上各點(diǎn)

的距離中垂線段最短可得尸N2PD=6,從而得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作PDJLCM,如圖所示：

C-：OC平分ZAOB，點(diǎn)P是射線OC上一點(diǎn)，于點(diǎn)初,

PM=6,

由角平分線性質(zhì)可得PD=PM=6,

???點(diǎn)N射線CM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸N,

答案第1頁，共14頁

由點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的距離中垂線段最短可得PN>PD=6,

???綜合四個(gè)選項(xiàng)可知，PN的長度不可能是4.5,

故選：D.

3.30

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答的

關(guān)鍵.過。作于ONLAC于N,連接CM,利用角平分線的性質(zhì)求得

OM=ON=OD=3,然后利用S“BC=S“OB+SAAOC+，ABOC求解即可.

【詳解】解：過。作。于ONLAC于N,連接。工,

???點(diǎn)。到6c邊的距離為3,

?**OD-3,

???的周長為20,

??.AB+AC+BC=20

??,/ABC,//C5的平分線交于點(diǎn)O,OMLAB,ONVAC,

.-.OM=ON=OD=3,

?*,SAABC=S&AOB+S“oc+S^BOC

=-ABOM+-AC-ON+-BC-OD

222

=^AB+AC+BC)-OD

=-x20x3

2

=30,

故答案為：30.

4.⑴見詳解

(2)12

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

答案第2頁，共14頁

(1)求出N￡=N。9C=90。，根據(jù)全等三角形的判定定理得出也放△CFD,推出

DE=DF,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出力￡=4尸1￡=CF,即可求出答案.

【詳解】(1)證明：????！?，4民。尸，/。，

:?/E=NDFC=90。,

???在Rt^BED和Rt^CFD中,

BD=CD

BE=CF

???Rt△BEDQRtKFD〈HL),

DE=DF，

-DELAB.DFLAC,

???AD平分/BAC；

(2)解：vZAED=ZAFD=90°,AD=AD,DE=DF,

Rt^ADE=Rt^ADF,

???AE=AF,

-AC=20,CF=BE=4,

AE=AF=20—4=16,

AB=AE-BE=16-4=12.

5.C

【分析】作。于點(diǎn)E,作。尸，4C于點(diǎn)R根據(jù)S“皿=2S“?？勺C。石=力產(chǎn)，從而

可知4。是/A4C的平分線，進(jìn)而可求出/C4。的度數(shù).

【詳解】解：如圖，作DEJ.4B于點(diǎn)E,作DF/4c于點(diǎn)F,

.?.^v^ABD—Q9V“CD，

:.-ABDE=2x-ACDF.

22

,*'AB=4,AC=2,

答案第3頁，共14頁

ADE=4DF

DE=DF，

.?.4D是/B/C的平分線.

ACAD=-ABAC=-x70°=35°.

22

故選C.

6.24°

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線,

證明3E平分/45C；

過點(diǎn)E作EMLNB、EN工BC、EOLAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EN=E。，EN=E0,

則有EM=EN,再根據(jù)ENL/8、ENYBC,即可得出BE平分/48C即可解答.

【詳解】解:過點(diǎn)E作EN1BC,EO1AC,如圖所示：

三角形的外角/D/C和//CF的平分線交于點(diǎn)E,

.-.EM=EO,EN=EO,

:.EM=EN,

EM1AB.EN1BC,

..BE平分/ABC,

NEBF=-NABC」x48。=24°,

22

故答案為：24°.

7.(1)見詳解

(2)見詳解

⑶②

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的判定與性

質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問

題.

答案第4頁，共14頁

(1)欲證明力￡=CQ,只要證明班之

(2)由"BE為CBD,推出/"￡=/5C。，由N2WC=180。—N5CD—NC2W,

ZABC=180°-ZBAE-AANB,又/CNM=/ANB,AABC=90°,ZNMC=90°；

(3)結(jié)論：②；作BKLZE于K,A/LCD于/利用角平分線的判定定理證明即可.

【詳解】(1)證明：???//5C=/QB￡,

???/ABC+ZCBE=/DBE+NCBE,

即/ABE=ZCBD,

在△/BE和△C3。中，

AB=CB

<NABE=ZCBD

BE=BD,

??.AABEWCBDQSAS),

AE=CD.

(2)證明：/段△CBD

???/BAE=/BCD,

???ZNMC=180°-/BCD-/CNM,ZABC=180°-ZBAE-AANB,

又ZCNM=ZANB,

'：ZABC=90°,

.-.Z7WC=9O°,

??.AE_LCD.

(3)解：結(jié)論：②

理由：作8Kl.4E于K,BJLCD于J.

AABE=ACBD,

答案第5頁，共14頁

???=CD,S^ABE=SKDB，

.-.-xAExBK=-CDxBJ?,

22

BK=BJ,

,?,作于K,BJLCD于■J,

BM平分~NAMD.

不妨設(shè)①成立，貝IACBM也AEW,則AB=2。,顯然不可能，故①錯(cuò)誤.

故答案為：②.

8.B

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離

相等.作兒于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出九W=MC,進(jìn)而得出

NMAB=LND4B=40°.

