2022年人教版中考數(shù)學一輪復習：全等三角形與勾股定理 專項練習題（含答案）

2022年人教版中考數(shù)學一輪復習：全等三角形與勾股定理

專項練習題

一.選擇題

1.如圖，矩形48。的邊力。沿折痕折疊，使點。落在8c邊上的點尸處，已知AB

=3,8尸=4,則。的長等于（）

2.如圖，矩形紙片ABCD，點。是。的中點，點￡是28上的點，沿CE折疊后，點B

恰好與點。重合，若8c=3,則折痕"的長為（）

B,

3.如圖，已知在矩形Z8Q?中，例是2。邊中點，將矩形分別沿MN、折疊，AD

兩點剛好落在點￡處，已知4V=3,MN=5,設BN=x,則x的值為（）

M一

4.如圖，￡為矩形Z6Q9的邊力8上一點，將矩形沿土折疊，使點8恰好落在房上的

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點尸處，若0=5,比'=3,則如的長為（）

5.有一張長方形紙片ABCD（如圖①），80=6,將紙片折疊，使8c落在。邊上，夕

為8的對應點，折痕為CE（如圖②），再將長方形ADBEVX8￡為折痕向右折疊，若點

。落在6c的三等分點上，則。的長為（）

A.8B.10C.8或10D.8或12

二.解答題

6.如圖，在等腰RbZ跋中，AACB=90°,點。是26上一點，作等腰^DCE.^DCE

=90°,連接

(1)求證:4CEMCDB;

(2)求證：AR+Ad=DR.

7.已知：在T跋中，乙BAC=90°,48=AC,點。為a?邊上一^點（與點6不重合），

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連接，。，以2。始邊作/。4￡=0((0°<0(<180°).

(1)如圖1,當a=90。，且/￡=2。時，試說明CF和8。的位置關系和數(shù)量關系；

(2)如圖2,當a=45°,且點￡在邊比■上時，求證：Bd+CR=DR.

圖1圖2

8.如圖，是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊歌的中點，巳尸分別是AB,

/C邊上的點，且DELDF.

(1)證明：DE=DF\

(2)證明：BR+CR=ER.

9.如圖(1),在中，"8=90°,ZC=BC,延長28至點。，連接。，以。

為直角邊作等腰三角形CDE,其中N。％=90°,連接BE.

(1)求證:AD=BE',

(2)在圖(1)中以2。為直角邊作等腰直角三角形ADF,如圖(2)所示，其中N%尸

=90°,連接CF,若BE=6近,ZU=3,求小的長.

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10.如圖，A/6C是直角三角形，NC48=90°,。是斜邊8c上的中點，E、尸分別是力民

/C邊上的點，且DELDF

(1)若AB=AC,BE=12,6=5,求△。爐的面積.

(2)求證:BR+CR=EM.

11.正方形中，例為射線。上一點(不與。重合)，以CM為邊，在正方形ABCD

的異側作正方形CFGM,連接BM,DF,直線BM與。尸交于點E.

(1)如圖1,若用在。的延長線上，求證：DF=BM.DFLBM;

(2)如圖2,若例移到邊。上.

①在(1)中結論是否仍成立？(直接回答不需證明)

②連接BD,若BD=BF,且正方形U尸G例的邊長為1，試求正方形力&7。的周長.

圖1圖2

12.正方形28。的對角線AQ6。交于點。，點￡尸分別在OC、OB上,且OE=OF.

(1)如圖1,若點￡尸在線段OC、OB上,連接/并延長交8E于點〃，求證：AM

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>BE;

(2)如圖2,若點￡尸在線段OC、08的延長線上，連接￡8并延長交4尸于點M.

①N/A花的度數(shù)為；

②若正方形力8。的邊長為3近,且?！?3"時，求8例的長.

13.如圖，在正方形力8。中，對角線4C6。相交于點O,E為OC上動點(不與Q

C重合)，作力心6￡,垂足為G,分別交8cOB于F、〃，連接OG、CG.

(1)求證“AO心BOE;

(2)求N/GO的度數(shù);

(3)若NOGC=90°,BG=4i,求AOGC的面積.

