2025屆江蘇省某中學(xué)高三年級上冊期初考試-數(shù)學(xué)試題

江蘇省如皋中學(xué)2024—2025學(xué)年度高三年級測試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個小題給出的選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合U=R,集合4={x|-3<x<l},5={x|0<x<2},則圖中陰影部分表示的集

合為（）

A.（-3,0）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（2,3）

2.已知圓錐的底面半徑為血,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）

c.巫式

3

3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.y2=±Ux

4.方程log3X=log6X」og9X的實數(shù)解有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

22

5.已知直線x-4y+9=0與橢圓R+}=l（O<b<4）相交于48兩點(diǎn)，橢圓的兩個焦點(diǎn)是

片，工，線段42的中點(diǎn)為C（T2）,則△（：耳鳥的面積為（）

A.272B.4&C.2KD.473

6.已知圓C的方程為/+（y—2）2=。，則“。>2”是“函數(shù)y=|x|的圖象與圓C有四個公

共點(diǎn)”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

7.已知雙曲線C：亍-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，與，點(diǎn)M是雙曲線C

右支上一點(diǎn)，直線片M交雙曲線C的左支于N點(diǎn).若閨N|=2,優(yōu)叫=3,|兒叫=4,

且丹的外接圓交雙曲線C的一條漸近線于點(diǎn)尸（%,%）,則聞的值為（）

…B.半C.苧D.3

22

已知分別是橢圓二+二=\{>b>）的左右焦點(diǎn),

8.FX,F2a0過F2作直線交橢圓于A、B

ab

兩點(diǎn)，已知Z片，期，NABF、=30°,則橢圓的離心率為（）

A.B.C.V6-V2D.V6-V3

22

二、多選題:本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對的得6分，部分選對的得

部分，有選錯的得0分.

9.已知曲線C：mx2+ny2=1,下列結(jié)論中正確的有（）

A.若〃7>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上

B.若m=">0,則C是圓，其半徑為〃

C.若〃m<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±、「兀x

Vn

D.若〃7=0,M>0,則C是兩條直線

10.如圖，正方體N2CD-44GA的棱長為4,

點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），

點(diǎn)P是線段CG上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

5兀

A.存在點(diǎn)尸,"，使得二面角大小為"

0

B.存在點(diǎn)尸,舷，使得平面42M與平面Pa）平行

C.當(dāng)尸為棱CG的中點(diǎn)且尸河=26時，則點(diǎn)M的軌跡長度為亞兀

32兀

D.當(dāng)M為4。的中點(diǎn)時，四棱錐48co外接球的表面積為亍

11.已知拋物線C：「=2px（0>O）上存在一點(diǎn)E（2#到其焦點(diǎn)的距離為3,點(diǎn)尸為直線

x=-2上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為。為坐標(biāo)原點(diǎn).則

A.拋物線的方程為r=4xB.直線一定過拋物線的焦點(diǎn)（）

C.線段48長的最小值為4后D.OP1AB

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.過點(diǎn)P(2,3)的等軸雙曲線的方程為.

13.過點(diǎn)尸(1,2)的直線/與曲線了="77有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則/斜率的取值范圍

為.

14.已知過點(diǎn)(0,。)可作三條直線與曲線〃幻=(-Y+i相切，則實數(shù)〃的取值范圍

為.

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=2e，(x+l).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間上J+"(/>-3)上的最小值g(O.

22

16.設(shè)橢圓點(diǎn)+方=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為/,離心率1為已知/是拋物

線/=2PMp>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線/的距離為1.

(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；

⑵設(shè)/上兩點(diǎn)尸，Q,關(guān)于x軸對稱，直線/尸與橢圓相交于點(diǎn)3(8異于點(diǎn)N),直線8。

與x軸相交于點(diǎn)D.若的面積為"，求直線/P的方程.

2

17.如圖，直三棱柱/3C-/4G的體積為1,ABLBC,AB=2,BC=1.

A

⑴求證：BCXAtC.

(2)求二面角片-4C-B的余弦值.

22

18.設(shè)雙曲線。的方程為=-占=1(。>0,6>0),直線/過拋物線/="的焦點(diǎn)和點(diǎn)

ab

(04).已知C的焦距為6且一條漸近線與I平行.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)已知直線加過雙曲線C上的右焦點(diǎn)，若陰與。交于點(diǎn)48(其中點(diǎn)A在第一象

4

限)，與直線x=—交于點(diǎn)T,過T作平行于。4的直線分別交直線。民工軸于

3

TP

點(diǎn)尸,0，求《工?

