初中數(shù)學幾何模型大全+經(jīng)典題型（含答案）

初中數(shù)學幾何模型大全+經(jīng)典題型（含答案）

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點旋轉(zhuǎn)

角分線模型

1

"fV*

1

<_'k-城勵作?場―㈱勒娜等蝌,

1>

以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等

兩邊進行邊或者角的等量代換，發(fā)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進行對稱全等。

工飛

B

/C

B

說明：上圖依次是45。、30。、22.5。、15。及有一個角是30。直角三角形的對稱（翻

折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點旋轉(zhuǎn)：倍長中點相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外

兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點旋180度，造中心對稱

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過

“8〃字模型可以證明。

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變更，另外是等腰

直角三角形與正方形的混用。

當遇到復雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂

點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及

兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角

形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直

角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點，通過證明旋轉(zhuǎn)全

等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點模型

倍長中線連中點椅造中位線倍長一邊梅造中位嫉向遣三靖合一內(nèi)曲耳邊中線

對稱最值（兩點間線段最短）

線段和差模型

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異側(cè)兩線段之苦最小模型

軸對稱模型

r，M—N

K1

“'、；，------'-<7

\'%

,r

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

最短模型最小模型最小模型

t

.....

°rG/4:\

/\

//a1■\

/*:\

/i：\

說明：通過對稱進行等量代換,轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距離。

X仁D聲

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段,定長線段的和為最大值,

定長線段的差為最小值。

三角形玲四邊形

四邊形玲四邊形

圖11

說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

L

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

DB

說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成

旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合

旋轉(zhuǎn)"8"字的規(guī)律。

說明：注意邊和角的對應，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代

換來構(gòu)造相似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出

現(xiàn)的居多。

（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與分歧之處。另外,

相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓哥定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘

積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，進行證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最經(jīng)常使用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比

值來做相應的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

a條件：A38.AOC。均為等邊三角形

a結(jié)論：①A。4c?SOBD,②LAEB-60°；00￡平分LAED,

<2)等原K7A

a條件：A"，優(yōu)A”C/)均為等膘直角三角形

a結(jié)論：①A。4c?M)BD)②LAEB-90n

a③OE平分乙

<3)任意等腰三角形

A均為等腹三角形

a結(jié)論：①A。*。?AOBD.②LAEB-LAOB.

a③OE平分乙4ED。

A模型二:手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

⑴ne況

A條件：CO/48,將AOCQ旅轉(zhuǎn)至右圖位用

A班：

a右圖中①Aa"AO/8cAO"'&OBD;

a②延長/C交8D于點E,必有LBECdLBOA

(2)特殊慌況

a條件：CO//48,乙f(M?90",將AOC。旋轉(zhuǎn)至右圖

位貿(mào)

a結(jié)論：右圖中①AOCDsAQfB=ACMCAOBDf?

延長“交BD于點E,必有乙BEC-LBOA；

\mLOCD

)@BDlACf

⑤1接皿BC,AD'+BC-AB+CD'y⑥]”"■丁(x8/)

《對角線互相垂直的四邊形〉

A模型三:對角互補模型

(1)

a條件：①LAOB-LDCE-90°,②%平分UOB

a結(jié)論：①CD=CE;②°D+OE-7%)C；③

a證明提示：

0乍垂直，如圖，證明AC。”-ACE.V,

?3點C作b,℃,如上圖（右），證明AODC-AFEC

a當4的一邊交X。的延長線于點D時：

以上三訟?CD=CE（不變）j

②OE-OD-41OC,③Sg-S"-2OC

此結(jié)論研方法與帝T帽況一致，可自行嘗試。

(2)全等型120°

a新：①4/08?2LDCE-120°,

>②OC^>UO8；

A菇論：①?②"。+。?(駁

COC￡,￡’3H

A證螂示：①可參考“全等型-90。”證法一；

②如圖：在03上取一點F,使OF=OC,證明AOCF

為等邊三角形。

《3》全等型任意角a

a條件：①乙*。8-2a，'X'￡-18O-2a；②C￡>=CE；

A結(jié)論：①a'平分乙iCB5②OD+CE-2(X?cosa,

:

@Sdoa-%rn+S1toec-OCesina?cosa

當4CCE的一邊交/。的延長線于點Q時（如右上圖）：

原結(jié)論變成：①____________________________

②____________________________________________

可參考上述第②釉方法迸行證明。清史考初始條件的變化對模型轆響。

＞對角互上檄型總結(jié)：

①常見初始條件：四邊形對角互補；注意兩點：四點共圖及直角三角形斜邊中線;

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩種常見的鈾睚戔作法；

◎主意（）C平分乙408時,LCDE-LCED-LCOA-4。相等如何推導？

模型四：角含半角模型90。

條件：①正方形ABCD,②LEAF-45",

牯論：①"'"。尸+SE；②ACEF的周長為正方形48CO周長的一半.

