2023年高考數(shù)學一輪復習：復數(shù)（重點）原卷版

考向05復數(shù)

【2022年新高考全國I卷】若i(l-z)=l,貝l|z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的除法可求z,從而可求z+2.

【詳解】

由題設有l(wèi)_z=：=q=_i,故z=l+i,故z+N=(l+i)+(l_i)=2,

故選：D

【2022年新高考全國n卷】(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

1.求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z=a+初(a,beH),則該復數(shù)的實部為

a,虛部為

2.求一個復數(shù)的共輾復數(shù)，只需將此復數(shù)整理成標準的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原

復數(shù)的共軌復數(shù).

3.復數(shù)z、復平面上的點Z及向量oZ相互聯(lián)系，即z=a+歷(。力eR)oZ(a,b)oOZ=(a力).

4.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題

時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

5.復數(shù)的加減法：在進行復數(shù)加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部

與虛部相加減)計算即可.

6.復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的

看作另一類同類項，分別合并即可.

7.復數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.

常用結(jié)論：

⑴(l±z)2=±2z,1^=z,^—^=-z

l-il+i

(2)-b+ai-i(a+bi).

(3)嚴=1,產(chǎn)力=1,產(chǎn)+2=—1,產(chǎn)+3=_*〃eN*)；產(chǎn)+產(chǎn)+】+產(chǎn)+2+產(chǎn)+3=0(〃eN*)

⑷Z?彳=|z|2=|彳|2,歸,月訃同，:|z[=|zr

,易錯點

1.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)復數(shù)的概念：

形如a+砥a,beR)的數(shù)叫復數(shù)，其中〃分別是它的實部和虛部.若人=0,則。+方為實數(shù)；若AwO,

則。+初為虛數(shù)；若。=0且bwO,則。+初為純虛數(shù).

(2)復數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共輾復數(shù)：。+初與c+di共趣oa=c,Z?=-d(a,dc,deR).

(4)復數(shù)的模:

向量QZ的模叫做復數(shù)z=Q+Z?i（〃,Z?￡R）的模，記作忖或|〃+歷|,BP|z|=|a+bi|=y/a2+b2.

2.復數(shù)的幾何意義

一一^對應

(1)復數(shù)z=a+bi------?復平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,bGR).

一一^寸應

(2)復數(shù)Z=Q+/?2(Q/￡尺)^------?平面向量。Z.

3.復數(shù)的運算

設Z]=a+bi.z2=c+di(a,b,c,de7?),貝！J

(1)加法：zx+z2={a+bi)+(c+di)=(tz+c)+(Z?+d)i；

(2)減法：zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

(3)乘法：Zjz2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

4a+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbe-ad

（4）除法:H-5-------:i(c+diw0).

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c+d

2-i

（2022?全國?模擬預測）7^—y

13.

---------1

22

2.（2022.全國.模擬預測）若復數(shù)z滿足（2+i）z=|道-i3|（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)z所對應的點位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

Y—2i

3.（2022?青海?模擬預測（理））若V=2y（x,yeR,i為虛數(shù)單位），則復數(shù)x+M在復平面內(nèi)所對

應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2022?廣東茂名.二模）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（1,1）,彳是z的共朝復數(shù)，則二=（）

Z

5.（2022.江蘇無錫.模擬預測）已知復數(shù)z滿足（、i）i=4+3i,則忖=（）

A.2卡B.3C.2A/3D.3亞

1.（2022?山東聊城.三模）若復數(shù)z滿足z+3i=Z，則復數(shù)z的虛部為（）

33〃3.3.

A.-B.—C.-1D.—1

2222

2.（2022.江蘇?揚中市第二高級中學模擬預測）若i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足iw|z+l+i|40,則的

最大值為.

3.（2022?上海?模擬預測）若1-后（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實系數(shù)方程/+法+。=0的一個復數(shù)根，

則不=.

4.（2022?天津?靜海一中模擬預測）已知復數(shù)z滿足z（l+i）=3-4i（其中i為虛數(shù)單位），則|力=

5.（2022.全國.模擬預測）請寫出一個同時滿足①|(zhì)z-況+-2卜②，=2的復數(shù)z,z=.

6.（2022?全國?模擬預測）若復數(shù)z滿足z-（l+2i）=6i,則］=（）

126.「126,126.卜126.

