甘肅省臨夏市2025年高三數(shù)學第三次模擬考試試題（含解析）

甘肅省臨夏市2025年高三數(shù)學試題第三次模擬考試試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（x）二在［-2乃,2捫的圖象大致為

cosx-x

2.已知數(shù)列｛為｝對任意的〃eN*有％=%-￡^+1成立，若q=L則％。等于（）

10191111122

A.-----B.—C.----D.-----

10101111

3.已知函數(shù)/（x）=g依2_（x—若對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)和9、七，都有/（石）+/（%）2/（不），

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[1,2]［則C.[14]D.[1,2)3%4]

4.已知集合4=任￡可匕＜8口，B={2,3,6},C={2,3,7},則3D(?C)=()

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7)

5-已知函數(shù)/⑴二嬴二,則函數(shù)y=1）的圖象大致為（）

6.三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個

以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃

色，其面積稱為朱實、黃實，利用2義勾義股+（股-勾）2=4x朱實+黃實=弦實，化簡，得勾2+股2=弦2.設勾股形

中勾股比為1:8,若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為（）

C.300D.500

7.設。為坐標原點，P是以歹為焦點的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且=2\MF\,

則直線OM的斜率的最大值為（）

A.立B.-C.—D.1

332

22

8.已知6、E是雙曲線=-==1（。>0,6>0）的左右焦點，過點居與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一

ab

條漸近線于點若點“在以線段￡月為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(2,+oo)B.(62)C.(6,6)D.(1,72)

9.拋擲一枚質地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）

10.已知加，”是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是()

A.若加||。，m||/?,n//a,n///3,則e||月

B.若加〃”，m±cr,nVp,則

C.若加J_〃，mua,nu0,則tz_L〃

D.若加_L”，m\\a,nVf3,則。_L￡

11.設集合A={%—2<x<a},B={0,2,4},若集合8中有且僅有2個元素，則實數(shù)〃的取值范圍為

A.(0,2)B.(2,4]

C.[4,^?)D.(-oo,0)

12.設集合4、B是全集U的兩個子集，貝！|“A=3”是“Afi18=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(x)=Jlogo.5(4x-3)的定義域是.

14.已知a是第二象限角，且sina=乎，tan(cr+/7)=-2,貝!!tan￡=—.

77"77"JT

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+9),對于任意x都有/(—+x)=/(——x),則/(一)的值為____________.

666

16.已知角a+f的終邊過點P(—1,—20),貝！Isine=.

6

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面是邊長為2的菱形，ZADC=60°,為等邊三角形,

平面從D_L平面ABC。，M,N分別是線段尸。和5c的中點.

(1)求直線CM與平面BL5所成角的正弦值;

(2)求二面角D-AP-B的余弦值；

(3)試判斷直線MN與平面如5的位置關系，并給出證明.

18.(12分)如圖，在斜三棱柱A3C—4與G中，側面ACGA與側面成用C都是菱形，ZACC^ZCC^=60。，

AC=2.

(I)求證：ABX±CQ；

(n)若做=逐，求平面CAB,與平面AyAB,所成的銳二面角的余弦值.

einY

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=----，0<x<7i.

X

TT

(1)求函數(shù)/(x)在X=g處的切線方程；

2

TT

(2)當0(相v不時，證明：/(%)vain九十—對任意1￡(0,?)恒成立.

%

2

20.(12分)已知〃>0,函數(shù)=+

(I)若/(尤)在區(qū)間||,+，|上單調遞增，求a的值；

(II)若aeZ〃尤)>0恒成立，求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：e'i.6)

21.(12分)從拋物線C：x2^2py(。>0)外一點作該拋物線的兩條切線”1、PB(切點分別為A、B),分別與x

軸相交于C、D,若與y軸相交于點。，點/(/,2)在拋物線C上，且司=3(尸為拋物線的焦點).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①求證：四邊形PCQ。是平行四邊形.

②四邊形PCQD能否為矩形？若能，求出點。的坐標；若不能，請說明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x-a?|+1x-2a+31,g(x)=X?+辦+3.

(1)當a=l時，解關于x的不等式/(x)<6；

(2)若對任意玉eR,都存在々eR,使得不等式/a)>g(%)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

因為/(。)=1,所以排除C、D.當X從負方向趨近于。時，OVCOSX+XVCOSAX,可得。</(%)<1.故選A.

2.B

【解析】

觀察已知條件,對—「Ziy+i進行化簡，運用累加法和裂項法求出結果?

【詳解】

已知%?一高+1，則%+「%=一舟一￡)+i=i一4一+),所以有的一q=1一(；一1，

%o-%=1—(§-布)，兩邊同時相加得4o=9一(1-伍)，又因為％=1,所以％0=1+9—(1—元)=5.

故選：B

本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如一時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握

n(n+1)

數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.

