專(zhuān)題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點(diǎn)，連接，過(guò)作于，交于點(diǎn)G；(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長(zhǎng)．2．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)D，直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，G是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)，交于E，交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：平分；(2)連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，分別與相切于點(diǎn)A、B、C，且，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作交于N．①求證：是的切線(xiàn)：②當(dāng)cm，cm時(shí)，求的半徑及圖中陰影部分的面積．4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于點(diǎn)E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過(guò)O作，求證：；(3)如圖3，若是直徑，點(diǎn)G、H在弧上，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．(1)求證：平分．(2)如圖2，點(diǎn)在弧上，分別與，交于點(diǎn)，，且．①求證：；②若，，求圓的半徑．③如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，若，求的值．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AD與y軸交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．(1)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（C，B兩點(diǎn)除外）時(shí)，求證：．(2)如圖2，過(guò)B，D，E三點(diǎn)作⊙H與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)EH交⊙H于點(diǎn)F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，中是否有一個(gè)角等于，如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．(1)求證：；(2)在線(xiàn)段上有一點(diǎn)I，連接．且平分，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過(guò)點(diǎn)D作的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F；當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．8．已知上兩個(gè)定點(diǎn)A、B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，與交于點(diǎn)E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，若連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，，求點(diǎn)O到弦的距離．9．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，．(1)求證：為的切線(xiàn)；(2)若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．(3)在（2）的條件下，線(xiàn)段分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)且，求的長(zhǎng)．10．已知如圖1，在中，弦于點(diǎn)，，，．是的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若，連接交于點(diǎn)，試說(shuō)明的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變請(qǐng)求出的度數(shù)，并說(shuō)明理由．11．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足，，的度數(shù)之比為，連接線(xiàn)段．(1)求的度數(shù)；(2)求的值；(3)設(shè)，點(diǎn)為直徑下方半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連，點(diǎn)在自向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時(shí)，求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)．12．如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，作交于，連結(jié)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖②，若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．13．四邊形內(nèi)接于，為直徑，E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且與相切．平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的半徑14．已知為的外接圓，．(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．①求證：平分；②設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)位于兩側(cè)，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．15．如圖1，在中，，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：．(2)若，求證：．(3)如圖2，，．①若，求的長(zhǎng)．②求的最大值．16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，點(diǎn)在射線(xiàn)上，且．(1)如圖2，若是的直徑．①求的半徑長(zhǎng)；②求的長(zhǎng)；(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)與的一條邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點(diǎn)為優(yōu)弧上異于的一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)如圖2，平分，且與交于．花花同學(xué)認(rèn)為：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有；都都同學(xué)認(rèn)為：的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．你贊同誰(shuí)的觀點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求的最大值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)的定義如下：若為直線(xiàn)與的一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)，如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于的限距點(diǎn)的示意圖．(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)．①分別判斷點(diǎn)，，關(guān)于的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，DE，DF分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在的邊上．若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)存在，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．(2)保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，則r的取值范圍為_(kāi)_____．專(zhuān)題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問(wèn)題【題型演練】一、解答題1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點(diǎn)，連接，過(guò)作于，交于點(diǎn)G；(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，可證得，從而，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于，連接，可證得，，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）作于，連接，連接，可證得，結(jié)合（2）的結(jié)論，從而得出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，依次解求得，解求得，從而得出，，解求得，從而得出的正余弦三角函數(shù)值，從而得出的三角函數(shù)值，解斜三角形，從而求得的值，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)交于，連接，是的直徑，，，，，；（3）解：如圖3，作于，連接，連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、、、共圓，，，，，，，，，由（2）得：，，，，，，設(shè)，，，，，，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，解直角三角形，確定圓的條件，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角度和圖形的特殊性．2．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)D，直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，G是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)，交于E，交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：平分；(2)連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰三角形，見(jiàn)解析(3)6【分析】（1）由切線(xiàn)的性質(zhì)可得出，結(jié)合題意可證，即得出．再根據(jù)同圓半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，即得出，從而易證平分；（2）由直徑所對(duì)圓周角為直角可知．再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，．由同弧或等弧所對(duì)圓周角相等可知，從而結(jié)合三角形外角性質(zhì)得：，即，即證明為等腰三角形；（3）連接，作交于點(diǎn)M，由圓周角定理可知．根據(jù)勾股定理可得出，即得出，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股的定理求出．又易證為等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，進(jìn)而可求出．【詳解】（1）∵是切線(xiàn)∴．∵，∴．∴．又∵，∴，∴，即平分；（2）為等腰三角形，理由如下，∵為的直徑，∴．∵G是的內(nèi)心，∴，．∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形；（3）連接，作交于點(diǎn)M，如圖所示：由圓周角定理可知．∵，，，∴，∴．∵，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．在解（3）時(shí)正確作出輔助線(xiàn)也是關(guān)鍵．3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，分別與相切于點(diǎn)A、B、C，且，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作交于N．①求證：是的切線(xiàn)：②當(dāng)cm，cm時(shí)，求的半徑及圖中陰影部分的面積．【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是【分析】（1）連接和，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可得，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意求證，即可得出，即可得出答案；②根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖1，連接和，∵和是的兩條切線(xiàn)，∴，．又∵，．∴∴，．（2）①證明：∵分別與相切于點(diǎn)A、B、C，∴分別平分、．又∵．∴．∴．又∵，∴又∵經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)M，∴是的切線(xiàn)．②連接，則，∵cm，cm，∴，∴，∴即的半徑為2.4cm．∴（）綜上所述，的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線(xiàn)的證明、扇形的面積計(jì)算等，屬于常規(guī)考題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)A的知識(shí)點(diǎn)，切線(xiàn)的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計(jì)算等．4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于點(diǎn)E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過(guò)O作，求證：；(3)如圖3，若是直徑，點(diǎn)G、H在弧上，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接，若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）連接，先根據(jù)證明，再根據(jù)圓周角定理得到，進(jìn)一步得到，最后根據(jù)的高線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)得到，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可得是的直徑，先根據(jù)得到，再證明是的中位線(xiàn)，得到，最后證明即可得到結(jié)論；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則先證明是等邊三角形得到和，進(jìn)一步證明以及得到，和，然后根據(jù)勾股定理得到方程，最后消去有關(guān)線(xiàn)段，得到關(guān)于r的方程，求出r的值，并根據(jù)求出答案即可【詳解】（1）如圖1，連接，又的高線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，（2）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則是的直徑，又是的中位線(xiàn)，由（1）得，（3）如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則：是等邊三角形，，即在和中①，又②，

