山東省臨沂市沂南縣某中學2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題（含答案）

九年級數(shù)學開學測試試題

一、選擇題（每題3分，共10題，共30分）

1.下列方程中，是關(guān)于X的一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0（a,b,c為常數(shù)）B.x2-x-2—0

C.-4-+--2=0D.x2+2x=x2-1

XX

2.下列說法不能判定四邊形是矩形的是

A.有一個角為90。的平行四邊形B.四個角都相等的四邊形

C.對角線相等的平行四邊形D.對角線互相平分的四邊形

3.直線y=3x+l不經(jīng)過的象限是（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過與（1,3）兩點，則該函數(shù)的圖象與/軸交點的坐標為（）

A.或B.[|,o]C.gD.

5.已知正比例函數(shù)y=（lF）x.若函數(shù)值y隨x的增大而減小，則實數(shù)人的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.72

6.直線y=x+。不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程辦2+2x+l=0實數(shù)解的個數(shù)是（）.

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

7.已知多、工2是一元二次方程/-2x=0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.X?B.xf-2%j=0C.Xj+x2=2D.x1-x2=2

8.正比例函數(shù)（左NO）與一次函數(shù)y=x+左在同一平面直角坐標系中的圖象可能是

（）

9.已知函數(shù)夕=。^-1）5+云+°.當》=2022時，函數(shù)值為1,并且6,。為整數(shù),則當工=-2020

時，函數(shù)值不可能為（）

試卷第1頁，共4頁

A.-5B.2C.1D.7

10.如圖1,將正方形/BCD置于平面直角坐標系中，其中AD邊在x軸上，其余各邊均與

坐標軸平行.直線/：＞=x-3沿x軸的負方向以每秒1個單位的速度平移，在平移的過程中,

該直線被正方形N8CD的邊所截得的線段長為m,平移的時間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象

如圖2所示，則圖2中b的值為（）

二、填空題（每題3分，共6題，共18分）

11.請設(shè)計一個一次函數(shù)，使其滿足以下條件：①圖像經(jīng)過點（0,5）；②》隨著x的增大而

減小，這個函數(shù)的表達式可以是.

12.如圖，菱形/BCD中，ABAD=60°,M是的中點，P是對角線NC上的一個動點,

若PM+PB的最小值是3,則48長為.

13.如圖，菱形NBCZ）中，/￡垂直平分8C,垂足為E,AB=4.那么菱形/BCD的面積

14.若解方程x+2=3x-2得x=2,則當x時，直線歹=x+2上的點在直線歹=3x-2上

相應點的上方.

試卷第2頁，共4頁

15.一元二次方程/+2x-8=0的兩根為無1戶2，貝1|三+2X1%+土=____________

再X?

16.如果關(guān)于x的一元二次方程辦2+6x+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根

的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說法，正確的有—（填序

號）.

①方程/-》-2=0是“倍根方程”；

②若&-2）（小+〃）=0是，倍根方程”，則+5mn+n2=0；

2

③若〃4滿足P4=2,則關(guān)于x的方程px+3x+9=0是“倍根方程”；

④若方程加+bx+c=O是"倍根方程”，則必有2b2=9ac.

三、解答題（17題8分，18-21題每題10分，22-23題12分）

17.解方程.

（1）X2-4X-5=0

（2）2X2-2X-1=0

18.已知方程（相一2）xm'+（m—3）x+l=0.

（1）當加為何值時，它是一元二次方程？

（2）當加為何值時，它是一元一次方程？

19.已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（—2,-2）和點（2,4）

（1）求這個函數(shù)的解析式；

（2）求這個函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標.

20.如圖所示，矩形/BCD中，4c與BD交于O點、,BE工4C于E,CFLBD于F,求證：

BE=CF.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若此方程的兩實數(shù)根X1，X2滿足X/+X22=11,求k的值.

22.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12加的住房墻，另外三邊用25m

長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1加寬的門，所圍矩形豬舍

試卷第3頁，共4頁

的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80加2?

23.如圖，四邊形ABCD中，Z.A=ZBCD=9O°,BC=CD,CE1AD,垂足為E,求證:

AE=CE.