AA.--F—1B.----1C.---F—1D.-----1

55555555

7.（2022?福建?三明一中模擬預測）己知i是虛數(shù)單位，若層=。十萬（a,beR）,則的值是（）

1+1

A.—1B.—C.—D.1

32

8.（2022?河南省杞縣高中模擬預測（理））己知復數(shù)z滿足（l+2i）z-l—i=0,則z的虛部為（）

A.—B.—iC.—D.—

5555

9.（2022?河南安陽?模擬預測（理））^z=x+yi（xeZ,yeZ）,則滿足z-Zl的復數(shù)z的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

10.（2022?浙江紹興.模擬預測）人們對數(shù)學研究的發(fā)展一直推動著數(shù)域的擴展，從正數(shù)到負數(shù)、從整數(shù)到

分數(shù)、從有理數(shù)到實數(shù)等等.16世紀意大利數(shù)學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了i?=T，17

世紀法因數(shù)學家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”,用。+歷（。、beR）表示復數(shù),并在直角坐標系上建立了“復平面”.若

復數(shù)Z滿足方程Z2+2Z+5=0,則2=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

11.（2022.河南.開封市東信學校模擬預測（理））復數(shù)z滿足i2°22z=,,則復數(shù)z=（）

4-31

A43.n43.43.43.

55555555

12.（多選題）（2022?江蘇南京?模擬預測）任何一個復數(shù)z=a+慶（其中。、bwR,i為虛數(shù)單位）都可以

表示成：z=r（cos6+z-sin。）的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

z"=[r（cos，+isin。）]"=r"（cosMd+isin"，""w做）,我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列

說法正確的是（）

A.歸卜，

7T

B.當尸=1,。=彳時，z3=l

C.當r=l,g時，z=--^z

322

-TT

D.當r=l,，=?時，若，為偶數(shù)，則復數(shù)z"為純虛數(shù)

4

13.（2022.上海?位育中學模擬預測）如果復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+4+2i|的最大值是.

真題練

1.（2022?北京?高考真題）若復數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

2.（2022?浙江?高考真題）已知〃,beR,〃+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.ci=l,b=-3B.CL=—l,b=3C.a=-1,t>=-3D.a=l,b=3

3.（2022?全國?高考真題（理））若z=T+/,貝（）

ZZ

A.-1+V3iB.-1-731C.一"D,，一回

3333

4.（2022?全國?高考真題（理））已知z=l-2"且z+應+Z?=0,其中〃，匕為實數(shù)，則（

A.a=l,b=—2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

5.（2022?全國?高考真題（文））若z=l+i.則山+3利=（）

A.4岔B.4近C.2A/5D.20

6.（2022?全國?高考真題（文））設（l+2i）a+8=2i,其中a,6為實數(shù)，則（）

A.ci=l,b=-1B.?=1,Z?=1C.〃=—1,6=1D.a=-l,b=-l

復數(shù)累在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）

7.（2021.全國.高考真題）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（2021?北京?高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足d-i）z=2,則2=()

A.—1—iB.—1+iC.1—zD.1+i

9.（2021.全國.高考真題）已知z=2—i,貝iJz(N+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

10.（202（全國?高考真題(文))已知(l-i)2z=3+2i,貝?。輟=()

33.33

A.-1——iB.-l+-zC.——+zD.------1

2222

11.（2021.全國?高考真題(理))設2(z+z)+3(z-z)=4+6l,則Z=()

A.1-2/B.l+2zC.1+iD.1—z

12.（2021?全國?高考真題(文))設iz=4+3i,貝ijz=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

13.（2021?浙江?高考真題）已知aeR,(l+ai)i=3+i,(i為虛數(shù)單位)，則()

A.-1B.1C.-3D.3

14.（2022.上海.高考真題）已知z=2+i,貝|N=________

9+2i

15.（2021?天津?高考真題）i是虛數(shù)單位，復數(shù)丹=______

2+i

基礎綜

1.【答案】B

2-i(2-i)(l-i)l-3i_l3.

T+T-(l+i)(l-i)~2

故選：B.

2.【答案】D

【解析】因為（2+i）z=2T，gp（2+i）z=|V3+i|,故z=2=（2j：（2L）=?所以在復平面內(nèi)

z所對應的點為（［廠|）,位于第四象限.

故選：D.

3.【答案】C

【解析】因三步“，則有1f+2"而…R,有解得—,

所以復數(shù)無+yi在復平面內(nèi)所對應的點（-2,-1）位于第三象限.

故選：C

4.【答案】B

【解析】???復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（1,1）,

z=l+i,z=1—i,

11+i1+i11.

-=---------------==—I-1

z(l-i)(l+i)222,

故選：B.

5.【答案】D

【解析】依題意，1-i=3,則有I=(4+、),i)+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

1i-(-i)

所以忖=，32+3?=3A/2.

故選：D

提升練

1.【答案】B

【解析】設2=。+歷（。］€1＜）,則一歷，

3

因為z+3i=z,則a+（b+3）i=a-6i,所以，b+3=-b,解得。=-耳,

3

因此，復數(shù)z的虛部為

2

故選：B.

