《線性代數(shù)》課件 第5章 克拉默法則

第五章克拉默法則第五章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容n階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算適定方程組的系數(shù)行列式克拉默法則每個(gè)線性方程組都唯一對應(yīng)于一個(gè)系數(shù)矩陣和增廣矩陣，并借矩陣可以求解一些線性方程組，對于適定方程組來說，有一種借助行列式得出線性方程組的公式解法——克拉默法則.行列式還可以判斷矩陣是否可逆等.接下來介紹適定方程組的系數(shù)行列式的概念.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

有沒有一種方法，它不需要以上這些消元的繁瑣過程，只需要給出方程組，就可以直接得到答案呢？５.１線性方程組的系數(shù)行列式1683年中國數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在他的著作《算法統(tǒng)宗》中提出了“垛積術(shù)”，用于計(jì)算行列式1693年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在他的著作《論行列式》中也提出了行列式的概念.他們兩人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了行列式，并將其用于求解線性方程組.1750年瑞士數(shù)學(xué)家加百列·克拉默（GabrielCramer）發(fā)現(xiàn)了克拉默法則，該法則利用行列式來求解線性方程組的解.克拉默法則的發(fā)現(xiàn)使得行列式在求解線性方程組方面具有重要意義。十九世紀(jì)以后行列式理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善５.１線性方程組的系數(shù)行列式解方程組構(gòu)造行列式證明行列式可解方程組構(gòu)造成功５.１線性方程組的系數(shù)行列式總的來說，行列式的定義思路要曲折一些，大致是：

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二元適定方程組的解具有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式就是主對角線上的兩元素的乘積和次對角線上的兩元素的乘積之差.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述解的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)三元適定方程的解有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

三階行列式運(yùn)算規(guī)則顯然，該解具有上述6個(gè)特點(diǎn).５.１線性方程組的系數(shù)行列式三階行列式等于表中所有不同行，不同列元素的乘積的代數(shù)和.圖5-2三階行列式對角線法則沿主對角線方向各實(shí)線相連的三個(gè)數(shù)的積取正號，沿次對角線方向各虛線相連的三個(gè)數(shù)的積取負(fù)號.所得各項(xiàng)的代數(shù)和即為式（5-12）所示的三階行列式的值.三階行列式的值可以用圖5-2來記憶.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.2克拉默法則定理5.2.1（克拉默法則）

５.2克拉默法則５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

回顧與小結(jié)1.二階行列式與三階行列式的概念；2.二階行列式與三階行列式的計(jì)算方法；3.克拉默法則求解二元一次方程組和三元一次方程組的具體步驟。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算回顧二階、三階行列式的計(jì)算.

三階行列式運(yùn)算規(guī)則

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

若是排列后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)小，符號為負(fù).

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號；有兩個(gè)大于一個(gè)小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號；５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算若排列為

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是大于時(shí)排列在行列式的項(xiàng)中取負(fù)號；兩個(gè)小于一個(gè)大于時(shí)的排列再行列式中的項(xiàng)取負(fù)號.若記小于號表示一個(gè)順序排列，大于號表示一個(gè)逆序排列，則有結(jié)論：二階、三階行列式的項(xiàng)中，若固定行標(biāo)為順序排列時(shí)，列標(biāo)是順序排列的項(xiàng)取正號；列標(biāo)有一個(gè)或三個(gè)逆序排列的項(xiàng)取負(fù)號；列標(biāo)有兩個(gè)逆序排列的項(xiàng)取正號.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算5.3.1排列定義5.1如123456和453261是兩個(gè)6級排列，但是123425不是排列.

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見表5-1：表5-1n級排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12…選法…1

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見表5-2：表5-25級排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12345選法54321５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.2如排列312中，第一個(gè)位置是3，第二個(gè)位置是1，第一個(gè)位置的數(shù)比第二個(gè)位置的數(shù)大，這就構(gòu)成了一個(gè)逆序;第三個(gè)位置的數(shù)為2，第一個(gè)位置的數(shù)比第三個(gè)位置的數(shù)大，這也構(gòu)成了一個(gè)逆序.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.3根據(jù)定義，求一個(gè)排列的逆序數(shù)的步驟：依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算于是排列的逆序數(shù)為t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.217986354↓↓↓↓↓↓↓↓↓010013445例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。解：

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

在排列中，將任意兩個(gè)元素對調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換.將相鄰兩個(gè)元素對換，叫做相鄰對換.定義5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.2如12534這個(gè)排列的逆序數(shù)為2，是一個(gè)偶排列，若將2與5對換，即經(jīng)過一次相鄰對換，變?yōu)榕帕?5234，其逆序數(shù)為3，是一個(gè)奇排列；若將2與4對換一次，變?yōu)榕帕?4532，其逆序數(shù)為5，是一個(gè)奇排列，可見對換一次會改變排列的奇偶性.任意一個(gè)排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性發(fā)生改變.定理5.3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.5

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.6

性質(zhì)1

注：性質(zhì)1說明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)2

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)4５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)5５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)6５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算數(shù)學(xué)上常用的一種思想方法是將復(fù)雜的對象轉(zhuǎn)化為簡單的對象再進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而就有了降冪、降階等思想，自然的思考到，低階的行列式比高階的行列式簡單，那么高階的行列式能否轉(zhuǎn)化為低階的行列式再進(jìn)行計(jì)算呢？答案依然是肯定的，這就是下面給出的行列式展開定理.5.3.4行列式展開定理５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.7

注：（1）行列式中每一個(gè)元素對應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式；

（2）一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān)，而與該元素的取值無關(guān).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行