(1)求線段03的中點C的坐標.

(2)連接/C,過點。作于￡,交AB于點、D.

①直接寫出點E的坐標.

②連接CD,求證：ZECO=ZDCB.

試卷第4頁，共4頁

1.B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐一進行分析即可求得答案.

【詳解】A.若a=0,則該方程不是一元二次方程，故A選項錯誤，

B.符合一元二次方程的定義，故B選項正確，

C.屬于分式方程，不符合一元二次方程的定義，故C選項錯誤，

D.整理后方程為：2x+l=0,不符合一元二次方程的定義，故D選項錯誤，

故選B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是

否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2.D

【分析】根據(jù)矩形的判定方法逐項分析即可.

【詳解】A.有一個角為90。的平行四邊形，正確；

B.四個角都相等的四邊形，正確；

C.對角線相等的平行四邊形，正確；

D,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故不正確；

故選D.

【點睛】本題考查了矩形的判定方法：①有一個角的直角的平行四邊形是矩形；②對角線

相等的平行四邊形是矩形；③有三個角是直角的四邊形是矩形；④對角線相等且互相平分

的四邊形是矩形.

3.D

【分析】利用兩點法可畫出函數(shù)圖象，則可求得答案.

【詳解】在y=3x+l中，令y=0可得x=-g,令x=0可得y=l,

二直線與x軸交于點(-1,0),與y軸交于點(0,1),

其函數(shù)圖象如圖所示，

答案第1頁，共15頁

???函數(shù)圖象不過第四象限，

故選D.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】本題考查求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題，待定系數(shù)法求

出函數(shù)解析式，令x=0,求出函數(shù)的圖象與y軸交點即可.

【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b,把(-2,1)與(1,3)代入得:

k=-

-2k+b=13

k+b=3,解得：

b」

3

27

:.y=-xH—,

33

7

??.當x=0時,y=—

3

.?.該函數(shù)的圖象與y軸交點的坐標為

故選C.

5.D

【分析】由函數(shù)值歹隨x的增大而減小，可得1-左＜0,然后可得左＞1,進而問題可求解.

【詳解】解：由正比例函數(shù)＞=(A-k)x.若函數(shù)值V隨龍的增大而減小，則有:

1一左v0,

左>1,

.,?符合題意的只有D選項;

故選D.

【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

6.D

【分析】根據(jù)直線歹='+。不經(jīng)過第二象限，得至再分兩種情況判斷方程的解的情

【詳解】???直線＞=%+〃不經(jīng)過第二象限,

?,.?<0,

,?,方程ax2+2%+1=0,

答案第2頁，共15頁

當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，

當a<0時，方程為一元二次方程，

,■?A=Z>2-4ac=4-4。，

?-?4-4a>0,

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：D.

【點睛】此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)：利用函數(shù)圖象經(jīng)過的象限判斷字母的符號，方程的解的

情況，注意易錯點是a的取值范圍，再分類討論.

7.D

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根的定義、一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系逐一進行分析即可.

【詳解】XI、X2是一元二次方程x2-2x=0的兩個實數(shù)根，

這里a=l,b=-2,c=0,

b2-4ac=(-2)2-4x1x0=4>0,

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，即再WZ，故A選項正確，不符合題意；

xi-2xj=0,故B選項正確，不符合題意；

b-1

x1+x==---=2,故C選項正確，不符合題意；

2a1

-x=-=0,故D選項錯誤，符合題意，

X12a

故選D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根的意義，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握

相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)自變量尤的系數(shù)為1,可判定一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，再對

一次函數(shù)歹=無+左和正比例函數(shù)>=履分類討論，若k>0時，剛好符合題意的是C選項.

【詳解】A選項，若一次函數(shù)的圖象正確，貝蛛>0,此時正比例函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限,

但圖上經(jīng)過二、四象限，不正確；

B選項，一次函數(shù)的圖象錯誤，不正確；

C選項，若一次函數(shù)的圖象正確，貝雅>0,此時正比例函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，正確；

答案第3頁，共15頁

D選項，若一次函數(shù)的圖象正確，則左＜0,此時正比例函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，但圖上

經(jīng)過一、三象限，不正確；

故選C.