14.如圖，點C是正方形28。對角線力。上一動點，點￡在射線8c上，且PB=PE,連

接。D,。為/C中點.

(1)如圖1,當點P在線段ZO上時，試猜想PE與。。的數(shù)量關系和位置關系，不用

說明理由；

(2)如圖2,當點P在線段OC上時，(1)中的猜想還成立嗎？請說明理由；

(3)如圖3,當點P在力。的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形(尺規(guī)作圖，

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保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論;

若不成立，請說明理由.

15.在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：如圖1,四邊形Z8C。是正方形，點E

是邊8c的中點，"爐=90。，且￡尸交正方形外角平分線"于點尸.請你探究〃與

）存在怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論正確.

經(jīng)過探究，小明得出的結論是AE=EF.而要證明結論AE=EF,就需要證明力￡和EF所

在的兩個三角形全等，但和尸顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三

角形），考慮到點￡是邊8c的中點，小明想到的方法是如圖2,取的中點M,連接

EM,證明“￡71念從而得到AE=EF.

請你參考小明的方法解決下列問題：

（1）如圖3,若把條件"點E是邊a7的中點"改為"點￡是邊6c上的任意一點"，

其余條件不變，證明結論AE=用仍然成立.

（2）如圖4,若把條件"點F是邊6c的中點"改為："點￡是邊8c延長線上的一點"，

其余條件仍不變,那么結論AE=爐是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，

請說明理由.

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參考答案

一.選擇題

1.解：?.48=3,8尸=4,

-'-AF=VAB2+BF2=V9+16=5,

?.矩形26。的邊2。沿折痕ZE折疊，

.-.AD=AF=5,DE=EF,

：.BC=AD=5,

:.CF=BC-BF=1,

:ER=EO+CR,

(3-C￡)2=9+1,

-C￡=4，

o

故選：A.

2.解：“G?。是△CFS翻折而成，

：.BC=OC,BE=OE,N8=NS￡=90°,

：.EOA.AC,

是矩形力跋。的中心，

；.OE是4C的垂直平分線，AC^280=2x3=6,

：.AE=CE,

在Rb/BC中，=,

即62=/岳+32,

解得/8=3?,

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在RtA/OF中，設x，則AE=3?-x,

/￡2=ZC+O￡2，即(3加-x)2=32+*,

解得x=M,

:.AE=EC=3g?=2M，

故選：人

3.解：???四邊形28。是矩形,

二"=90°,AB=CD,AD=BC.

：AN=3,MN=5,

：AM=VMN2-AN2=V52-32=4-

???例是力。邊中點，

：.AM=DM=A,BC=8,

1?將矩形分別沿例M例C折疊，A。兩點剛好落在點￡處,

：.AN=NE=3,CE=CD,

,:B!\P^BU=CN^,

..*+82=(x+6)2,

解得x=9

故選：6.

4.解:設BE=x,貝!]AE=5-x,

由折疊得：CF=BC=3，4B=^CFE=90°,

.-.zCFZ?=90o,

22

：DF=7CD-CF=752-32=4，

.?四邊形力8。是矩形，

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：.AD=BC=3,"=90°,

Rf/fT中，A4A〃=Ed,

r.(5-x)2+32=(x+4)2,

:.x=1,

：.BE=1,

故選：8.

5.解：6,將紙片折疊，使此落在C。邊上，8為8的對應點，

.-.ffC=BC=6,

1?將長方形力。6￡以8￡為折痕向右折疊，若點。落在6c上的尸點處,

:.DB=BF,

■:F為6。的三等分點，

，"=2或4,

.?,。夕=2或4,

，。。=8或10.

故選：C.

二.解答題(共10小題)

6.證明：(1)和都是等腰直角三角形，

：.AC=BC,CD=EC,乙ACB=zDCE=9N,

:zACB-z.ACD=Z.DCE-Z.ACD,

:.AACE=ABCD,

在與ACE4中，

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'AC=BC

-ZACE=ZBCD,

EC=CD

：aCD蜂CEA(SAS);

(2)?.?△力8c是等腰直角三角形，

..N6=NWC=45°,

由(1)得△8隹△CEA,

.?.z￡4C=z5=45°,

㈤C+N以C=45°+45°=90°,

:.AR+Ad=DR.

