《線性代數(shù)》課件 第5章 克拉默法則

第五章克拉默法則第五章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容n階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算適定方程組的系數(shù)行列式克拉默法則每個(gè)線性方程組都唯一對(duì)應(yīng)于一個(gè)系數(shù)矩陣和增廣矩陣，并借矩陣可以求解一些線性方程組，對(duì)于適定方程組來(lái)說(shuō)，有一種借助行列式得出線性方程組的公式解法——克拉默法則.行列式還可以判斷矩陣是否可逆等.接下來(lái)介紹適定方程組的系數(shù)行列式的概念.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

有沒(méi)有一種方法，它不需要以上這些消元的繁瑣過(guò)程，只需要給出方程組，就可以直接得到答案呢？５.１線性方程組的系數(shù)行列式1683年中國(guó)數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在他的著作《算法統(tǒng)宗》中提出了“垛積術(shù)”，用于計(jì)算行列式1693年德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在他的著作《論行列式》中也提出了行列式的概念.他們兩人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了行列式，并將其用于求解線性方程組.1750年瑞士數(shù)學(xué)家加百列·克拉默（GabrielCramer）發(fā)現(xiàn)了克拉默法則，該法則利用行列式來(lái)求解線性方程組的解.克拉默法則的發(fā)現(xiàn)使得行列式在求解線性方程組方面具有重要意義。十九世紀(jì)以后行列式理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善５.１線性方程組的系數(shù)行列式解方程組構(gòu)造行列式證明行列式可解方程組構(gòu)造成功５.１線性方程組的系數(shù)行列式總的來(lái)說(shuō)，行列式的定義思路要曲折一些，大致是：

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二元適定方程組的解具有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式就是主對(duì)角線上的兩元素的乘積和次對(duì)角線上的兩元素的乘積之差.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述解的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)三元適定方程的解有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

三階行列式運(yùn)算規(guī)則顯然，該解具有上述6個(gè)特點(diǎn).５.１線性方程組的系數(shù)行列式三階行列式等于表中所有不同行，不同列元素的乘積的代數(shù)和.圖5-2三階行列式對(duì)角線法則沿主對(duì)角線方向各實(shí)線相連的三個(gè)數(shù)的積取正號(hào)，沿次對(duì)角線方向各虛線相連的三個(gè)數(shù)的積取負(fù)號(hào).所得各項(xiàng)的代數(shù)和即為式（5-12）所示的三階行列式的值.三階行列式的值可以用圖5-2來(lái)記憶.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.2克拉默法則定理5.2.1（克拉默法則）

５.2克拉默法則５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

回顧與小結(jié)1.二階行列式與三階行列式的概念；2.二階行列式與三階行列式的計(jì)算方法；3.克拉默法則求解二元一次方程組和三元一次方程組的具體步驟。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算回顧二階、三階行列式的計(jì)算.

三階行列式運(yùn)算規(guī)則

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

若是排列后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)小，符號(hào)為負(fù).

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號(hào)；有兩個(gè)大于一個(gè)小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號(hào)；５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算若排列為

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是大于時(shí)排列在行列式的項(xiàng)中取負(fù)號(hào)；兩個(gè)小于一個(gè)大于時(shí)的排列再行列式中的項(xiàng)取負(fù)號(hào).若記小于號(hào)表示一個(gè)順序排列，大于號(hào)表示一個(gè)逆序排列，則有結(jié)論：二階、三階行列式的項(xiàng)中，若固定行標(biāo)為順序排列時(shí)，列標(biāo)是順序排列的項(xiàng)取正號(hào)；列標(biāo)有一個(gè)或三個(gè)逆序排列的項(xiàng)取負(fù)號(hào)；列標(biāo)有兩個(gè)逆序排列的項(xiàng)取正號(hào).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算5.3.1排列定義5.1如123456和453261是兩個(gè)6級(jí)排列，但是123425不是排列.

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見(jiàn)表5-1：表5-1n級(jí)排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12…選法…1

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見(jiàn)表5-2：表5-25級(jí)排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12345選法54321５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.2如排列312中，第一個(gè)位置是3，第二個(gè)位置是1，第一個(gè)位置的數(shù)比第二個(gè)位置的數(shù)大，這就構(gòu)成了一個(gè)逆序;第三個(gè)位置的數(shù)為2，第一個(gè)位置的數(shù)比第三個(gè)位置的數(shù)大，這也構(gòu)成了一個(gè)逆序.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.3根據(jù)定義，求一個(gè)排列的逆序數(shù)的步驟：依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算于是排列的逆序數(shù)為t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.217986354↓↓↓↓↓↓↓↓↓010013445例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。解：

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換.將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換.定義5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.2如12534這個(gè)排列的逆序數(shù)為2，是一個(gè)偶排列，若將2與5對(duì)換，即經(jīng)過(guò)一次相鄰對(duì)換，變?yōu)榕帕?5234，其逆序數(shù)為3，是一個(gè)奇排列；若將2與4對(duì)換一次，變?yōu)榕帕?4532，其逆序數(shù)為5，是一個(gè)奇排列，可見(jiàn)對(duì)換一次會(huì)改變排列的奇偶性.任意一個(gè)排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后，其奇偶性發(fā)生改變.定理5.3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.5

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.6

性質(zhì)1

注：性質(zhì)1說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)2

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)4５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)5５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)6５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算數(shù)學(xué)上常用的一種思想方法是將復(fù)雜的對(duì)象轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的對(duì)象再進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而就有了降冪、降階等思想，自然的思考到，低階的行列式比高階的行列式簡(jiǎn)單，那么高階的行列式能否轉(zhuǎn)化為低階的行列式再進(jìn)行計(jì)算呢？答案依然是肯定的，這就是下面給出的行列式展開(kāi)定理.5.3.4行列式展開(kāi)定理５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.7

注：（1）行列式中每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式；

（2）一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān)，而與該元素的取值無(wú)關(guān).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行