也可以這樣：

條件：①正方形ABCD,②".=DF+BE

結(jié)論：LEAF-45°

（2）角含半角模型90--2

條件：①正方形4BCD,②LEAF-45"；

結(jié)論：EF-DF-BE目

qw;

<3）角含半角鎮(zhèn)型90.f

a條件：①RTMBC5②ZJM￡=45°,

a結(jié)論：RD^CE1?DE2

若4/M：旋轉(zhuǎn)到28c外部時，結(jié)論以）+C￡'=°尸仍然成立.

<4）龜含半角饃型W變形

證喇：AC（方a不唯一》

7ZZ14<-Z￡<F-45,ANZ)M?NU￡

VZ.WV/-Z.KZ-45.XUm^XlCE

---AX<ffE^X4￡X'

AHJE

a條件：①正方形ABCD；②㈤/=45°；

A結(jié)論：&〃花.為等腰直角三角形。□

A模型五：倍長中線類模型

<1>信長中身聯(lián)型T

a條件：①^形'BCD，②8D-8E?DF-EF,

A結(jié)論：/尸J.C尸

模型提?。孩賌平行線AD"BE.②平行線磔戔段有中點DF-EF，

可以構(gòu)造“8”字全等N〃尸。&HEF.

(2)信長中纜■型2

A條件：3M亍四邊形T8C0}?BC-2AB；③AM-DM；?CE±AD.

.常論：乙EMD?3乙MEN

W+H-.4B//CD.#中點..?<.“一￡)”

W長EW.蜘迨ZU5Z￡、qAai/F.it4*CM構(gòu)^7。

BCR

it等It\EMC.WfCF

通過種遣8手全皆依.以他■:見低Jt大樂.角的大

小特化

A模型六：相似三角形3600旋轉(zhuǎn)模型

<1>相似三角形〈等展百360-

a條件:O=DE、MBC均

為等腰亙角三角形3②

EF-CF

a結(jié)論；①DF.BF§②

nr±BF

<o相恨三角影《等。0°immayT隆法

?=OXDE、23ct^等角三角開鄉(xiāng)，②七尸?CF、

a結(jié)論：CDD尸-BFj②OF.LBE

HgE.:種泣與》e_iL向A4A7、~1〃U

班Z)尸與BF卅《匕ajC'G與EH

C〉M相^g_Ema苣法《/恒：&XZM**G,懾q、此

aWVfts①ACMSsACrXT3(g)Z-OAB-Z-ODC-90°；<7>XTH低3/=?T>..卜全MX，B、

0BE.CEodC'H,通設“他*.eft..4￡?與DE91<TG

~結(jié)論：OAE-DE3②NED-2mo

DEJLA/.<e.，〃?小?班“

a條件：①4CABsM)DC,②Z-OAH-Z.O￡X：'-90°?論g—個條件??m用N4口-2BS.此

BE-CE。為e.?.?樣ZMI^AARC“幢”化，i*5

=結(jié)論=?AE-DE,②NED-2jBO

ZHX^AACJ忙網(wǎng)一邊?rtJL會?<

日.處G.&4k證5

A模型七二最短路程模型

總”：以上可圉為京Q的獨時你工最加總”問題.

M后每“化刑：”㈣代之蚓，代我多短”Na

構(gòu)點：①助點AA以上:②起息，饞怠閾充

<2）最矩路程鍛里二（點￥1直叫I）

HMH：瘠作0關(guān)于ex時體a。??騎比

Q??rP.itAwniff/±a?

正線段以如,W*PA-\"f①之\fH（?一，］最忖）

A條件：①OC平分""%②w為。8上一定點，③P為X上f點，④。為08上一動點，

A求：A"+尸。最小時，？。的<斌？

<3）麟路程模型二（黑情線類2〉

A條件：/（0,4）,8（-20）1（0.〃）

PB+—PA

A同演：”為何值時，5最小

sinLOAC

求解方法：①、軸上取C（2°）,使5,②過8作8/）_L/C,交P軸于點E,艮防所求j

tanLEBO?tanLOAC

③2,即￡（°」）.