7.解：(1)CE與8。位置關系是CELBD,數(shù)量關系是CE=BD.

理由：?.N84C=N04￡=9O°,

.2以。=90°-4DAC,^CAE=90°-乙DAC,

：.z.BAD=Z.CAE,

在A/8。和中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^AB^ACE(SAS),

.2/公N8=45。且CE=BD.

：AACB=AB=45°,

.?."6=45。+45。=90。，即CF±BD;

(2)如圖2,把繞點/順時針旋轉90。，得到“8G.連接DG,

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則

：.AG=AE,BG=CE,"6G=N/C￡=45°.

：^BAC=90°,^GAE=90°.

：.^GAD=^DAE=A5°,

在“OG和"叱中,

AG=AE

<ZGAD=ZDAE,

AD=AD

:.^AD^ADE{SAS).

:.ED=GD.

又"G8D=90°,

:.BAB(?=D(?,

即BEEU=DR;

???等腰直角三角形/8C,

.?ZC=N8=45°,

；D為8c的中點，

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：.ADA.BC,AD=BD=DC,力。平分NMC,

：.ADAC=^BAD=^S°=AB,AADC=90°,

,DEX.DF,

.?N￡Z?尸=90°,

二"。尸+""=90°,z/7?C+z5P￡=90°,

.Z.BDE-Z.ADF,

在△&?￡和"A尸中

'NB=NDAF

■BD=AD,

ZBDE=ZADF

：ABDMADF(ASA),

：.DE=DF.

<2'"BDmADF,

：.BE=AF,

：AB=AC,

：.AB-BE=AC-AF,

：.CF=AE,

:.ER=AR+AR=BR+CR,

即BR+CR=ER.

9.證明：(1),.2"￡=90°,

"ACD=乙BCE,且AC=BC,CD=CE,

：.^AC^BCE{SAS)

:.AD=BE;

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(2)如圖，延長CB交。下于點H,

圖（2）

-：BE=672，AC=3,且90°,AC=BC,

:.AB=揚IC=3&,BE=AD=6加,

:.DB=342，

■：^DAF=90°,AD=AF=6y]2.

：DF=^AD=12,NZ。尸=45°,

■：CHA.DF,N/OF=45°,

:.LADF=4DBH=A50,且

:.DH=BH=返。8=3,

2

:.HF=9,CH=6,

?.?在Rf/18c中，AB=AC,2。為6c邊的中線，

.?.z￡MC=zfi4Z7=zC=45°,AD^BC,AD=DC,

又：DElDF,ADrDC,

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:.^EDA+AADF=^CDF+^FDA=9G°,

:.乙EDA=ACDF‘

在"ED與&CFD中,

fZEDA=ZCDF

<AD=CD,

ZEAD=ZC

:QAE*CFD<ASA).

：.AE=CF,

同理△力&&A6￡。，

：.AF=BE,

尸=90°,

:.ER=DR+DR,

:.BR?CR=ER;

■：BE=12,65,

-：EF=13,

"BDIADF,

：.DE=DF,4BDE=LADF,

：ADrBD,

：/ADB=90°.

：/EDF=4ADE+乙ADF=4BDE+乙ADE=乙ADB=90°,

二在RtAf。尸中，由勾股定理得：辦+OR=132,

?！?。尸=型返，

2_

X

比的面積5=4DE^DF=4X=169

22224

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(2)證明：延長至點G,使得DG=DE,連接FG,CG,如圖2,

：DE=DG,DFLDE,

二。尸垂直平分DE.

:.EF=FG,

1.。是8c中點，

.'.BD=CD,

在和AOG中,

'BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

:.ABDMCDGISAS),

：.BE=CG,乙DCG=KDBE,

:乙ACB+乙DBE=90°,

：.ZLACB+^DCG=90°,即N/TG=90°,

：C(?+CR=F(?,

:.BR+CR=ER.

11.B：(1)證明：..四邊形力比■。與四邊形CFG"都是正方形，

“BCM=乙FCD=90°,BC=CD,CM=CF.