2.【答案】3拒

【解析】復數(shù)z滿足1業(yè)+1+怔0,gpi<|z-(-l-i)|<V2

即復數(shù)z對應的點Z到點C(-l,-l)的距離d滿足1vdV行

設P(U),|z-l-i|表示復數(shù)z對應的點Z到點P(U)的距離

數(shù)形結(jié)合可知|z-1-i|的最大值|AP|=|cp|+夜=722+22+夜=372

故答案為：3亞

3.【答案】—##0.0625

16

【解析】???實系數(shù)一元二次方程Y+"+c=o的一個虛根為1一指i,

其共軌復數(shù)1+6，也是方程的根.

0_匈+(1+匈=-6

由根與系數(shù)的關(guān)系知,

(l-V3i)(l+^i)=c

/.b=-2,c=4.

故答案為：—

16

4.【答案】述

2

【解析】由z(l+i)=3—4i得z="二O-O)(>i):3—3i-4i—4

所以故

1+i22

|z|=

故答案為:還

2

5.【答案】±(l+i)

【解析】設2=“+歷，a,/^^由條件①可以得到"+^^小加臼②+匕兩邊平方化簡可得.功,

^|z|"=2=>a2+b2=2=>a=b=+l,z=±(l+i)；

故答案為：±(l+i)

6.【答案】B

【解析】因為6i(l-2i)12+6i126.

z=^----------------------------------1---1

(l+2i)(l-2i)555

所以三*g.

故選：B

7.【答案】D

【解析】由復數(shù)的運算法則，可得幣1-i=局岸=7,

因為---=a+bi(a,beR),即a=O,Z?=—l,所以=

1+i

故選：D.

8.【答案】C

【解析】由題意知z=^(l+i)(l-2i)_3-i^31.

(l+2i)(l-2i)-^-_5-51

所以z的虛部為-g.

故選C.

9.【答案】D

【解析】因為z，Wl，所以Y+y2vi,而xeZ,yeZ,所以當x=-l時，y=0；當x=0時，y=l或＞=-1

或V=0;當x=l時，7=0,即滿足z；wl的復數(shù)z的個數(shù)為5.

故選：D.

10.【答案】c

【解析】設2=。+歷(a,6wR),HZ2+2Z+5=0,則(a+bi)?+2(a+6i)+5=。,

a2-b2+2a+5=0a——1

即(a?+2°+5)+2b(a+l)i=0,而a,6eR,貝I]，解得

2gz+l)=0b=±2

所以z=-l±2i.

故選：C

11.【答案】D

【解析】由]2=-1]=1可得則-Z=5g：：)1+".-.Z=4-ji.

')(4-31)(4+31)5555

故選：D.

12.【答案】AC

【解析】對于A選項，z=r(cose+isine),貝ljz?=/(cos2g+，sin2e),可得團=尸(cos26+isin2e)|=/,

|z|2=|r(cos6,+zsin^)|2=r2,A選項正確；

對于B選項，當丁=1,夕=耳時，z?=(cos6+isin。)=cos30+isin30=cos?sin^=-1,B選項錯誤；

對于C選項，當r=1,8=f時，z=cos—+zsin—=\烏,則i,C選項正確；

3332222

對于D選項，zn-(cos0+zsin6)"=cosnO+zsinnO=cos與+zsin等,

取九=4,貝IJ"為偶數(shù)，則z4=cos%+isin/=-1不是純虛數(shù)，D選項錯誤.

故選：AC.

13.【答案】5

【解析】設2=了+同，x,yeR,則也2+什+1)2+擊2+6])2=2,

變形為J/+(y+l)2=2-^2+(y-l)2,兩邊平方后得到1-y=,

兩邊平方后得到x=0,將x=0代入G+(y+l)2+/2+什一if=2,

即|y+l|+?T|=2,故-LVyWl,

貝1||z+4+2i|=^(x+4)2+(y+2)2=^16+(y+2)2,

當y=l時，|z+4+2i|=J16+(y+2『取得最大值,最大值為5

故答案為：5

真題練

1.【答案】B

【解析】由題意有z=7=0：：［、(=_4_予,故|2|=八一4『+(-3)2=5.

故選：B.

2.【答案】B

【解析】a+3i=-l+M,而a,方為實數(shù)，故a=T,6=3,

故選：B.

3.【答案】C

【解析】z=-l-V3i,zz=(-l+73i)(-l-A/3i)=l+3=4.

z-1+后16.

--=----=--1--1

ZZ-1333

故選：C

4.【答案】A

【解析】2=1+2i

z+az+Z7—1—2i+a(l+2i)+b=(1+a+Z?)+(2Q—2)i

1+Q+Z?=0a=1

由z+az