19.已知函數(shù)/(耳=蛇?,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ax

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若方程/(x)=l有兩個不同的根看廣2.

⑴求。的取值范圍;(ii)證明：x^+xl>2.

江蘇省如皋中學(xué)2024—2025學(xué)年度高三年級測試

數(shù)學(xué)答案

1.【答案】A

【詳解】因為/={x|-3<x<l},5={x|0<x<2},

所以/cB={x[0Vx<l},所以色(/口3)="|一3<工<0}=(-3,0),

即圖中陰影部分表示的集合為(-3,0).故選：A

2.【答案】B

【詳解】設(shè)圓錐母線長為/,高為鼠底面半徑為外=0，

則由27tx收=或，得1=26，所以2=J/2_4=瓜,

所以憶=1兀/〃=,兀*x=2y7i.故選：B.

333

3.【答案】C

【詳解1設(shè)拋物線方程為x2=22Mp>0)或*=-2py(°>0),

依題意知]=3,.?.。=6..?.拋物線方程為/=±12y.故選：C.

4.【答案】C

【詳解】log3x==log6x-log9x,所以lnx=0或

In3In6In9

Inx=M6M9=2M6=In36,所以x=l或x=36,

In3

所以方程log3x=log6x-log9x的實數(shù)解有2個.故選：C.

5.【答案】B

【詳解】設(shè)由題可知"一殳=：，玉+工2=-2,必+%=4,

Xy—X4

k2

I+4=1

2

則b'一%/（X]+X2）12h

1N62,所以即_L=2L,解得尸=8,

網(wǎng)一迎165+%）'44x16

116

所以/=42_/=16—8=8,則c=2后，所以S@F2=；x2cx2=4后，故選：B.

6.【答案】B

【詳解】由圓。的方程為/+（y—2）2可得圓心（0,2）,半徑外=6,

若圓與函數(shù)N=x相交，則圓心到直線y=x的距離d=2曹=也<,

V2

即a>2,若函數(shù)>=忖的圖象與圓。有四個公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，

即（）2+（0—2）2〉。，解得。<4,

綜上函數(shù)y=|x|的圖象與圓。有四個公共點(diǎn)則2<a<4,

所以“a>2”是“函數(shù)》=忖的圖象與圓C有四個公共點(diǎn)”的必要不充分條件，故選：B

7.【答案】D

【詳解】因為點(diǎn)M,N分別在雙曲線C的右支和左支上，所以

\MF\-\MF^=\NF^-\NF\=2a.又閨N|=2,怛M|=3,|AW|=4,所以2a=2+4-3=3

,解得“=小網(wǎng)|=2.+|幽=3+2=5,

所以所以明是直角.

在中，W用「=陽陽2+眼月「，所以（2C『=62+32,解得02=:,

所以〃=02一/=即b=3.又△町鳥的外接圓交雙曲線。的一條漸近線于點(diǎn)

44

焉+V；=，f2=2

p（%o,y。），所以尸|=c,所以點(diǎn)p（%o,y。）的坐標(biāo)滿足需/,解得廠二，

-^-77=0l^o=b

、Qb

=aI1

所以=6，故聞=3.故選：D.

8.A

解：試題分析：如圖所示，設(shè)片卜加因為/片，幽片=30°,所以

\AB\=2m,\AF2\=2a-m,

忸耳|=y/3m9\BF2\=2m-(2a-m)=3m-2a,

所以百加+3加一2Q=2Q，解得加=3+6=2.(33G),所以3加？=(16-8\/§)〃2,

6a冽=（12—4百）在ZU片與中，由余弦定理得

(2c)2=m2+(2a-m)2-2m(2a-m)cos60°,]t^J4c2-4a2+6am-3m2=0，所以

4c2-4a2+(12-4V3)a2-(16-8V3)a2-0,化簡得e?=2—G，所以e=C，

9.【答案】CD

。匕=1I1

【詳解】對于A,若加〉〃>0,貝U機(jī)/=i可化為11，，機(jī)>〃〉0,??.一<—

——mn

mn

，即曲線。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A不正確；

對于B,若加=〃〉0,則加X?+可/=1可化為*+歹2=J_,此時曲線C表示圓心在原點(diǎn)，

n

半徑為亞的圓，故B不正確；

n

…=1,

對于C,若加〃<0,則加/+叼2=］可化為11,此時曲線。表小雙曲線，由

mn

mx2+ny2=0可得歹=±x，故C正確；

Yn

對于D,若機(jī)=0,n>0f貝！J機(jī)/+可;2=i可化為/=j_,y=±?.,此時曲線。表示平行

nn

于x軸的兩條直線，故D正確.

