江西省宜春市宜春中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2026屆高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)等信息。2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．2．已知直線和，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知，且與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知圓與軸相切，則（）A．1 B．0或 C．0或1 D．5．如圖所示，在四面體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則等于（）A． B．C． D．6．在圓錐中，軸截面為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，為底面圓上一點(diǎn)，且為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為等腰三角形，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時(shí)，（）A． B． C． D．8．已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。）9．下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為C．在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程來(lái)表示D．直線在軸上截距為210．已知集合，則下列結(jié)論不正確的是（）A．存在，使得 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．對(duì)任意的，都有11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使平面C．若，則的軌跡長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．兩平行直線與之間的距離為_(kāi)_____．13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．14．已知圓為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15．（本題滿分13分）已知直線，且滿足，垂足為．（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求的外接圓方程．16．（本題滿分15分）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積17．（本題滿分15分）如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（本題滿分17分）如圖1，矩形中，為邊上的一點(diǎn)．現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．（1）如圖2，若為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（2）如圖3，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上．①求證：平面；②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的余弦值．19．（本題滿分17分）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交曲線于、兩點(diǎn)．（ⅰ）過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值；（ⅱ）設(shè)曲線與軸交于、兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，試討論點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．

答案題號(hào)1234567891011答案CADDABBCACDABCABD二、填空題12． 13． 14．三、解答題15．（1） （2）．【詳解】（1）解：由，可得，解得，所以直線，直線，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)．（2）解：由直線，直線，可得，所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，所以的外接圓方程是．16．（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以．（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積．17．【詳解】（1）正方形中，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，所以，又，則，又，則，即，又，則平面，平面；（2）由（1）知，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，，，故，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，為平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)平面的法向量為，，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，，解得或，則線段（不含端點(diǎn)）上不存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．18．（1）證明見(jiàn)解析 （2）①證明見(jiàn)解析，②【詳解】（1）證明：如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；?）①由題意可知平面平面，故，又平面，故平面．②由于平面，故為直線與平面所成的角，，故，，則，故，故直線與平面所成的角的余弦值為．19．（1）；（2）（?。?7；（ⅱ）在定直線上【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以，整理得，即：所以?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；．（2）（?。┮?yàn)橹本€不與軸重合，所以設(shè)直線的方程為，即，則直線為，設(shè)曲