得，又，即，即解得，或（舍去）【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握?qǐng)A周角定理以及作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．(1)求證：平分．(2)如圖2，點(diǎn)在弧上，分別與，交于點(diǎn)，，且．①求證：；②若，，求圓的半徑．③如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②；③【分析】（1）證明，即可得出平分；（2）①連結(jié)，證明，推出，即可求證；②連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，根據(jù)，即可求出半徑的長(zhǎng)；③延長(zhǎng)交于，連結(jié)，利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解．【詳解】（1）連結(jié)、，∵，，，∴，∴（2）①連結(jié)由，，得，∴，，又∵，∴，∴，且②連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)則，由，知，∴，，∴∴，即半徑為③延長(zhǎng)交于，連結(jié)∵，，∴，∴，即∵∴，∴，即又∵，∴∴∵，，∴∴∴，即∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠利用性質(zhì)和判定定理，進(jìn)行推理．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AD與y軸交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．(1)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（C，B兩點(diǎn)除外）時(shí)，求證：．(2)如圖2，過(guò)B，D，E三點(diǎn)作⊙H與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)EH交⊙H于點(diǎn)F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，中是否有一個(gè)角等于，如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；【分析】（1）根據(jù)為等腰直角三角形，可知，則垂直平分，則，根據(jù)，可知．（2）根據(jù)是的一個(gè)外角，可知，根據(jù)是的一個(gè)外角，可知，又根據(jù)，，則，在等腰Rt中，，則，故；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可解決本題，②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸與點(diǎn)，同理根據(jù)相似三角形求解即可．【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，（2）解：∵是的一個(gè)外角，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，又∵，，∴，在等腰Rt中，，∴，∴；（3）解：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，在Rt中，，∴，∴，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在等腰Rt中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸與點(diǎn)，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，在R中，∠EFB=30°，∴，∴，，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，即，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，其中也考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．(1)求證：；(2)在線(xiàn)段上有一點(diǎn)I，連接．且平分，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過(guò)點(diǎn)D作的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F；當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；（2）證明，進(jìn)而命題可證；（3）連接，先計(jì)算得出是等邊三角形，作于點(diǎn)E，求得的長(zhǎng)，證明，從而求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵為弦，為直徑，且，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：連接，∵，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是的切線(xiàn)，∴，，∵且，∴，∴，∴，由（2）得，作于點(diǎn)E，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．8．已知上兩個(gè)定點(diǎn)A、B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，與交于點(diǎn)E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，若連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，，求點(diǎn)O到弦的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)O到弦的距離是【分析】（1）如圖1，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明，可得結(jié)論；（2）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得：為的中位線(xiàn)，則，由和，再由等弧所對(duì)的圓周角相等得：，所以，求出，從而得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過(guò)O作于G，∴，∵AO=OF，∴為的中位線(xiàn)，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)O到弦的距離是．【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，其中考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用．9．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，．(1)求證：為的切線(xiàn)；(2)若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．(3)在（2）的條件下，線(xiàn)段分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，；(3)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，根據(jù)同圓的半徑相等和已知相等的角代換可得：∠OCD=90°，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算，證明，得，設(shè)設(shè)，利用勾股定理列方程可得x的值，據(jù)此即可求解；（3）證明，列比例式可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴為的切線(xiàn)；（2）解：∵的半徑為5，∴，中，，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，中，，，（舍）或，即，∴；（3）解：∵，∴，設(shè)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．已知如圖1，在中，弦于點(diǎn)，，，．是的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若，連接交于點(diǎn)，試說(shuō)明的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變請(qǐng)求出的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，證明，可得，代入數(shù)值求出的長(zhǎng)，再用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）連接，由（1）可知是等腰三角形，再由E是的中點(diǎn)，可得，則是圓O的直徑，再由同弧所對(duì)的圓周角相等，可知，根據(jù)，即可求的長(zhǎng)；（3）設(shè)與的交點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，證明，設(shè)，則，在中，由勾股定理求出，再由BP垂直平分，可得，則，又由，可得，進(jìn)而可求出．【詳解】（1）如圖，連接．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，交的交點(diǎn)為，∵，∴是等腰三角形，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴是圓O的直徑，∴．在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3），不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：設(shè)與的交點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，由（2）知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，解得，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足，，的度數(shù)之比為，連接線(xiàn)段．(1)求的度數(shù)；(2)求的值；(3)設(shè)，點(diǎn)為直徑下方半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連，點(diǎn)在自向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時(shí)，求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)能；的長(zhǎng)為：6或或【分析】（1）由，，的度數(shù)之比為，求得，的度數(shù)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，用表示即可得到答案；（3）作直徑，連接，，當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，過(guò)作于點(diǎn)，求得，進(jìn)而求得；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，得，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，的度數(shù)之比為，，，的度數(shù)分別為：，，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，，，，，，，；（3）解：作直徑，連接，，如圖所示，，，，，，當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，，，過(guò)作于點(diǎn)，則，，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，。，，綜上所述，的長(zhǎng)為：6或或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解題．12．如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，作交于，連結(jié)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖②，若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出，，即可得證結(jié)論；（2）根據(jù)弧長(zhǎng)的關(guān)系得出；（3）①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，證明，得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即可得證結(jié)論；②證明，得，，，推出，，同理得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求出和即可得出的值．【詳解】（1）解：證明：如圖①，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，；（2）由（1）可得，，，則，，，；（3）①證明：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，則，又，，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，即；②，，，又，，，即，設(shè)，，則，解得或（舍去），，，又，同理得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合知識(shí)，考查了圓周角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．四邊形內(nèi)接于，為直徑，E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且與相切．平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的半徑【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)5．【分析】（1）連接，，先證，得點(diǎn)B在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，再證點(diǎn)O在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，從而有垂直平分線(xiàn)段，即可得解；（2）連接，，先證，得，，從而求得，，，再利用勾股定理求得，，從而即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：如下圖，連接，，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)B在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，∵，∴點(diǎn)O在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，∴垂直平分線(xiàn)段，∴；（2）解∶連接，，∵與相切，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，，∴，，∴，，，