故選：CD.

10.【答案】BC

【詳解】對于A,在正方體4AGA中，可得CD，平面

因為MZ）u平面。。1<=平面40,4，所以血,

TT

所以二面角M-OC-P的平面角為/必）。，其中0,-，所以A錯誤;

對于B,如圖所示，當(dāng)M為4<中點(diǎn)，P為CG中點(diǎn)時，

在正方體ABCD-4&CA中，可得BRHBD,

因為為D|O平面8DP,且ADu平面8。尸，所以耳2〃平面8OP

又因為MBJIDP,且平面BOP,且。尸u平面ADP,所以Affi1〃平面尸,

因為為0|0"3|=瓦，且用。u平面MBQ,所以平面ADP//平面"3a，所以B正

確；

對于C,如圖所示，取。R中點(diǎn)￡,連接PE,ME,PM,

在正方體48co-481G2中，。。_1_平面40。|4，且CD//PE,

所以尸E_L平面40。14，因為Affiu平面40。14，可得尸E-LME,

則ME=dPM?-PE。=7（2A/6）2-42=272，

則點(diǎn)M在側(cè)面4DA4內(nèi)運(yùn)動軌跡是以E為圓心、半徑為2的劣弧,

分別交40,42于〃2'M,如圖所示，則MB=J8-4=2=〃E,

71

結(jié)合對稱性可知,NMiEDi=ZM2ED=

對于D,當(dāng)M為4。中點(diǎn)時，可得A/MD為等腰直角三角形，且平面N8C。/平面

ADDXA},

連接AC與BD交于點(diǎn)。，~^^OM=OA=OB=OC=OD=20，

所以四棱錐M-/3CD外接球的球心即為NC與3D的交點(diǎn)。，

所以四棱錐M-/3CD外接球的半徑為2亞，其外接球的體積為47tx僅收了=32兀，所以

D錯誤.故選：BC.

11.【答案】ACD

【詳解】由拋物線C:/=2px,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)尸§,0）,準(zhǔn)線方程為了=-三，

因為拋物線。上存在一點(diǎn)E（2,/）到其焦點(diǎn)的距離為3,

由拋物線的定義可得2+，=3,可得。=2,

所以拋物線的方程為必=4%，所以A正確;

設(shè)尸（-2,加），顯然直線P4的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為匕，

可得尸”的方程為＞-加=左（》+2）,

\y-m=k,（x+2）

聯(lián)立方程組，”,整理得切n2_4y+甌+4m=0,

[y=4x

因為尸月是拋物線的切線，所以A=（-4）2-4%（甌+4加）=0,即2肝+左〃-1=0,

-4211

且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為一h=/，代入拋物線方程，可得A橫坐標(biāo)為”，即4萬石

2kl左141k1I

設(shè)直線總的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為總，

同理可得：2片+左2加—1=0

m1

所以《&是方程2/+.—1=0的兩個不等式的實數(shù)根，所以勺+&左的=-于

2__2_

因為您5?k8=告一牛2左他

k、+k?

后一肝2

所以“5,所以D正確;

m2

由OP_LAB,且k=—■—,可得k=—,

0P2ABm

221

則直線45的方程為V-7=一（%-不），即mkfy-2mkx=2k；x-2,

又,由2k；+k^m—1—0,可得'尢加=1—2k；,

所以（左—2k；）y-2（1-2k；）=2k；x-2,即（1一2片）y=2kl（x-2）,

所以直線45一定過定點(diǎn)（2,0）,該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，所以B不正確.