3.C

【解析】

分析：先求導，再對a分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間，再畫圖分析轉化對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)占、/、W，都有

/(^)+/(%2)>/(%3),得到關于a的不等式組，再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得九一［/+(九一1)力=。九一%e'=x{a-ex).

當a<l時，/'(x)<。，所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調遞減，

因為對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)占、工2、%3，都有/(玉)+/(42)27(%3)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以一ClH--

22

故哈1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當Igave時，函數(shù)f(x)在［O,lna］單調遞增，在(Ina,1］單調遞減.

12

所以/(九)儂=/(Intz)=—tzlna-aVaa+a.

因為對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)占、工2、%3，都有/(石)+/(%2)2/(%3)，

所以〃。)+/⑴2/(lna),

112

所以1H—a2—aIna—QInQ+Q,

22

121

即一ciIna—aInciH—a—1<0

22

121

令g(a)=5〃lna-a］na+—a-l,(l<a<e),

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調遞減，

所以g(a)max=g(D=J<0，

所以當Ka<e時，滿足題意.

當a?e時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調遞增，

因為對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)占、％、%，都有/(石)+/(%"/(%3)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

e、1

故1+12—a,

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

綜上所述，ae［1,4］.

故選C.

點睛：本題的難點在于“對區(qū)間［0,1］內的任意實數(shù)和馬、七，都有七)”的轉化?由于是函數(shù)的問

題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就

是把這個條件和函數(shù)的單調性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學問題的等價轉化，找到了問題的突破口.

4.C

【解析】

根據(jù)集合的并集、補集的概念，可得結果.

【詳解】

集合A={xeN|N<8x}={xeN|0<x<8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7)

B=［2,3,6},C={2,3,7),

故與。={1,4,5,6),

所以6u(aC)={l,2,3,4,5,6}.

故選：C.

本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎題.

5.A

【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質逐個選項進行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

設g(x)=/(x—1)=———,由于］］〉0,排除8選項；由于g(e)=二？-,g(e2)==所以

In%-%+1In—+—2-ev'3-e

22

g(e)>g(e?),排除C選項；由于當xf48時，g(x)>0,排除￡>選項.故A選項正確.

故選：A

本題考查了函數(shù)圖像的性質，屬于中檔題.

6.A

【解析】

分析：設三角形的直角邊分別為1,g,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內的概率即可得出結論.

解析：設三角形的直角邊分別為1,色，則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為(百-=4-2』.

???圖釘落在黃色圖形內的概率為上馬8=2泊.

42

???落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為1000x"5土134.

2

故選：A.

點睛：應用幾何概型求概率的方法

建立相應的幾何概型，將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形，并加以度量.

(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；

(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數(shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角

坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；

(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐

標系即可建立與體積有關的幾何概型.

7.C

【解析】

試題分析：設尸(獸,為)，由題意/(3,0)，顯然為<0時不符合題意，故為>0,則

2p2

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=+可得：

AL

,32,20L

k°M=#p=%2P邛F，當且僅當為一=20,為=3。時取等號，故選C.

6p3P%

考點：L拋物線的簡單幾何性質；2.均值不等式.

【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔

2

題.解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件=利用向量的運算可知寫出直線的斜率,

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題.

8.A

【解析】

Y2-V2b

雙曲線二-4=1的漸近線方程為廣土一x,

aba

b

不妨設過點Fi與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=—(x-c),

a

hche

與y=-聯(lián)立，可得交點M(-,--

a22a

?..點M在以線段FiFi為直徑的圓外，

2>22

.,.|OM|>|OFi|,即有

44a-

/

A—>3,即N>3ai,

a

；.ci-ai>3a1即c>la.

則e=—>1.

a

...雙曲線離心率的取值范圍是（1,+oo）.

故選：A.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關系消掉b得到a,c的關系式，建立關于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的

坐標的范圍等.

9.A

【解析】

首先求出樣本空間樣本點為25=32個，再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù)，再求

出重復數(shù)量，可得事件的樣本點數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】

樣本空間樣本點為25=32個，

具體分析如下：

記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”，

有以下3種位置1___1.

剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是2x2=4，

但合并計算時會有重復，重復數(shù)量為2+2=4,

事件的樣本點數(shù)為：4+4+4-2—2=8個.

Q1

故不同的樣本點數(shù)為8個，—

324

故選：A

本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎題

10.B

【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.

【詳解】

A選項，若m\\j3,n//a，n///3,則a||/或c與夕相交；故A錯；

B選項，去mJ/n,m.La,則〃_La,又n工B，&，￡是兩個不重合的平面，則1||夕，故B正確；

C選項，若mua,則〃ua或〃〃&或〃與a相交，又〃u〃，a,〃是兩個不重合的平面，則或a

與夕相交；故C錯；

D選項，若相m\\a,則〃ua或“〃o或“與a相交，又n工廿,名"是兩個不重合的平面，則a||尸或c與

夕相交；故D錯；

故選B

本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于?？碱}型.

