2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-圓的方程

§8.3圓的方程

【課標(biāo)要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2

能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

-落實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到_______的距離等于________的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心c________

標(biāo)準(zhǔn)a_4)2+(y_Z?)2=/(、＞())

方半徑為________

程圓心c_____________

一般x1+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4Q0)

半徑r=___________

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)M(xo,yo)與圓C：(x-a)-+(y-b)2=/之間存在著下列關(guān)系：

在________,&P(xo-a)2+(jo-by'dOAf在圓外；

22

(2)|MC|=r^M在________,即(無o-a?+(j0-b)=r0M在圓上；

(3)|A/C|<-M在________,即(xo-a)2+(jo-6)2</今〃在圓內(nèi).

【常用結(jié)論】

1.以A(xi,力),1(x2,>2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-尤1)(尤-X2)+(y-y)。-蓼)=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()

(2)。-2)2+。+1)2=層3/0)表示以(2,1)為圓心，。為半徑的圓.()

(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=CW0,B=0,D'+E2-

4Af>0.()

(4)若點(diǎn)M(xo,州)在圓9+9+瓜+4+/=0夕卜，則看+ya+Dro+Eyo+QO.()

2.(選擇性必修第一冊(cè)P85T1改編)以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.x2+y2=2

B./+產(chǎn)=4

C.(x-2>+(j-2)2=8

D.y+方=正

12

3.(選擇性必修第一冊(cè)P102T7改編)若曲線C：x+y+2ax-4ay-10a=0表示圓，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為()

A.(-2,0)

B.(-8,-2)U(0,+8)

C.[-2,0]

D.(-8,-2]U[0,+°°)

4.(選擇性必修第一冊(cè)P85T2改編)下列各點(diǎn)中，在圓(尤-1)2+0+2)2=25的外部的是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

-探究核心題型

題型一圓的方程

例1(2022?全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2r+y-1=。上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在?！ㄉ希瑒t的方

程為.

思維升華求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

⑵待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出。，E,尸的值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024.鄭州模擬)已知點(diǎn)A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四點(diǎn)共圓，則a=

⑵若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線y=-2X+3上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑最小時(shí)，圓的方程為

題型二與圓有關(guān)的軌跡問題

命題點(diǎn)1直接法

例2已知A(-2,0),2(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|跖4|=2\MB\,則點(diǎn)M的軌跡方程是

命題點(diǎn)2定義法

例3(2023?茂名模擬)已知圓C：(尤-Ip+?-=1,點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn),AM與圓相切,且

\AM\=2,則點(diǎn)A的軌跡方程是()

A.y2=4.r

B,^+/-2%-2y-3=0

C.爐+9-2、-3=0

D.V=-?

命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法

例4已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+/=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M,ON為鄰邊

作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.

跟蹤訓(xùn)練2已知RtAABC的斜邊為,且4(-1,0),8(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

題型三與圓有關(guān)的最值問題

命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值

例5(2024.泉州模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程/+/-4尤+1=0.求:

⑴熱最大值和最小值；

⑵y-x的最小值；

(3)爐+y2的最大值和最小值.

-微拓展

圓的參數(shù)方程

x^a+rcos

,'其中。為參數(shù).

{y—b+rsin3,

典例利用圓的參數(shù)方程解決例5(2)(3).

命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值

例6(2023?湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)定點(diǎn)A(2,0)￡(-2,0)則或兩

的最大值為.

跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)P(x,y)是圓(X-2)2+V=1上的任意一點(diǎn)，則(x-5>+。+4>的最大值是

()

A.6B.25C.26D.36

(2)已知/+丁+/尸0,求尤+y的取值范圍為

§8.3圓的方程答案

落實(shí)主干知識(shí)

知識(shí)梳理

1.定點(diǎn)定長(zhǎng)(a,b)r

DEYD?+E2-4F

~2'~2.