由直線45的斜率不為0,設(shè)直線45的方程為1=皎+2,且4（巧,必）,/工2/2），

聯(lián)立方程組2；，整理得丁—4町-8=0,所以必+%=4加,%力=-8,

[y=4x

2

則|/創(chuàng)=J1+加--\y}-y2\=Vl+m.J（必+%）-4%%=J（l+加？）（16加2+32）

=4，川+3加2+2=4,（療+12-；24VL當(dāng)且僅當(dāng)加=0時，等號成立，

即目的最小值為4形，所以C正確.故選：ACD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.過點(diǎn)P（2,3）的等軸雙曲線的方程為.^-y=l

13.過點(diǎn)“1,2）的直線/與曲線了=”33有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，貝心斜率的取值范圍

為.

【答案】卜

【分析】根據(jù)題意，將曲線y=7Z=變形為犬+必=4,y>0,分析可得其為圓的上部

分，

結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可.

【詳解】由題意可設(shè)直線/：了=上口-1）+2,又曲線了=，4一元2可化為1+/=4,y>0,

作出直線/與曲線了=的圖象如圖所示：

設(shè)圖中直線4，冊4，乙的斜率分別為左，左2，%,左4，

72—022-0

則左—°,%=口=2

又直線/4的方程為了-2=勺（X-1）,

\2-k\4

圓心（0,0）到直線乙的距離為其U4=2,解得自=0（舍去）或勺=-『

要使兩圖象有兩個不同的交點(diǎn)，則％e.故答案為：-2,-

14.已知過點(diǎn)（0,。）可作三條直線與曲線〃x）=*-x2+l相切，則實數(shù)。的取值范圍

為.

4

【答案】（1,§）

【詳解】m=x2-2x,設(shè)點(diǎn)（國，”再））為曲線y=〃x）的切點(diǎn),

2

則切線方程為V-）=（x；-2再）（x-xJ,整理得y=（無；-2再）x-§X；+x；+1,

2

將點(diǎn)(0,a)代入可得a=+X；+1.

2

令g(x)=+1，則/(工)=-2工2+2%=21(1-1),

?二當(dāng)x<0時，g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<l時，g'(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)

X〉1時，g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減.

44

又g(0)=l，g⑴=§,.??當(dāng)時，方程g(%)=Q有3個不同的實數(shù)根，

42

即當(dāng)時，有3個不同的不滿足方程〃=-§x；+x；+l,

3

即過點(diǎn)(0,。)可作三條直線與曲線，(x)=］r■-無2+1相切.

故答案為：(l,g).

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=2e*(x+l).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

⑵求函數(shù)“X)在區(qū)間上,/+1］。>-3)上的最小值g?).

【詳解】⑴r(x)=2ex(x+2),

由/'(x)>0，得x>-2；由/(x)<0,得x<-2.

在(-2,+刈上單調(diào)遞增，在(-?,-2)上單調(diào)遞減.

/U)的極小值為/(-2)=-2e-2,無極大值.

(2)由(1)知“X)在(-2,+8)上單調(diào)遞增,在(-*-2)上單調(diào)遞減.

■:t〉—3,.?.，+］,〉—2.

①當(dāng)一3</<-2時，/(x)在上,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,/+1］上單調(diào)遞增，

g(0=/(-2)=-2e-2.

②當(dāng)此-2時，“X)在山+1］上單調(diào)遞增，.?.ga)=/?)=2e'(f+l).

,、—2e2,—3</<—2

g⑺12e(+l)J12-

16.【詳解】⑴依題意設(shè)點(diǎn)尸(一。,0),因e，=1,且與=a,

a22

由對稱性知拋物線的準(zhǔn)線/方程為X=-a,則”。毛，解得。=1,C=\,p=2,

2

a

22

于是尸=a-c=-.

從而得橢圓的方程為/+手=1,拋物線的方程為產(chǎn)=4x.

(2)由于準(zhǔn)線/方程為x=-l,依題意設(shè)尸(-1,。(/片0),貝UTT).

因4(1,0),則L==，得直線"方程為y=-；(x-l)①，

將①式代入/+，=1中化簡，得(』+3)/-2產(chǎn)x+t2-3=O,

設(shè)8(%,%),由韋達(dá)定理得無o=x0x/=t|,則％-1)=*

，+3LZJ

z2\

即8FI，白，則與0=。，于是得直線8。方程為y+f="(x+l),

1%+3t+3,2t2t

令y=o,解得x=_,即。[=,()].則|40=i一二=上，

t2+6l產(chǎn)+6)t2+6t2+6

于是曰=?白力I，化簡得(M-指y=o,即得/=±&,

代入①式化簡，得直線4尸方程為3工+指歹一3=0,或3x-V^y-3=0.

