江蘇省鹽城市東臺(tái)市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年秋東臺(tái)市第一中學(xué)高二年級(jí)月考一數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間120分鐘總分150分）命題人：審題人：第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng)．）1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】知道兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過坐標(biāo)求出直線斜率，然后得到傾斜角的值.∵兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，∴斜率不存在，故傾斜角為：故選：C2.過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立求出交點(diǎn)，再由垂直關(guān)系得出所求直線方程.聯(lián)立，解得，.設(shè)與直線垂直的直線方程是將，代入方程，解得故所求方程為故選：D.3.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相切，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，從而得到點(diǎn)在圓上.因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，所以點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)在圓上，故選:A4.已知圓，圓，則兩圓的公切線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心之間的距離判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線條數(shù).圓的圓心坐標(biāo)為半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為半徑為7，兩圓圓心距離為，小于兩圓半徑之差，圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，沒有公切線.故選：A.5.若直線與直線交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率、傾斜角之間的關(guān)系分析求解.因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，直線斜率，此時(shí)傾斜角為；直線的斜率不存在，此時(shí)傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.6.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，進(jìn)而即得.，則可看作軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，則可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即.故選：A.7.已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，求出點(diǎn)P的軌跡是圓，再由點(diǎn)P在直線上，由圓心到直線的距離不大于半徑求解.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，又點(diǎn)P在直線上，則圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得，故選：C8.已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)可得以為直徑的圓的方程，兩圓方程相減，可得其公共弦，化為，由可得結(jié)果.設(shè)是圓的切線，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為，①又，②①-②得，化為，由，可得總滿足直線方程，即過定點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】探索曲線過定點(diǎn)的常見方法有兩種：①可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)(直線過定點(diǎn)，也可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點(diǎn)).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】分截距均為和截距均不為兩種情況討論，分別計(jì)算可得.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線方程為，即；所以直線的方程可能是或.故選：AC10.下列說法不正確的是（）A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率B.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.“直線與直線互相垂直”是“”的充分不必要條件D.直線的傾斜角的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】對于A，根據(jù)斜率的定義，可得答案；對于B，根據(jù)截距式方程，結(jié)合反例，可得答案；對于C，根據(jù)充分條件與必要條件的定義，結(jié)合垂直直線的性質(zhì)，可得答案；對于D，根據(jù)直線方程寫出斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系建立方程，可得答案.對于A，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線斜率不存在，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線垂直于任意一條坐標(biāo)軸時(shí)，其中一個(gè)不存在，故B錯(cuò)誤；對于C，由直線與直線互相垂直，則，解得a=-1或，所以“直線與直線互相垂直”是“”的不充分條件；當(dāng)a=-1時(shí)，易知直線與直線互相垂直，所以“直線與直線互相垂直”是“”的必要條件；故C錯(cuò)誤；對于D，由，則其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，解得，故D正確；故選：ABC.11.設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（）A.可能將的周長平分B.若直線與圓相切，則C.當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1D.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為2【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)圓的對稱性，可得當(dāng)直線平分圓的周長時(shí)，直線所過的點(diǎn)，結(jié)合題意，可得答案；對于B，利用直線與圓相切的性質(zhì)，求得直線與圓心的距離與半徑，建立方程，可得答案；對于C，求得直線與圓心的距離與半徑進(jìn)行比較，可得答案；對于D，求得弦心距與弦長，利用函數(shù)思想，可得答案對于A，當(dāng)直線過圓心時(shí)，圓的周長會(huì)被平分，由圓，則圓心為原點(diǎn)，半徑，由直線恒過0,4且斜率存在，則直線不可能過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，由，則其一般式方程為，圓與直線相切，可得，解得，故B正確；對于C，由，則直線，其一般式為，圓心到直線的距離d=0-0+41+1=22對于D，圓心到直線的距離，令，則，弦，的面積，則，整理可得，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分．不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上．）12.已知，則P點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】利用先求垂足，把點(diǎn)關(guān)于直線對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于垂足對稱，即可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.由直線，可知其斜率為，則與直線垂直的直線斜率為,則過點(diǎn)與直線垂直的直線方程為：，整理得，聯(lián)立方程組：，解得，即過點(diǎn)作直線垂線的垂足為，根據(jù)對稱性可知，兩點(diǎn)的中點(diǎn)就是，所以可求得點(diǎn)，故答案為：.13.兩條平行直線和間的距離為，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】兩直線平行則斜率相等，則求出參數(shù)的值，再將兩直線整理成系數(shù)相同的方程后代入平行線距離公式即可得到距離的值.∵兩直線平行，∴，即，∴，直線整理為：，∴.故答案為：14.已知圓，從點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則點(diǎn)的軌跡方程為______；點(diǎn)到直線的最大距離為______．【答案】①.②.【解析】【分析】在中，求得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求解方程即可，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得到直線的最大距離.從點(diǎn)向圓作兩條切線，且，所以在中，，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故的軌跡方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的最大距離為.故答案為：；四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請?jiān)诖痤}紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.（1）求邊上的高AD的直線方程；（2）求過點(diǎn)B且與A、C距離相等的直線方程.【答案】（1）（2）和.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）利用兩定點(diǎn)到直線距離相等的特性，分情況求解即可.【小問1】由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得直線的斜率，由，得直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得直線的方程為，整理得，所以邊上的高AD的直線方程為.【小問2】由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，得線段的中點(diǎn)E坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)A，C到直線的距離相等，而直線軸，于是直線的方程為；又點(diǎn)A，C到與直線平行的直線的距離也相等，而直線軸，此時(shí)所求直線方程為，所以過點(diǎn)B且與A、C距離相等的直線方程為和.16.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17.已知圓．（1）若滿足，求的取值范圍；（2）若直線與圓交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)為銳角時(shí)，求的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)換為直線方程，利用直線與圓有交點(diǎn)來建立不等關(guān)系，得到范圍.（2）聯(lián)立直線方程與圓的方程得到關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理得出和的值，已知夾角為銳角，借助向量數(shù)量積為正數(shù)建立不等關(guān)系，得出范圍.【小問1】，令，即直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑，即解得或．即【小問2】設(shè)的坐標(biāo)分別為，，將直線代入，整理，得，，，，即，當(dāng)為銳角時(shí)，，解得，又，或．故的取值范圍為．18.已知直線恒過點(diǎn)，且與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程；（3）當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）把直線的方程可化為，聯(lián)立方程組，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，結(jié)合，求得，即可求得直線的方程；（3）分別求得和，得到，結(jié)合基本不等式，得到，分類討論，即可求得的面積.【小問1】解：直線的方程可化為，令，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2】解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)直線的斜率與直線的斜率滿足，因?yàn)椋?，即，所以直線的方程為，即.【小問3】解：令，可得，所以；令，可得，所以，且，可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，可得的面積為；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，可得的面積為，綜上可得，的面積為或19.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，．點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）過作兩條互相垂直的直線，與點(diǎn)的軌跡分別交于和四點(diǎn)，求