2.(1)圓外(2)圓上(3)圓內(nèi)

自主診斷

1.(1)V(2)X(3)V(4)V

2.B3.B4.B

探究核心題型

例1(X-l)2+(j+1>=5

解析方法一設(shè)的方程為

(X—a)2+(j—Z?)2=r(r>0),

2a+Z?—1-—0,1,

貝小(3—4)2+〃=?,解得<》=—1,

42+(1—6)2=戶，、，=5,

。知的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.

方法二設(shè)。M的方程為x2+y2+Dx+Ej+F=0(D2+E2-4f>0),

+「萬尸=。,

,,9+3。+/=0,

A+E+F=0,

D=-2,

解得1后=2,

P=-3,

...。用的方程為/+尸一2尤+2、-3=0,即(無一l)2+(y+l)2=5.

1—01

方法三設(shè)4(3,0),3(0,1),?！ǖ陌霃綖閞,則鼠與=一子

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為G，5),

：.AB的垂直平分線方程為y—3=3^—0，即3x—y—4=0.

[3x—y—4=0,

聯(lián)立L,c解得」\x=l,,

〔2x+y—1=0,

-1),.,.戶=|MA|2=(3—+[0—(-1)產(chǎn)=5,

.???！ǖ姆匠虨?。-1)2+。+1)2=5.

跟蹤訓(xùn)練1(1)+75

例2x2+j2-冬;+4=0

解析設(shè)M(x,y),

則|MA|=、(x+2)2+y2,

|岫=、(尤―2)2+/

因?yàn)閨K4|=2|/8|,

所以N(x+2)2+y2=2^/(x—2)2+y2,

整理可得，3^+3/-20x+12=0,

20

即r+9一-yx+4=0.

所以點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為f+y2—爭(zhēng)20+4=0.

例3B

例4解設(shè)P(x,y),N(xo,比)，

四邊形MONP為平行四邊形，

則5>=血+赤,

即(x，y)=(—3,4)+(沏,yo),

[x=-3+xo,%o=x+3,

即則

[y=4+yo,jo=y-4,

又N(xo,yo)在圓/+產(chǎn)=4上，

???就+%=4,

故(x+3)2+(y—4)2=4,

4

易知直線OM的方程為y=—)x，

4

聯(lián)立〈y=-3X,

L(x+3)2+(y-4)2=4,

921

彳=一手尤=-于

得.或

1228

產(chǎn)不

跟蹤訓(xùn)練2解(1)方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以yWO.

因?yàn)锳CLBC,且8C,AC斜率均存在，所以Mc&c=-1,

又"I#!'心

所以

x+lx-31,

化簡(jiǎn)得1？+：/—2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)。的軌跡方程為爐+產(chǎn)―2欠—3=0。/0).

方法二設(shè)AB的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|。。|=/42|

=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共

線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4(ywo).

(2)設(shè)M(尤，y),C(xo,yo),

因?yàn)?(3,0),且M是線段8C的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

祀+3yo+0

%=2，尸2，

所以&=2x—3,yo=2y.

由(1)知，點(diǎn)。的軌跡方程為

(x—l)2+y2=4(yW0),

將%o=2x—3,yo=2y代入得

(2x-4)2+(2y)2=4,

即(x—2)2+y2=i(y#o).

因此動(dòng)點(diǎn)用的軌跡方程為

(工-2)2+9=l(yW0).

例5解(1)如圖，方程d+j2—4x+l=0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，小為半徑的圓.

設(shè)

即y=kx,

則圓心(2,0)到直線y=質(zhì)的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.

,,I2A-Ir-

由行

解得正=3,

,?左max—^39%min—^3?

；Omax=小，C)min=一4

(2)設(shè)y—x=b,則y=x+b,當(dāng)且僅當(dāng)直線y=x+b與圓相切于第四象限時(shí)，截距6取最小值,

由點(diǎn)到直線的距離公式，得上^^=小，即6=-2±\兩，

故(y_X)min=-2一乖.

(3)f