17.【詳解】(1)直三棱柱NBC-4&G的體積為：V=^xAB-BC-AA1=|x2xlxA41=1

則W4]=1=BC,四邊形8CG瓦為正方形，

法一：在直棱柱NBC-48cl中，面NBC,ABIIAXB1,

又42u平面48C,則

因為A8_L8C,AB±BBX,BBXABC=B,8月,3。u平面,

所以N5，平面BCCR,又BC、u平面BCCtBt,

所以

因為23〃44，所以4A，8G，

在正方形BCG耳中，有BCi^BiC,

因為8￡，與。，A,Bt1BXC,44nge=4，44,8Cu平面4c4,

所以3G，平面4cBl,又4CU平面4c4,

所以3GA4c.

法二：直棱柱/8C-4B1C],3月，平面/8C,又ABLBC,

以B為原點(diǎn)，BC,BA,a81所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則3(0,0,0),4(0,0,1),c(i,o,o),4(0,2,1)，G(1,0,1),

西=(1,0,1),4^=(1,-2,-1),

SQ-4C=lxl+0x(-2)+lx(-l)=0,所以BC1A4c.

(2)由(1)得BGAAC,

設(shè)8CnBG=。，在A/4C中，過。作4c于連接瓦7,

A

因為OH14C,BCX4C,OH,BCiu平面BHO,且OHcBQ=。,

所以4。，平面3〃。，又BHu平面BHO,

所以

所以ZBHO為二面角4-4C-3的平面角,

COCA,

因為RtACO〃sRtAC4耳，—=~±,得OH

又在RM30“中，BO=—,得9=畫，

26

百

Vio

cos/BHO-,—3

BHV30—

6

所以二面角—的余弦值為用

法二:

5(0,0,0),耳(0,0,1),C(l,0,0),4(0,2/),G(1,0,1),

BC=(1,0,0),BAX=(0,2,1),設(shè)平面8c4的法向量：力二際為乃),

nx-BC=玉=0

則＜取必=1,得々=(0,L-2),

nx-BA】=2yl+zl=0

^C=（l,o,-1）,^4=（0,2,0）,設(shè)面4c4的法向量0=（9，%，Z2），

-5,C=—z9=0一

則不萬=2%=?！?‘得叫"‘?！梗?，

設(shè)二面角4-4C-3的大小為e,則:

|丹?的I_I-21_

|cose|=|cos<n{,n2>|=

In1||n21V5x5/25

因為e為銳角，所以二面角4-4C-B余弦值為巫.

5

18.解：因為拋物線/=8x的焦點(diǎn)為（2,0）,所以直線/的斜率勺=-g

因為雙曲線c的一條漸近線與/平行，所以2=2,即。=2.又因為雙曲線。的焦距為

a2

2c=6,即。=3,

22

所以/=02—/=5,所以雙曲線。的方程為土—2L=1.

45

【小問2詳解】

雙曲線C的右焦點(diǎn)為（3,0）,

由題意知直線加的斜率存在且不為0,

設(shè)直線加的方程為》=叼+3（”2力0）,/（國,%

\22

土-匕=1

2

聯(lián)立《45,消去工得（5加2—4）歹2+30my+25=0,5m一4w0,

x=my+3

30m25

且A=4000+加2）>o,所以弘+%=一

5m2-4，J1J；2-5m2-4

4545

將x=7代入%=叩+3得=----，所以75

33m3"3m

直線尸。方程為>=匕3，與直線05:y=及x聯(lián)立,

X]3mx2

可得y：4町％+5%％_4叫％+5（孫+3）8_3明-2+5%

討,,3m（x2j1-x1j2）3研（研+3）%-（町+3）%]3必（%一%）'

中柏_5/,\福2—：(乂+必)+5%一;(必一%)5

因為=一丁("+為)，所以v=2____________=2_______=__2_.

m''3制(%—%)3切(%—%)6m

+TP

因為^2=0,所以%J2y°,所以尸為TQ的中點(diǎn)，即而=L

19.已知函數(shù)/(x)=53,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ax

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

⑵若方程/(X)=l有兩個不同的根X1,%.

⑴求。