【點睛】本題考查正比例函數(shù)＞=丘(4*0)和一次函數(shù)了=履+久后/0)中左、b對圖象的影

響，熟練掌握左、6決定函數(shù)圖象過的象限是解決本題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】本題考查函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件與所求的函數(shù)值建立關(guān)系.由當

x=2022時，函數(shù)值為1,可得至!]-20215a=20226+c-l,再代入當x=-2020時的函數(shù)值中,

即可求解.

【詳解】解：..,函數(shù)y=a(x-l)5+6x+c,當x=2022時，函數(shù)值為1,

..l=a(2022-1)5+20226+c,

整理可得：一20215a=2022b+c-l,

.,.當x=-2020時，

y=a(-2020-l)5-2020b+c=-202l5a-2020b+c=2022b+c-l-2020b+c=2(b+c)-l,

b,c為整數(shù)，

，2伍+c)-l一定為奇數(shù)，

..?函數(shù)值不可能是2,

故選：B.

10.A

【分析】根據(jù)題意可分析出當t=2時，1經(jīng)過點A,從而求出OA的長，1經(jīng)過點C時，

t=12,從而可求出a,由a的值可求出AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出BD

的長，即b的值.

【詳解】解：連接BD,如圖所示：

答案第4頁，共15頁

直線y=x-3中，令y=0,得x=3；令x=0,得y=-3,

即直線y=x-3與坐標軸圍成的AOEF為等腰直角三角形，

???直線/與直線8。平行，即直線/沿x軸的負方向平移時，同時經(jīng)過8,。兩點，

由圖2可得，/=2時，直線/經(jīng)過點力,

.?.AO=3-2x1=1,

??.A（1,0）,

由圖2可得，/=12時，直線/經(jīng)過點C,

［當t=2+2=7時,直線/經(jīng)過B,D兩點，

???AD=（7-2）xl=5,

在等腰RdABD中，BD=5V2，

即當a=7時，b—55/2.

故選A.

【點睛】一次函數(shù)與勾股定理在實際生活中的應用是本題的考點，根據(jù)題意求出AD的長是

解題的關(guān)鍵.

11.y=-x+5

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.一次函數(shù)

y=kx+b（k^Q）,若V隨著x的增大而減小，貝|左＜0；若圖像經(jīng)過（0,5）,將其代入求得6

的值.

【詳解】解：設(shè)該一次函數(shù)的解析式為了=依+6（&/0）,

y隨著》的增大而減小，

）＜0,則左可取-1,

/.y=-x+bf

???圖像經(jīng)過（0,5）,

5=0+6,

:?b=5,

，這個一次函數(shù)的解析式可以是＞=r+5.

故答案為：V=r+5（答案不唯一）.

12.26

答案第5頁，共15頁

【分析】先根據(jù)軸對稱性質(zhì)和兩點間線段最短，確定MD是PM+PB的最小值的情況，再利

用特殊角60。的三角函數(shù)值求解.

【詳解】連接PD,BD,

???四邊形ABCD是菱形,

???AC垂直平分BD,

.-.PB=PD,

??.PM+PB=PM+PD,

連接MD,交AC的點就是P點，根據(jù)兩點間直線最短，

???這個P點就是要求的P點，

又???NBAD=60。，AB=AD,

.■.△ABD是等邊三角形，

???M為AB的中點，

???MD1AB,

?■?MD=3,

???AD=MD-sin60°=3-—=2V3，

2

,AB=2V3?

故答案為2囪.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，屬中等難度.

13.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握并運用相關(guān)知識.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得到NC、CE的長，再根據(jù)

勾股定理求得/￡的值，最后根據(jù)S菱物Rs=2S..C解題即可.

【詳解】解：???/￡垂直平分BC,

AB=AC,BE=CE=—BC,

2

答案第6頁，共15頁

???四邊形為菱形,

AB=AC=BC=4,BE=CE=2

AE=^AC2-CE2=25/3，

S菱形ABCD=25^=2X1^.^=273X4=873.

故答案為：8省.

14.<2

【分析】若解方程x+2=3x-2得x=2,即當x=2時，直線y=x+2與直線y=3x-2相交,

作出函數(shù)的大致圖象，就可以得到結(jié)論.