在△比■例和AOCF中，

'BC=CD

"ZBCM=ZFCD,

CM=CF

:QBC*DCF〈SAS).

：.DF=BM,^CFD=ACMB.

■：ABMC+^CBM=2Q°,

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:.^CBM+^CFD=2Q°,

.?.N8￡F=90°,

:,DFlBM：

(2)①成立.

「四邊形/8C。與四邊形C5G例都是正方形，

"BCM=乙FCD=90°,BC=CD,CM=CF.

在A8C例和A。小中，

'BC=CD

-ZBCM=ZFCD,

CM=CF

：aBC*DCF〈SAS).

：.DF=BM,乙CFD=^CMB.

"BMC+4cBM=9?！?

:.乙CBM+4CFD=9N,

"BEF=9。；

:QELBM;

②設正方形48。的邊長為x,則BC=CD=x,

??8。=JBC2五口2=行小，

..正方形C尸G用的邊長為1,

：.BF=BC+CF=x+l.

■：BD=BF,

；.Mx=x+l,

-'-x=\[2+l.

.-.4%=4^2+4.

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?.正方形力8。的周長為4b+4.

12.證明：(1)?.四邊形28。是正方形，

:.AO=BO=CO=DO,AC1.BD,

：AO=BO,乙AOF=4BOE=9G,OE=OF,

：4AOAGBOE(SAS),

:.Z.FAO-Z.OBE,

?.NO8F+NO￡8=90°,

:.^OAF+^BEO=9G°

:.^AME=90°,

:.AMvBE;

(2)①1?四邊形是正方形，

:.AO=BO=CO=DO,ACS.BD.

：AO=BO,N/O尸=N8O￡=90°,OE=OF,

:AAO^BOE{SAS),

:.Z.FAO-Z.OBE,

?:zOBE+zOEB=90°,

;z弘O+NO8￡=90°,

:zAME=90°,

故答案為：90°;

?-.AB=BC=3圾,4ABC=90°,

..AC-6,

:.OA=OB=OC=3,

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：OC=3CE,

:.CE=1,

:.OE=OC+CE=4,AE=AO+OE=7,

??5￡=VOE2-K)B2=5，

-：AB^-BW=AW=AR-M心，

.-.18-8/"=49-(5+6AQ2,

3

5

13.(1)證明：?.四邊形28。是正方形，

:.OA=OB,z.ABC=90°,ACrBD,

:.^AOB=^BOE=90°,

■：AFA.BE,

:.^GAE+^AEG=^OBE+^AEG=9Q°,

:.z.GAE=Z.OBE,

"ZA0H=ZB0E

在A/CW和ASOF中，,0A=0B,

Z0AH=Z0BE

：aAO修BOE〈ASA);

(2)解：?ZO〃=N8GA=90。，4AHO=^BHG,

“AOHSMBGH,

,OH_AH

"GH'BE(

.OHGH

"AH"BH'

"OHG=4AHB,

.“OHGSAAHB,

:.^AGO=^ABO=45°;

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(3)解：,"跋=90。，AFLBE,

...4BAG+zAFB=4FBG+zAFB=q。。，

.z.BAG=Z.FBG,

"OHGSGAHB,

:.乙GOH=4BAH,

:.z.GOB=Z.CBG,

?."GO=45°,NOGC=90°,

..N8GO=NCG8=135°,

:QBGO-△CGB,

,QGBG

"BG'CG(

:B(?=OG*CG-6,

,￡.=卻3跖=會6=3.

14.解：(1)當點。在線段力。上時，

'AB=AD

在"8『和"。戶中，ZBAP=ZDAP=45°,

AP=AP

：aAB恪ADP,

：.BP=DP,

：PB=PE,

：.PE=PD,

過點。做PMVCD，于點例，作PN1.比■，于點/V,

:PB=PE,PNlBE,

:.BN=NE,

:BN=DM,

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:.DM=NE.

在RUPNE與RtAP/附中，

■：PD=PE,NE=DM,

二Rt△ZW些RtA，

:.Z.DPM=AEPN,

“MPN=90°,

"D