11.B

【解析】

由題意知{0,2}1A且4eA,結合數(shù)軸即可求得a的取值范圍.

【詳解】

由題意知,AP|B={0,2},則{0,2}口A,故a>2,

又則aW4,所以2<aW4,

所以本題答案為B.

本題主要考查了集合的關系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關問題，其中確定中的元素是解題的關鍵，屬于基礎

題.

12.C

【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結合，即可得出結論.

【詳解】

如圖所示，An^B=0,

同時Acg3=0nA0B.

故選:C.

本題考查集合關系及充要條件，注意數(shù)形結合方法的應用，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負，對數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.

【詳解】

解：由題意得，

x<1

log05(4x-3)>0解得13,

4尤一3>0X>一

[4

3

所以巳＜x〈l,

4

故答案為：

此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎題.

3

14.——

4

【解析】

由a是第二象限角，且sin(z=^^，

可得tana,由tan(。+#=-2及兩角和的正切公式可得tan￡的值.

5

【詳解】

解：由戊是第二象限角，JLsina,可得cosa=-26，tancr=--,

552

由tan(c+/?)=—2,可得Jana+tan°=_2,代入tan。=一!，

''1—tanaxtan尸2

3

可得tan'=一一，

4

...3

故答案為：-：.

4

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和的正切公式，相對不難，注意運算的準確性.

15.-2或2

【解析】

由條件得到函數(shù)的對稱性，從而得到結果

【詳解】

JI

.??X=一是函數(shù)f(x)=2sin(cox+cp)的一條對稱軸.

本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性，注意對稱軸必過最高點或最低點，屬于基礎題.

16.1-2而

6

【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得初”5訶9+2)-白的值.

66

【詳解】

解：?角。H—的終邊過點尸(-1,-2,

6

..71(7t\.712A/2百/11—2巫

..sina=sma-\—=sina-\——cos----cosa-\—sin—=----------------——?一二----------------,

LI6)6]I6；6I6；632I3)26

故答案為：上!諉.

o

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)叵(2)-且(3)直線MV//平面R43,證明見解析

105

【解析】

取AO中點。，連接。C,則OCLAD,再由已知證明。尸，平面ABCD,以。為坐標原點，分別以OC,OD,OP

所在直線為x,V,z軸建立空間直角坐標系，求出平面？的一個法向量為.

(1)求出血的坐標，由:與血所成角的余弦值可得直線CM與平面R鉆所成角的正弦值；

(2)求出平面上4。的一個法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角O-AP-3的余弦值；

(3)求出血的坐標，由二血=o，結合平面B43，可得直線MN//平面？A3.

【詳解】

???底面ABCD是邊長為2的菱形，ZADC=6Q°,

.?.AAC。為等邊三角形.

取AD中點。，連接。C,則OCLA。，

?.?AZW)為等邊三角形，

:.OP±AD,

又平面平面ABCD，且平面PA。。平面A5CD=M＞，

:.OP_L平面ABCD.

以。為坐標原點，分別以OC,OD,OP所在直線為X,y,z軸建立空間直角坐標系.

則4(0,-1，0),0(0,1,0),C(A/3,0,0),B電,-2,0),P(0,0,亞,

M(0,g,與,N(G-1，0).

AP=(0,1,73)-AB=(A-l,0)'設平面E4B的一個法向量為：=(x,y,z)?

n-AP=y+y/3z=0.

咋,=A-y=。’取尸收得…的”

(1)證明：設直線CM與平面R45所成角為。，

國=(一唱,當，

則sin6*=|cos<n,CM>1=1=，_=巫,

\n\-\CM\45x210

即直線CM與平面PAB所成角的正弦值為叵；

10

(2)設平面Z14P的一個法向量為2=(1,0,0)，

,——n-m1&

由cos<n,m>=-tl=—=—=一

\n\-\m\布xl5

得二面角?！狝P—3的余弦值為一正;

5

(3)?.?加=(退曰)，

.?二加=百一孚+*o,

又MVa平面B43，

二直線MV//平面R43.

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考

查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

18.（I）見解析；（II）叵.

5

【解析】

試題分析：（1）取CG中點。，連Q4,0B],由等邊三角形三邊合一可知CG，04,eq±0B,即證.（2）以。月,

0G，04為正方向建立空間直角坐標系，由向量法可求得平面CA5]與平面A】AB1所成的銳二面角的余弦值.

試題解析：（I）證明：連AG，CBX,則△ACC；和小片。。1皆為正三角形.

取CG中點。，連。4,0B},則CG，0A，Cq±OB,

則CG1平面0A3],則eq1ABl

（II）由（I）知，OA=OBl=73,又AB]=底,所以。.

