專題03正方形的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)-【學(xué)霸滿分】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練(北師大版)

專題03正方形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求動(dòng)點(diǎn)中的最值問(wèn)題考點(diǎn)五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求折疊問(wèn)題考點(diǎn)六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定無(wú)刻度作圖考點(diǎn)一根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度例題：（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．E、F分別為、上一點(diǎn)，且，連接，，．若，則的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【變式訓(xùn)練】1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_(kāi)____°．2．（2020·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，正方形中，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則____________．考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)例題：（2021·江西九江·九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，，交邊AD于點(diǎn)F，，交PF延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且，連結(jié)AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則的度數(shù)為_(kāi)_____，PC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）（1）問(wèn)題情境：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，延長(zhǎng)EF，射線EF與射線CD交于點(diǎn)G，連接AG．①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：DG＝FG；②當(dāng)CE＝3時(shí)，則CG的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）思維深化：在△ABC中∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高，且BD＝+1，CD＝﹣1，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積例題：（2021·黑龍江·訥河市第三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若線段AE＝4，則四邊形ABCD的面積為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，連接AE、BE，∠AEB=90°，過(guò)C點(diǎn)作CF//AE，過(guò)D點(diǎn)作DF//BE，交點(diǎn)為F，連接EF，若AE=5，BE=4，則四邊形EBCF的面積為_(kāi)_______．2．（2021·遼寧丹東·九年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求動(dòng)點(diǎn)中的最值問(wèn)題例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，正方形中，，動(dòng)點(diǎn)在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．22．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為直角邊在CD左側(cè)作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)____；△ADE面積的最大值為_(kāi)____．考點(diǎn)五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求折疊問(wèn)題例題：（2022·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折得到△FBE．(1)如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線BD上，則線段DE與AE的數(shù)量關(guān)系是______；(2)若點(diǎn)F落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△FBE（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．連接DF，則∠EDF＝______°；(3)如圖3，連接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的長(zhǎng)．考點(diǎn)六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定無(wú)刻度作圖例題：（2021·江西九江·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求作圖（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(1)在圖1中，作出邊BC的中點(diǎn)；(2)在圖2中，作出邊CD的中點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西九江·三模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在邊BC上．請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，以AE為邊，在正方形ABCD內(nèi)作一個(gè)平行四邊形；(2)在圖2中，以AE為邊，在正方形ABCD內(nèi)作一個(gè)等腰三角形．2．（2022·江西吉安·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，以點(diǎn)E、F為頂點(diǎn)作正方形EGHF；(2)在圖②中，連接AE、BF交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作正方形．一、選擇題1．（2022·廣東·雷州四中八年級(jí)期中）已知正方形ABCD的周長(zhǎng)為4，則它的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．22．（2022·天津紅橋·三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在第一象限，若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）3．（2022·河南許昌·二模）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，連接AE，若AB=4，則線段AE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4．（2022·河南洛陽(yáng)·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若，，則點(diǎn)D到CF的距離為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，連接AE．若AB＝2，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件____________，使菱形是正方形．8．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F．若，，則正方形ABCD的面積為_(kāi)__．9．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5厘米，EGAD，點(diǎn)H在邊AD上，△CEH的面積為8平方厘米，則FG＝________厘米．10．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為_(kāi)_________．三、解答題11．（2022··八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．(1)若n＝1時(shí)，①求∠BAE的度數(shù)；②設(shè)BE＝x，S四邊形AGFD＝S1，S△ABE＝S2，求S1?S2．(用含x的代數(shù)式表示)(2)若CF＝mBG，求證：mn?n＝1．12．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接DG．(1)填空，∠EDG=_________°．(2)如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BF．①求線段AG的長(zhǎng)；②求△BEF的面積；(3)填空：當(dāng)DE=DG時(shí)，若令CE=a，則BF=_________（用含a的式子表示）．13．（2022·廣東·珠海市拱北中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，正方形和正方形如圖所示放置，連接，，，與交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，連接，求證：是的平分線；(3)如圖3，連接，若面積為12，求的面積．14．（2022·遼寧遼陽(yáng)·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：；②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DH的長(zhǎng)．專題03正方形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求動(dòng)點(diǎn)中的最值問(wèn)題考點(diǎn)五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求折疊問(wèn)題考點(diǎn)六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定無(wú)刻度作圖考點(diǎn)一根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度例題：（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．E、F分別為、上一點(diǎn)，且，連接，，．若，則的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進(jìn)而得到∠CBE的度數(shù)．【詳解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_(kāi)____°．【答案】135【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案為：135．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．（2020·山東濱州·八年級(jí)期末）如圖，正方形中，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則____________．【答案】64°【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS證明△BCE≌△DCF，得出對(duì)應(yīng)角相等即可求出∠BEC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，∴∠DCF=90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC，∵CE=CF，∠ECF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，∴∠EFC=45°，則∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，∴∠BEC＝64°，故答案為：64°.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)例題：（2021·江西九江·九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根據(jù)已知條件證明△EAG≌△EAF，設(shè)，在中，由勾股定理可以求出BE的長(zhǎng)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知，△ADF≌△ABG，∴，∠DAF=∠BAG，∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠BAG+∠EAB=45°，∴∠EAF=∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF(SAS)，∴GE=FE，設(shè)，則，，∴，∵CD=6，DF=3，∴，∵∠C=90°，∴在中，，即，解得，，即BE=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，，交邊AD于點(diǎn)F，，交PF延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且，連結(jié)AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則的度數(shù)為_(kāi)_____，PC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】