條件：7次中.Z/T-2ZC-

“對冷：戊8C的?直不分N為討好”?你義

.，立時體A.，.逢裸.1?,n.r.cr

9iH.V再，JAC的■牛分八.

?z/,■.“,cr《?豆一工小住?！?/p>

比”總財C的作』2二例同三向青京匕妁M房

八用"之一.恒并不￡4一件j

A模型九：相似三角形模型

（2）才眼三角形模型制交型

4兇,nM

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?）相ftlEft影崛T^8^

“論：騎齊圉?，?4A妁”很

I\l/#c5八，71A'：②.1//x/M■/“*，八

一愎三號前帽型電，上翕冏■罐3方“為事代美

初中數(shù)學經(jīng)典幾何題（附答案）

經(jīng)典難題（一）

1、己知：如圖，0是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD±AB,EF_LAB,EG±CO.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，ZPAD=ZPDA=150.

求證：APBC是正三角形.（初二）

3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2A。

CC1、DD1的中點.P/\

BC

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

經(jīng)典難題（三）

D

DEIIAC,AE=AC,AE與4MBaF.G

1、如圖，四邊形ABCD為正方形,E二

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形,DEIIAC,且CE=CA,H^ECF

:QsF

求證：AE=AF.（初二）

F-一，

BC

A

/AE/且

4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點,

AE=CF.求證：ZDPA=NDPC.（初二）\

經(jīng)典難題（五）

BEC

1、設P是邊長為1的正△ABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,求證：<L<2.

P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值

AA__________________D

3、p為正方豺p內(nèi)的一點,而且PA=a,p\=?a,PC=3a,求正方形的邊長.

一A［-----------------------------.D

4、如明〃ABC中C=NACB==800,口、^^另上的點，zhCA=300,ZEBA

=2四，求NBED的度數(shù).C

BC

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GHJ_AB,連接E0。由于GOFE四點共圓，所以NGFH=NOEG,

T-!r~\t~\

BPAGHF-△OGE,可得——=---=——，又CO=EO,所以CD=GF得證。

GFGHCD

2.如下圖做4DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△,從而可得

△DGC2△APD合△CGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=ZPCG=150

所以NDCP=300,從而得出△PBC是正三角形

3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點,

連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，

SA2E=1A1B1=fB1C1=FB2,EB2=方AB=/BC=FC1,又NGFQ+NQ=900和

ZGEB2+ZQ=900,所以NGEB2=ZGFQ又NB2FC2=ZA2EB2,

可得△B2FC2M△A2EB2,所以A2B2=B2c2,

又NGFQ+ZHB2F=900和NGFQ=ZEB2A2,

從而可得NA2B2C2=900,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=NF,NQNM=NDEN和

ZQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典難題（二）

1.⑴延長AD到F連BF,做OGJLAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB,0C,既得NBOC=1200,

從而可得NBOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

3.作OF_LCD,OG±BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQo

?丁ADACCD2FDFD

ABAEBE2BGBG

由此可得AADa△ABG,從而可得NAFC=NAGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC=ZAOP和NAGE=NAOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

E

c

FG+FH

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,Cl,FH。可得PQ="。「口

2

由^EGA之△AIC,可得EG=AI,由^BFHW△CBI,可得FH=Bl。

rih—A/+_B/AB.,

從而可得PQ=--------------=-------，從而得證。

22

D

G

E

I

經(jīng)典難題（三）

L順時針旋轉(zhuǎn)△ADE,到4ABG,連接CG.

由于NABG=ZADE=900+450=1350

從而可得B,G,D在一條直線上，可得AAGBVACGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC為等邊三角形。

ZAGB=300,既得NEAC=300,從而可得NAEC=750。

又NEFC=ZDFA=450+300=750.

可證：CE=CFo

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=300,所以NCAE=ZCEA=ZAED=150,

又NFAE=900+450+150=1500,

從而可知道NF=150,從而得出AE=AFo

FAD

3.作FG_LCD,FE±BE,可以得出GFEC為正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanzBAP=tanZEPF=一=----------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出AABP空△PEF,

得到PA=PF,得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時針旋轉(zhuǎn)AABP600,連接PQ,則APBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以NAPB=1500o

A

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AEIIDC,BEIIPC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得：

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得NBAP=ZBEP=ZBCP,得證。

3.在BD取一點E,使NBCE=ZACD,既得△BEO△ADC,可得:

BEAD

即AD?BC=BE?AC,①

~BC~~AC

又NACB=ZDCE,可得△ABOADEC,既得

ABDE