【詳解】由于方程x+2=3x-2的解為：x=2；

因止匕直線y=x+2與直線y=3x-2的交點橫坐標為x=2；

由圖可知：當x<2時，直線y=x+2上的點在直線y=3x-2上相應點的上方.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二元一次方程組，正確作出兩個函數(shù)的大致圖象，是解決本

題的關(guān)鍵，可以結(jié)合一次函數(shù)與方程的關(guān)系解決問題.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出西+尤2和毛即可;

【詳解】x2+2x-8=0,

**?67—1,b=2,c——8

.,.x+x=——b=e-2,x^x=?！?-c8,

1aa

2.2

A—+2x^2+—=—------+2xJx2,

再x2XxX2

答案第7頁，共15頁

+2XJ%2，

(-2)--2x(-8)17

=+2x(-8)=-y

故答案為---.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，準確利用知識點化簡是解題的關(guān)

鍵.

16.②③④

【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；

②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m,n之間的關(guān)系；

③當。，4滿足網(wǎng)=2時，有0r+3元+q=(px+D(x+q)=。，求出兩個根，再根據(jù)pq=2代

入可得兩個根之間的關(guān)系，講而判斷是否為“倍根方程”;

④用求根公式求出兩個根，當士=2無2或2占=々時，進一步化簡，得出關(guān)系式，進行判斷

即可.

【詳解】①解方程/一-2=0,得再=2,x2=-l,

西w2X2,

方程/一X一2=0不是“倍根方程”.故①不正確；

②V(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,且占=2,

因此馬=1或工2=4.

當％=1時，機+〃=0,

當％=4時，4m+n=0,

4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+")=0,故②正確；

③"4=2,

/.px2+3x+q=(px+l)(x+^)=0,

1

%----，x?——q,

P

答案第8頁，共15頁

%2二一q二-2七，

P

因此px2+3x+g=0是“倍根方程”，故③正確；

④方程a?+加+c=0的根為X1=-b+小-4知,打=-b7b—ac,

2a2a

若%=2X2,則-bjb。-4ac=-b7bjacx2,

2a2a

日口—b+yjb2—4cic—b—y/b2—4cic

即-----------------------------------x2=0，

2a2a

6+3”2-4〃c.

,------------二0，

2a

b+3飛b2-4/c=0，

3y1b2-4ac=-b，

22

.\9[b-4ac)=bf

2b2=9ac，

若2&=x2,則-bMb-ac*2=-Ib-ac,

2a2a

-b+3yJb2-Aac?

-------------------=0，

2a

-b+3y1b2-4ac=0，

b=3y1b2-4ac，

b1=9(〃-4〃c),

2b2=9ac.故④正確,

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意

義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵.

17.⑴再=5,x2=-1

1+G1-V3

(2)(=

22

答案第9頁，共15頁

【分析】(1)根據(jù)因式分解法求解即可;

(2)根據(jù)公式法求解即可.

【詳解】(1)解：X2-4X-5=0,

.-.(x-5)(x+l)=0,

x-5=0或x+l=O,

*,?芭=5,%2~1；

(2)解：2X2-2X-1=0

a=2,b=-2,c=—\,

.?.A=Z>2-4ac=(-2)2-4x2x(-l)=12,

,_-b士而-4ac_-(-2)土配_1±道

2a2x22

1+V31-V3

,,X]=,X)-

1222

【點睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法，配方法，公式法，因

式分解法，靈活選擇適當?shù)姆椒ㄟM行求解是解題的關(guān)鍵.

18.(1)m=±^2(2)機=2或加=±1或加=0

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的定義解答本題；

(2)根據(jù)一次方程的定義可解答本題.

【詳解】解：(1)???方程(冽-2)-+(加-3)%+1=0為一元二次方程，

.Jm2=2

解得：m-±A/2，

所以當加為我或-亞時,方程方程(加-2)、/+(加-3卜+1=0為一元二次方程；

(2);方程(加-2)/+(加-3)x+l=0為一元一次方程，

fm-2=0、、

\c八或加2=1或m=o

[加一3。0

解得，加=2或加=±1,m=0,

故當加為2或±1時，方程方程(加-2)xZ+(m-3)x+l=0為一元一次方程.

