福建省寧德寧市-同心順-六校聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

福建省寧德寧市-同心順-六校聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B.C. D.13．過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.375．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11346．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.7．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.8110．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.11．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.12．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________14．設(shè)函數(shù)，，對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)對(duì)全市人員進(jìn)行核酸檢測(cè).已知組建一個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時(shí)可做200人次的核酸檢測(cè)，組建一個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時(shí)可做300人次的核酸檢測(cè).某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測(cè)工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和________個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.16．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則（1）的最小值為______；（2）點(diǎn)F到直線DE距離的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，是圓上一點(diǎn)，過A作直線l交圓C于另一點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)D，且A為的中點(diǎn).（1）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求直線l的方程.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）證明；（2）設(shè)，證明：若一定有零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)20．（12分）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認(rèn)為應(yīng)該選哪名學(xué)生參加比賽？為什么？21．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)（Ⅱ）若，，求的取值范圍22．（10分）已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B2、B【解析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B3、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即為故選：C4、C【解析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.5、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.6、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.7、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.8、D【解析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題9、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個(gè)三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點(diǎn)睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.10、C【解析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)A，，為奇函數(shù)；對(duì)B，，為奇函數(shù)；對(duì)C，，為偶函數(shù)；對(duì)D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.11、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫妫裕?，，，又底面是正方形，所以，，?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.12、C【解析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)過M的切線切點(diǎn)為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，，令，則過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)∵，故當(dāng)x<0或x>1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒14、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當(dāng)時(shí)，取最大值1，∵對(duì)任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值1，故，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔15、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進(jìn)而作出可行域，最后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】設(shè)需要組建個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，則每小時(shí)做核酸檢測(cè)的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點(diǎn)，所以組建4個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和2個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.故答案為：4；2.16、①.；②..【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.空一：利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合平面兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：設(shè)關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)線段與橫軸的交點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為；空二：設(shè)，為垂足，則有，，，因?yàn)椋?，因此，化?jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點(diǎn)斜式去求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）以A為的中點(diǎn)為突破口，設(shè)點(diǎn)法去求直線l的方程簡(jiǎn)單快捷.【小問1詳解】圓可化為，圓心因?yàn)橹本€的斜率為，所以圓C在A點(diǎn)處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問2詳解】由題意設(shè)因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以將B代入圓C方程得解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為所以l方程為或18、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問2詳解】由(1)知，，所以.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)同分化簡(jiǎn)，構(gòu)造新函數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可；(2)令g(x)＝0，化簡(jiǎn)方程，將問題轉(zhuǎn)化為討論方程解的個(gè)數(shù)問題.【小問1詳解】,設(shè)，則，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，而，所以時(shí)，，所以；小問2詳解】有零點(diǎn)，則有解，即有解，又，則只要，因?yàn)?，方程可以化為，現(xiàn)在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因?yàn)?，所以，在?nèi)恒有，而在遞增，當(dāng)x＝時(shí)，h()＝，故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在存在唯一零點(diǎn).所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以有零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是是將方程零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，通過討論單調(diào)性和最值（極值）的正負(fù)即可判斷零點(diǎn)的有無和個(gè)數(shù).20、（1）；；；；（2）選乙參加比賽，理由見解析.【解析】（1）利用平均數(shù)和方程公式求解；（2）利用（1）的結(jié)果作出判斷.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)得：；；（2）由（1）可知，甲乙兩人平均成績(jī)一樣，乙的方差小于甲的方差，說明乙的成績(jī)更穩(wěn)定；應(yīng)該選乙參加比賽.21、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，得，故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以沒有極值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn).（Ⅱ）由，即，可得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點(diǎn)可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點(diǎn)到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：