2

【詳解】解：作于N,

,.?/B=/C=90°,

AB//CD,

ZDAB=180°-ZADC=80°,

??,DM平分//OC,MN1AD,MCX.CD,

：.MN=MC,

是8C的中點(diǎn)，

：.MC=MB,

：.MN=MB,

又MNLAD,MBLAB,

.-.ZMAB=-ZDAB^40°,

2

答案第6頁，共14頁

【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)角平分線的

判定與性質(zhì)得出8。平分，然后利用三角形外角的性質(zhì)

NBDC=NDBH-NDCB=；NBAC,即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作8c于〃，DE，AC于E,DF_LAB于F,

"ZACB的平分線與/A4c的外角平分線交于點(diǎn)。，

DE=DF=DH,ZBCD=-ZACB,

2

；.BD平分■乙4BH,

ADBH=-AABH,

2

ABAC=68°,

NBDC=NDBH-NDCB

=-ZABH--ZACB

22

=g(/ABH-/ACB)

=LNBAC

2

」x68°

2

=34°,

故答案為：34°.

10.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)角平分線的基本作圖方法作圖即可;

答案第7頁，共14頁

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)作。0L/C于點(diǎn)0,證明△￡〃。絲△尸。D(AAS),得出

DE=DF,即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，作/BNC的平分線/。交3c于點(diǎn)。;

(2)證明：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，作于點(diǎn)。,

則ZEHD=ZFQD=90°,

4D平分/B4C,

:.DH=DQ,

■：ZEDF+ABAC=1^0°,

:.ZAED+ZAFD=^0°,

??0+NNFD=180°,

NDEH=ZDFQ,

ADEH=NDFQ

在叢EHD和AFQD中<ZEHD=ZFQD,

DH=DQ

:.^EHD^FQD(AAS),

：.DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì),

補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法.

11.C

【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)￡到/C和42的距

離相等，點(diǎn)E到N8的距離等于EC的長度，利用三角形面積公式即可得到答案.

答案第8頁，共14頁

【詳解】解：由基本作圖得到平分/R4C,

.?.點(diǎn)E到AC和AB的距離相等，

.?.點(diǎn)E到AB的距離等于EC的長度，即點(diǎn)E到AB的距離為4,

■-S.ABE=1x7x4=14.

故選：C.

12.6

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知成平分/N8C,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可知。M=MW=2,結(jié)合4D=4Affi>求出40,AM.

【詳解】解：作圖可知8P平分

???4D是邊3c上的高，MN1AB,MN=2,

:.MD=MN=2,

■■■AD=4MD,

AD=8,

.-.AM=AD-MD=6,

故答案為：6.

13.B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三

角形兩銳角互余可求出N8/C=50。，由作圖得NA4Z)=25。，由三角形的外角的性質(zhì)可得

ZADC=65°,故可得答案

【詳解】解：?.?/。=90。,/5=40。，

■.ZBAC=90°-ZB=90°-40°=50°,

由作圖知，AP平分/8/C,

ABAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又NADC=NB+NBAD,

.?.N/r)C=40°+25°=65。，

故選：B

1,25

14.-<l<——

22

【分析】根據(jù)題意得到設(shè)AB=2k,AC=3k,在△/2C中，由三邊關(guān)系可求出發(fā)

答案第9頁，共14頁

的范圍，反向延長中線至尸，使得/￡=砂，連接CF,最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解

題.

【詳解】如圖，反向延長中線/石至尸，使得4E=EF,連接CF,

???BD=2,CD=3,AD是^ABC的內(nèi)角平分線，

.AB_BD_2

\4CCF-3

可設(shè)/5=2鼠AC=3k,

在△Z5C中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

：A<k<5,

BE=EC

</AEB=ZCEF

AE=EF

:AABE.FCE（SAS）

AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

k<AF<5k

125

故答案為：r/<y

【點(diǎn)睛】

答案第10頁，共14頁

本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí),

是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

15.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的證明以及性質(zhì)運(yùn)用，角平分線的判定以及基本性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的幾種判定方法以及角平分線的判定是解答該題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)3尸是的角平分線和，3。為/C邊上的高，nJW1^BAD=45°-1ZABD,

由ZAEF=45。得ZBAE=45°-ZABE=45°-1ZABD,即可證明ZBAE=|ZBAD；

(2)過點(diǎn)石作￡加JL4B于點(diǎn)EN1AC于點(diǎn)、N,由角平分線性質(zhì)可以得EM=￡N,由

△A4E與AC/E的面積相等可得=證明△48E空△4CE(SAS),得出

ZAEB=ZCEB=135°,BE=EC,

即可得出^BEG=ZCEF=3600-ZAEB-ZAEC=90°,再根據(jù)垂直模型證明A8EG之ACE尸(ASA),

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???AD為/C邊上的高，即N4D8=90。，

.-.ZABD+ZBAD=90°,

1(NABD+ZBAD)=45°,

ABAD=45°--NABD

22

???ZAEF=ZABF+ZBAE=45。，

.-.ZBAE=45°-ZABF,

■：AABF=-AABD,

2

.■.ZBAE=45°--ZABD,

2

;.NBAE=；NBAF,即：AE平分/BAF.

(2)過點(diǎn)￡作瓦于點(diǎn)M,ENLAC于點(diǎn)、N,

答案第11頁，共14頁

Mi

:W、、,:AE平分/BAC,且W_LA8,EN1AC,

rvi->

I-7i

；.EM=EN.

'S^ABE-SMCE，

/.AB=AC,

AE平分NBAC,

/BAE=ZCAE,

在△45￡和△/0￡中，

AB=BC

<NBAE=ZCAE

AE=AE

:.AABE^ACE(SAS),

ZAEB=ZCEB,BE=EC,

?.?ZAEF=45°,

NAEB=NAEC=135。,

/BEG=ACEF=360°-ZAEB