【點睛】本題考查一元一次方程的定義、一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是理解一元一次方

答案第10頁，共15頁

程的定義和一元二次方程的定義，尤其是要注意一元一次方程的各種情況要考慮全面.

3

19.（1）y=-x+l；（2）（0,1）

【分析】設(shè)函數(shù)關(guān)系式為了=丘+人，由圖像經(jīng)過點（一2,-2）和點（2,4）根據(jù)待定系

數(shù)法即可求得這個函數(shù)的解析式，再把x=0代入求得的函數(shù)解析式即可得到這個函數(shù)的圖

像與y軸的交點坐標.

【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為了6

???圖像經(jīng)過點（一2,-2）和點（2,4）

（a

\-2k+b=-2k=-

二,解得2

12左+8=4,,

1[b=1

3

??.這個函數(shù)的解析式為=+

3

（2）在了=5》+1中，當x=0時，y=l

二這個函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標為（0,1）.

點睛：待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是初中數(shù)學的重點，是中考中比較常見的知識點，一般難度

不大，需熟練掌握.

20.見解析

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△80E絲△CO尸（AAS）,

即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???矩形/2C。，

OA=OB=OC=OD,

?:BEL4C于E,于尸,

ZBEO=ZCFO=90°,

在△BOE和ACO尸中

'NBEO=NCFO

NEOB=NFOC

BO=CO

△BOE"ACOF(AAS),

BE=CF.

21.(1)k<-；(2)k=-1.

8

答案第11頁，共15頁

【詳解】【分析】(1)根據(jù)方程有實數(shù)根得出△=[-(2k-1)]2-4xlx(k2+k-1)

=-8k+5>0,解之可得；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出Xi+X2和X1X2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)

于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍.

【詳解】(1)?.?關(guān)于X的一元二次方程X2-(2k-1)x+k2+k-1=0有實數(shù)根，

.?,A>0,即[-(2k-1)]2-4xlx(k2+k-1)=-8k+5>0,

解得kJ；

o

2

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得xi+x2=2k-1,xix2=k+k-1,

.,.XI2+X22=(X1+X2)2-2x1X2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3,

22

,.,XI+X2=11，

.-.2k2-6k+3=ll,解得k=4,或k=-1,

5

o

???k=4(舍去)，

???k=-1.

【點睛】本題考查了根的別式、根與系數(shù)的關(guān)系，利用完全平方公式將根與系

數(shù)的關(guān)系的代數(shù)式變形是解題中一種經(jīng)常使用的解題方法.

22.所圍矩形豬舍的長為10加、寬為8加時，豬舍面積為80小

【分析】可以設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm,可以得出平行于墻的一邊的長為

(25-2X+1)加，由題意得出方程x(25-2x+l)=80求出邊長的值.

【詳解】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為xm,可以得出平行于墻的一邊的長為

(25-2x+1)m,

由題意得x(25-2x+l)=80,

化簡，得X2-13X+40=0,解得：無1=5,%=8,

當x=5時，25-2x+l=25-2x5+l=16>12(舍去)，

當x=8時，25-2x+1=25-2x8+1=10<12,

答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m.

【點睛】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，矩形的面積公式的運用及一元二次

方程的解法的運用，解答時尋找題目的等量關(guān)系是關(guān)鍵.

23.證明見解析.

答案第12頁，共15頁

【分析】過點B作BF1CE于F,根據(jù)同角的余角相等求出NBCFND,再利用“角角邊”證明

△BCF和4CDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=CE,再證明四邊形AEFB是矩

形，根據(jù)矩形的對邊相等可得AE=BF,從而得證.

-CE1AD,

.?"+〃。￡=90。，

?"")=90。，

；ZBCF+〃)CE=90。

:/BCF=5,

在△BC廠和中，

'NBCF=ZD

<ZCED=ABFC=90°

BC=CD

???△BCFmACDE(AAS),

：.BF=CE,

又?山=90。，CELAD,BFLCE,

???四邊形必是矩形，

：.A