2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求和的常用方法-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列求和的常用方法-專項(xiàng)訓(xùn)練

一、基本技能練

1.已知數(shù)列｛a*｝滿足或+i—a”=2(〃CN*),ai=-5,則|ai|+|a2H--卜隧|=()

A.9B.15

C.18D.30

2.在數(shù)列｛。〃｝中，<71=3,am+n=ClmJ^an(jn,〃GN'),若。1+。2+。3+…+四=135,

則左等于()

A.10B.9

C.8D.7

3.數(shù)列｛麗｝滿足包+1+(—1)3=2〃一1,則｛如｝的前60項(xiàng)和為()

A.3690B.3660

C.1845D.1830

4.在等差數(shù)列｛a”｝中,03+05=04+7,mo=19,則數(shù)歹(]｛。〃85〃兀｝(〃e川)的前2023

項(xiàng)和為()

A.lOilB.1010

C.-2023D.-2022

5.已知函數(shù)人x)=y的圖象過點(diǎn)(4,2),令工=/(“+1J+/(〃)("?N*),記數(shù)列

｛斯｝的前7項(xiàng)和為S,則S2023等于()

A.y/2023+1B々2024—1

C.、2023-1D.y/2024+1

6.(多選)已知等差數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和為的，公差d=l.若m+3a5=S7,則下列結(jié)

論一定正確的是()

A.<25=1B.S，最小時(shí)n=3

C.S1=S6D.S〃存在最大值

1]]]________1________=

7方十2+4十2+4+6十2+4+6+8^h2+4+6H------F2022一---------

-n箏的值為

8.數(shù)列｛aa｝滿足ai+2a2+3a3H-----1nan=2,則"j+

9.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛為｝首項(xiàng)為1,前”項(xiàng)的和為S,且S〃=~~4

(〃GN*),設(shè)耳=2"s,則數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和4=.

10.斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在實(shí)際生活

中，很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐

波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛劣｝滿足:

<21=02=1>tZn+2=<7n+1+N*),貝！J1+03+05+07+。9H023是斐波那契

數(shù)列｛麗｝中的第項(xiàng).

11.已知等差數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且S4=S5=—20.

(1)求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛況｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，若數(shù)列｛板｝與｛況｝的公共項(xiàng)

為am,記m由小到大構(gòu)成數(shù)列｛cQ,求｛扇｝的前n項(xiàng)和Tn.

12.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛劣｝滿足ai=l,晶+1=忌+2(即+i+aQ.

(1)求｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)記bn=-I—I,求數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和Sn.

弋。"十

二,創(chuàng)新拓展練

n

13.已知數(shù)列｛或｝滿足<71+2(72+4(73H-\-2n~1an=2>將數(shù)列｛或｝按如下方式排列

成新數(shù)歹U：<71,02,。2,<22,。3,。3,。3,。3,。3,…，

則新數(shù)列的前70項(xiàng)和為.

14.函數(shù)y=[x]稱為高斯函數(shù)，國表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[1g99]

=1.已知數(shù)列｛如｝滿足磁=3,Man=n(an+i—an),若b”=[lgM，則數(shù)列｛瓦｝的前

2023項(xiàng)和為.

15.對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和,

構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1,5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,6,5,第2次得

到數(shù)列1,7,6,11,5,依次類推，第〃次得到數(shù)列1,羽，…，5.記第

n次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為Sn,則｛S,｝的通項(xiàng)公式Sn=.

99

16.在①&=2?！?1—3,<22=4,②2s"+i—3S”=3,。2=不③點(diǎn)(斯，S?(〃GN*)在直

線3x—y—3=0上這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答.

已知數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和為S,.

(1)求｛m｝的通項(xiàng)公式；

YI

(2)若bn=~,求｛瓦｝的前〃項(xiàng)和Tn.

參考答案與解析

一'基本技能練

1.答案C

解析?Cln+1—?！?2,Q1=-5,

???數(shù)列｛期｝是公差為2的等差數(shù)列，

an——5+2(〃-1)=2〃-7,

72(—5+2〃—7)

數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和Sn=2=〃2—6〃(〃￡N*).