如圖所示，分別以。與，。。1,Q4為正方向建立空間直角坐標系，

則0(0,—1,0),4("0,0),A(0,0,A/3),

設平面CAB｝的法向量為沉=(%,X,Z]),

因為福=(G,0,—⑹，AC=(0,-1,-A/3),

取沅=（1,一也,1）

面的用的法向量取n=（1,0,1）,

fh-n2_Vio

貝Ucos(沅，而)

阿■阿A/55

平面CAB1與平面AA與所成的銳二面角的余弦值巫.

5

44

19.(1)y=--yx+—(2)見解析

n7i

【解析】

xcosx-sinx

(1)因為/'O)=,即可求得答案;

(2)要證/(x)<mlnx-\—對任意工￡(。,萬)恒成立，即證〃ixlnx>sinx—萬對任意無￡(0,萬)恒成立.設

x

g(x)=mxlnx,h(x)=smx-7r,當％￡(0,乃)時，/z(x)=sin%-?￡(-?,l-?］,即可求得答案.

【詳解】

「，/、xcosx-sinx

(1)???/(%)=-------2------，

x乙

TT44

???函數(shù)"%)在尤=￡處的切線方程為丁=一一x+-.

271r71

JT

(2)要證/(尤)<Mln九+—對任意］￡(0,1)恒成立.

x

即證〃trlnx>sinx—4對任意x￡(0,萬)恒成立.

^g(x)=nvclnx,h(x)=sinx-7r,

當x￡(0,1)時，h(x)=sin%一萬￡(一萬,1一句，

*/g'(%)=m(lnx+l),

?.?令g'(%)=。，解得x=，,

e

二當0<x<:時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在上單調遞減;

當!<x<"時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在［g,萬］上單調遞增.

???VmG(0,71),——>1-71,

e

二當0vmv萬時，mxln%>sin%?對任意尤￡(。，乃)恒成立，

JT

即當0<相(萬時，/(%)<mlnx+—對任意xe(0,萬)恒成立.

x

本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求

證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求導，得:(x)=ln尤+尤+1--已知導函數(shù)單調遞增，又“可在區(qū)間+s)上單調遞增，故

rM=ln^-1+l>0,令g(a)=ing*+l,求得g<a)=y,討論得g(a)4g(2)=0,而g(a”0,故g(a)=0,

進而得解；

(II)可通過必要性探路，當％=2時，由/(2)=21n2+2-〃>0知Q<21n2+2<4,又由于則〃max=3,當

a=3,f(x)=xlnx+y-3(x-l),尸(x)=lnx+x-2,結合零點存在定理可判斷必存在x°e(1,1.6)使得/'(%)=0,

得lnx°=2f,〃x)1nm=〃x0)=x0lnx°+]-3國一1),化簡得〃XL=3-￡一天，再由二次函數(shù)性質即可求證；

【詳解】

(I)/(X)的定義域為(。,+°°)，/'(x)=lnx+x+l-a.

易知/'(%)單調遞增，由題意有/(￡|=1嗎-?|+120.

令g(a)=ln^_|+l,則g，(a)=今;

令g'(a)=°得。=2.

所以當0<a<2時，g'(a)>。，g(。)單調遞增；當a>2時，g'(a)<0,g(。)單調遞減.

所以g(a)4g(2)=0,而又有g(a"o,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,貝

下面證明a=3符合條件.

若a=3,/(x)=xlnx+：—3(x—1).所以尸(x)=Inx+x-2

易知/'(%)單調遞增，wr(l)=-l<0,尸(1.6)。0.5+1.6_2=0.1>0,

因此必存在無oe(l,L6)使得/>'(不)=0,即lnx0=2-

且當xe(0,飛)時,/'(x)<0,/(X)單調遞減；

當尤e(%,+oo)時,/,(x)>0,/(%)單調遞增；

則f(無需=〃％)=%M/-3-1)

=%(2-%)+奇-3(%-1)=3一%>3-1,6=0,12>0.

綜上，。的最大值為3.

本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題

21.(1)%2=4y；⑵①證明見解析；②能，(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，求出。，即可求拋物線C的方程；

(2)①設A%，tj，B寫出切線上4，尸6的方程，解方程組求出點P的坐標.設點Q(0")，直線48

的方程丁=依+心代入拋物線方程，利用韋達定理得到點P的坐標，寫出點的坐標,，可得線段C。,尸。相互平

分，即證四邊形PCQ0是平行四邊形；②若四邊形PCQD為矩形，則\PQ\=\CD\,求出,,即得點。的坐標.

【詳解】

(1)因為|M耳=2+^=3,所以"=2,即拋物線C的方程是好=4%

(2)①證明：由—=4/^、=三，.設A%,