∴，，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定、圓周角定理、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知為的外接圓，．(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．①求證：平分；②設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)位于兩側(cè)，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①證明，可得，即可得證；②首先求出，得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，，在四邊形中，利用內(nèi)角和列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可；（2）猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：，交于點(diǎn)，連接，，由已知可得；利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得到，，由于與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，于是，則得為等腰直角三角形，為直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代換可得結(jié)論．【詳解】（1）解：①連接，則，在和中，，∴，∴，即平分；②∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在四邊形中，，即，化簡(jiǎn)得：；（2），，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，如圖，，，．，．．．與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，．

．．即．，，即．在和中，，

．．．【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．根據(jù)圖形的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在中，，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：．(2)若，求證：．(3)如圖2，，．①若，求的長(zhǎng)．②求的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)①；②【分析】（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等得，由余角的性質(zhì)得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）通過(guò)證明，得，由補(bǔ)角的性質(zhì)可證，等量代換得，進(jìn)而可證；（3）①由，結(jié)合勾股定理求出和，由得，設(shè)，利用求出，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；②通過(guò)證明，可得，設(shè)，表示出和，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴；（3）①∵，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，設(shè)．∵，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴A，C，P，D四點(diǎn)共圓，∴，∴．∵，∴，∴，∴．設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，點(diǎn)在射線(xiàn)上，且．(1)如圖2，若是的直徑．①求的半徑長(zhǎng)；②求的長(zhǎng)；(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)與的一條邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①6；②(2)或【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；利用的結(jié)論和勾股定理解答即可；（2）利用分類(lèi)討論的方法分或兩種情況解答：當(dāng)時(shí)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的你還記得了得到為直角三角形，利用（1）的方法解答即可；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：

是直徑，

，，∴圓的半徑長(zhǎng)為6；，，；（2）情形1：如圖1，當(dāng)時(shí)，，，，，情形2：如圖2，當(dāng)時(shí)，則，，

過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

，，是等腰直角三角形，，，.∴，，綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)A作利用直角三角形的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點(diǎn)為優(yōu)弧上異于的一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)如圖2，平分，且與交于．花花同學(xué)認(rèn)為：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有；都都同學(xué)認(rèn)為：的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．你贊同誰(shuí)的觀點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求的最大值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)花花，理由見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）根據(jù)等弦對(duì)等弧、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，即可證明平分；（2）由（1）可知，，結(jié)合平分，可得，再由