一7

令詼=2〃一720,解得

??〃W3時(shí)，|斯|=一

時(shí)，

則|〃1|+|〃21H----\~\ae\

=—ai—。2—。3+。4+。5+。6

=Ss-2s3

=62—6X6—2X(32—6X3)=18.

2.答案B

解析令m=1,由Clm+n=dm~\~Cln可得斯+1

=

所以Cln+1—Un39

所以｛z｝是首項(xiàng)為0=3,公差為3的等差數(shù)列，

斯=3+3(〃—l)=3n,

匕)k(QI+以)k(3+3左)

所以3H----\-ak-2=2=135,

整理可得3+Z—90=0,

解得左=9或%=—10(舍去).

3.答案D

解析因?yàn)椤ㄓ?(—l)〃z=2〃-1,

故有。2—。1=1,。3+。2=3,04—03=5,〃5+。4=7,Q6—。5=9,。7+。6=11,…，

。50—049=97.

從而可得。3+。1=2,。4+。2=8,45+47=2,。8+。6=24,〃9+。11=2,〃12+〃10

=40,03+415=2,〃16+〃14=56,…

從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2,從第二項(xiàng)開始，依次取2

個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列.

所以｛期｝的前60項(xiàng)和為15X2+[15X8+至/X16)=1830.

4.答案C

解析由題意得Q3+。5=2〃4=Q4+7,解得Q4=7,

北?八堊7Qi。一〃419-7

所以公差d=]0-4=-6-=2，

則。1=。4-3d=7-3><2=1,

所以an=2n—l,

設(shè)bn=ClnCOSfTJl,

則Z71+/?2=6Z1COS兀+02COS2兀=—〃1+。2=2,

~3+~4=a3COS37l+〃4COS4兀=—〃3+〃4=2,.......,

??.數(shù)歹U｛〃〃cos〃7i｝(〃￡N*)的前2023項(xiàng)和S2023=(61+62)+(63+64)+…+(歷021+

bl022)+岳023

=2X1011-4045=~2023.

5.答案B

解析函數(shù)兀的圖象過點(diǎn)(4,2),

貝I4"=2,解得貝正，

_________1___________1

a>,f(〃+i)+/q〃+1+5,

則S2023=(理—1)+(4—地)H-----F?2023r2022)+32024r2023)=

y)2024-1.

6.答案AC

7X6

解析由已知得ai+3(ai+4Xl)=7ai+—]—X1,

解得ai=-3.

對于選項(xiàng)A,?5=—3+4X1=1,故A正確.

=

對于選項(xiàng)B,an—3+冏―1=n—4,

因?yàn)?lt;71=—3<0,<72=—2<0,4/3=—1<0,<74=0,<75=1>0>

所以的的最小值為S3或S4,故B錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)C,Sb—51=42+。3+。4+。5+。6=5。4,

又因?yàn)?lt;24=0,

所以S6—S1=O,即S1=S6,故C正確.

n(n-1)“2一7”

對于選項(xiàng)D,因?yàn)榈?—3〃+—2—二—^，所以凡無最大值，故D錯(cuò)誤.

7.口木I。]2

解析根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，

可得2+4+6H-----\-2n=~~~^~~~=ri(n-\-1),

用11

因?yàn)閮?〃+1)~nn+V

所以』+——++----------I1------------------

m*2十2+42+4+62+4+6+82+4+6HP2022

7

8.答案而

解析對于。1+2〃2+3〃3+…

當(dāng)時(shí)，。1+2。2+3。3+…+（〃-1）斯—1=2"I

兩式相減得〃詼=2L1,

2〃一］

則外=孔，〃三2,又=21=2不符合上式，

2,n—1,

則為=<2"—1

K心2,

si/r>ngJ-0*或+1=2k_2*_j_1_1_1~■）

當(dāng)時(shí)'小一（左+1）人.22亡24（左+1）—2”左+什

.axaiaia3Q9〃10

??丁十豐十

41

-X

2

9.答案（2〃一3）2"1+6（〃eN*）

解析由題意48=（斯+1）2,①

4Sn+1=（斯+1+1>，②

兩式相減得4〃九+1=（Q〃+1+1）2—（an~\~1）2,

即（Z+1—an-2）（。〃+1+an）=0,

??！?gt;0,??斯+i+o〃W0,cin+i—?！?2,

???｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，

?/6/1=1,

??Cln=41+（H—1）d=2〃—1,bn=2rleIn=（2〃-1）2".

