廣東省廣州市番禺中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷

高二數(shù)學(xué)9月月考試題一、單選題（每小題5分）1.已知，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.3.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)4.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，則（）A.2 B.0 C.60 D.625.已知空間向量，，則在上的投影向量坐標(biāo)是（）A. B. C. D.6.在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.7.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A B. C.或 D.與斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.二、多選題（每小題6分）9.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為，，若，則二面角的大小可能為（）A. B. C. D.10.隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考|卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說(shuō)法正確的有（）A.均值為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為10111.已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A.與是共線向量B.與向量方向相同的單位向量坐標(biāo)是C.與夾角的余弦值是D.在上的投影向量的模為三、填空題（每小題5分）12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則_______.13.已知向量，，，若，，共面，則_______.14已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.四、解答題（五個(gè)大題共77分）15.（本題13分）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求.（2）若，，求的周長(zhǎng).16（本題15分）某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好，分別創(chuàng)建了“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“書(shū)法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、、，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“書(shū)法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“詩(shī)詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率.17.（本題15分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，，且平面平面.（1）設(shè)為棱的中點(diǎn)，證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）若，求六面體的體積.18.（本題17分）一家水果店為了解本店蘋(píng)果的日銷(xiāo)售情況，記錄了過(guò)去200天的日銷(xiāo)售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間，，，分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；并估計(jì)該水果店過(guò)去200天蘋(píng)果日銷(xiāo)售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若一次進(jìn)貨太多，水果不新鮮，進(jìn)貨太少，又不能滿(mǎn)足顧客的需求.店長(zhǎng)希望每天的蘋(píng)果盡量新鮮，又能地滿(mǎn)足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿(mǎn)足顧客的需求）.請(qǐng)問(wèn)，每天應(yīng)該進(jìn)多少水果？（3）在日銷(xiāo)售量為蘋(píng)果中用分層抽樣方式隨機(jī)抽6個(gè)蘋(píng)果，再?gòu)倪@6蘋(píng)果中隨機(jī)抽取2個(gè)蘋(píng)果，求抽取2個(gè)蘋(píng)果都來(lái)自日銷(xiāo)售量在的概率.19（本題17分）（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.

高二數(shù)學(xué)9月月考試題參考答案一、單選題（每小題5分共40分）1.A 2.A 3.A4.A【詳解】由題意，所以的周期為4，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，而，所以.5.B【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，，則在上的投影向量坐標(biāo)是：.6.B【詳解】在正四面體中，因?yàn)槠矫妫允堑闹行?，連接，則，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正確選項(xiàng).【詳解】直線的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以?8.B【詳解】因?yàn)椋?，，，因?yàn)槠矫妫矫妫羝矫媾c平面的夾角的余弦值為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或1.二、多選題（每小題6分共18分）9.BC【詳解】二面角的大小與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，二面角的大小可能為或.10.ABD【詳解】A選項(xiàng)，均值為，A正確；B選項(xiàng)，極差為，B正確；C選項(xiàng)，方差為，C錯(cuò)；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故從小到大，選擇第5個(gè)數(shù)作為第60百分位數(shù)，即101.11.BD【詳解】由已知，，，，因此與不共線，A錯(cuò)；，所以與向量方向相同的單位向量坐標(biāo)是，B正確；，，，C錯(cuò)；在上的投影是，所以投影向量的模為，D正確.三、填空題（每小題5分共15分）12.【詳解】令，則，所以.因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，，所以.13.【詳解】由題意得，存在，使得，即，故解得，.14.【詳解】由，得，解得，又，得，解得，所以與夾角為鈍角，實(shí)數(shù)的取值范圍為且.四、解答題（五個(gè)大題共77分）15.（本題13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周長(zhǎng)為.16.（本題15分）【詳解】（1）依題，解得.（2）由題令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，獲得本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件A，則；；.故.17.（本題15分）【詳解】（1）連接，由四邊形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又為棱的中點(diǎn)，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，則平面，又因?yàn)榱骟w，則平面平面，又平面，故，則四邊形為矩形，則，且平面，又，故，則.18（本題17分）【詳解】（1）由直方圖可得，樣本落在，，，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，由，解得.則樣本落在，，，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，該蘋(píng)果日銷(xiāo)售量的平均值為：.（2）為了能地滿(mǎn)足顧客的需要，即估計(jì)該店蘋(píng)果日銷(xiāo)售量的分位數(shù).依題意，日銷(xiāo)售量不超過(guò)90kg的頻率為，則該店蘋(píng)果日銷(xiāo)售量的分位數(shù)在，所以日銷(xiāo)售量的分位數(shù)為.所以，每天應(yīng)該進(jìn)95kg蘋(píng)果.（3）由日銷(xiāo)售量為，的頻率分別為0.2，0.4知，抽取的蘋(píng)果來(lái)自日銷(xiāo)售量中的有2個(gè)，不妨記為，，來(lái)自日銷(xiāo)售量為的蘋(píng)果有4個(gè)，不妨記為，，，，任意抽取2個(gè)蘋(píng)果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15個(gè)基本事件，其中2個(gè)蘋(píng)果都來(lái)自日銷(xiāo)售中的有6個(gè)基本事件，由古典概型可得.19.（本題17分）【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以