由錯(cuò)位相減法可求得4=（2〃一3）2〃+i+6（〃￡N*）.

10.答案2024

角星析依題意，得1+〃3+〃5+。7+〃9+…+〃2023=〃2+03+〃5+。7+〃9+…+。2023

=。4+。5+。7+。9+?一+。2023=。6+。7+。9+???+。2023=???=〃2022+。2023=4/2024.

n.解（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為"，

由5*4=5*5=—20,

得4ai+6d=5ai+10d=-20,

解得ai=—8,d=2,

則外=—8+2(〃一1)=2〃一10(〃?N*).

(2)數(shù)列｛兒｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹

氏=4-4"-i=4"(〃GN*).

又依題意2機(jī)—10=4",

10+4",,

.,.m=2=5+2"I

2(1—4")_,22n+1—2

則4=5-=5n~\~g.

1-4

12.解（1）各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛麗｝滿足。1=1,晶+1=晶+2（即+1+訪0,

整理得（。〃+1+?！保?1—an）=2（tZw+l+an）,

由于aa+i+a.WO,

所以ctn+i—a”=2,

故數(shù)列｛所｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以an=2n—l.

11、2n+1—\l2n-1

（2）由⑴可得bn=

Cln+1\)2n—1+^2n+12

所以S*X(#T+小―仍H----”2〃+l—jn—l)=^2n+l-1).

二,創(chuàng)新拓展練

47

13.答案而

[=9

解析由。1+2〃2+4〃3+…+2"an2①

n2

得QI+2〃2+4Q3H------\-2~an-i

n—1

=-(H^2),②

①一②得2"1a?=2＞即。1=吩(〃三2),

又ai=T，即

由1+3+5H-----P(2〃-1)=/=64,

得〃=8.

令s=；+奈+^—

兩式相減得;S=^+2X/+2X/H---F2X^8—^=1+-

所以新數(shù)列的前70項(xiàng)和為公749+熱6=而47

14.答案4962

解析因?yàn)槿?〃(?！?1—Cln)9

所以(1+n)cin="02+1,

Cln+\Un

n~\~1n

所以智為常數(shù)數(shù)列,

所以an=n,

記｛瓦｝的前"項(xiàng)和為Tn,

當(dāng)1W〃W9時(shí)，O^lgan<l,bn=0;

當(dāng)10W〃W99時(shí)，lWlgz<2,bn=l；

當(dāng)100W〃乏999時(shí)，2Wlga”<3,瓦=2；

當(dāng)1000W〃W2023時(shí)，3Wlga“<4,從=3；

所以72023=[1gai]+[lg<22]4--k[lgai023]

=9X0+90X1+900X2+1024X3

=4962.

15.答案3+3n+l

解析由題意可知，第九次得到數(shù)列1,XI,X2,X3,…，5.

第1次得到數(shù)列1,6,5,

第2次得到數(shù)列1,7,6,11,5,

第3次得到數(shù)列1,8,7,13,6,17,11,16,5,

第4次得到數(shù)列1,9,8,15,7,20,13,19,6,23,17,28,11,27,16,

21,5.

第九次得到數(shù)列1,XI,X2,X3,…，5,

所以Si=6+6=6+2X31

12

52=6+6+18=6+2X3+2X3,

53=6+6+18+54=6+2X31+2X32+2X3\

1234

54=6+6+18+54+162=6+2X3+2X3+2X3+2X3,

即S?=6+2(3x+324----43")

2X3(1—3")

=64=3+3"+L

1-3

16.解(1)方案一選條件①.

?Sn=2,Cln+l—3)

??.當(dāng)“三2時(shí)，Sn-l=2an-3,

_3

兩式相減，整理得〃(九三2).

.._9

?02—4，

■___3_3

??Q1=S1=2〃2—3=5，

等=|(〃GN*),

??.數(shù)列｛詞是以3豺首項(xiàng)，力3公比的等比數(shù)列,

方案二選條件②.

'：2Sn+l-3Sn=3,

.?.當(dāng)〃三2時(shí)，2Sn-3Sn-l=3,

一3

兩式相減，整理得（〃三2）.

??9

V2（ai+