45°

【解析】【分析】過(guò)C作CG⊥ED于G，即可得到正方形PCGE，可得,進(jìn)而得到E、F、P、B四點(diǎn)在一條直線上，過(guò)A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，易證，即可得到AE平分，即，再利用五邊形AEDCP的面積為24列方程求出PC的長(zhǎng)即可．【詳解】過(guò)C作CG⊥ED于G，過(guò)A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，連結(jié)PB∵，，，CG⊥ED∴四邊形PCGE是正方形∴,∵正方形ABCD∴,∴∴(SAS)∴∴∴E、F、P、B四點(diǎn)在一條直線上，∴∵AM⊥DE于M，AN⊥PE∴四邊形AMEN是矩形∴(AAS)∴∴矩形AMEN是正方形，AE平分分，∴，設(shè)，∵∴（AAS）∴∵∴∴即【點(diǎn)睛】本題綜合考查正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的判定通過(guò)手拉手模型構(gòu)造正方形證明E、F、P、B四點(diǎn)在一條直線上是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）（1）問(wèn)題情境：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，延長(zhǎng)EF，射線EF與射線CD交于點(diǎn)G，連接AG．①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：DG＝FG；②當(dāng)CE＝3時(shí)，則CG的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）思維深化：在△ABC中∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高，且BD＝+1，CD＝﹣1，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②4或；（2）AD的長(zhǎng)為或【解析】【分析】（1）①根據(jù)翻折得到，進(jìn)而有，結(jié)合正方形性質(zhì)得到，再利用全等性質(zhì)即可得證；②由①可知，進(jìn)而有，在中利用勾股定理求解即可；（2）結(jié)合（1）中所給的提示，構(gòu)造出滿足題意的圖形，分兩種情況求解：①設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，，在中，由勾股定理可知，代值解方程可得；②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，，在中，由勾股定理可知，代值解方程可得，從而得到AD的長(zhǎng)為或．【詳解】解：（1）①證明：將△ABE沿AE所在直線翻折得到△AFE，，，在正方形ABCD中，，，在和中，，，；②由①中兩組全等的三角形可得，正方形ABCD中，AB＝6，，，設(shè)，則，在中，，，，則根據(jù)勾股定理得，即，解得，即，故答案為：；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）可知，有兩種情況，①三角形在正方形內(nèi)部，如下圖所示：已知，由（1）知，，，則，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，，在中，由勾股定理可知，即，化簡(jiǎn)得，解得，是正方形邊長(zhǎng)，滿足，，即；②三角形在正方形外部，如下圖所示：已知，由（1）知，，，則，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，，在中，由勾股定理可知，即，化簡(jiǎn)得，解得，即綜上所述，AD的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查正方形綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)特征、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，根據(jù)題意找到有特殊到一般題型的解題思路是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求面積例題：（2021·黑龍江·訥河市第三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若線段AE＝4，則四邊形ABCD的面積為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)CD，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，構(gòu)造出全等三角形，，即可得到四邊形ABCD的面積就等于正方形AECF的面積．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CD，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形AECF是矩形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴四邊形AECF是正方形，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，連接AE、BE，∠AEB=90°，過(guò)C點(diǎn)作CF//AE，過(guò)D點(diǎn)作DF//BE，交點(diǎn)為F，連接EF，若AE=5，BE=4，則四邊形EBCF的面積為_(kāi)_______．【答案】##30##30.5【解析】【分析】延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)EA、FD交于點(diǎn)G，得到邊長(zhǎng)為9的正方形GEHF，根據(jù)四邊形EBCF的面積=即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)EA、FD交于點(diǎn)G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵CF//AE，DF//BE，∴四邊形GEHF是平行四邊形，∵∠AEB=90°，∴平行四邊形GEHF是矩形，∴∠AEB=∠G=∠CFD=∠H=90°，根據(jù)等角的余角相等，∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC，∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC，∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4，∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是邊長(zhǎng)為9的正方形，∴四邊形EBCF的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2021·遼寧丹東·九年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）正方形ABCD的面積為【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得出結(jié)論；（2）證明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC（三線合一），即BD⊥AC，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵?ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積＝AB2＝a2．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求動(dòng)點(diǎn)中的最值問(wèn)題例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，正方形中，，動(dòng)點(diǎn)在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意，首先證出，得到，，進(jìn)而證出為等腰直角三角形，得到，當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在的角平分線上移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最短．再證得為等腰直角三角形，解這個(gè)直角三角形得，進(jìn)一步再求出的最小值，從而得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵四邊形是正方形∴∴∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴∵∴∴∴，，∴，∴∴為等腰直角三角形∴∵∴∴當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在的角平分線上移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最短∵∴為等腰直角三角形∴∴∴∵，，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是線段的最小值的問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握各種圖形的性質(zhì)與判定，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．2【答案】A【解析】【分析】連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過(guò)證明，確定點(diǎn)F在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)，由三角形全等得到，從而確定點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)D、F、三點(diǎn)共線時(shí)，DF＋CF＝最小，通過(guò)勾股定理即可求得長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴，ED＝EF，∴，又∵在中，，∴，在和中，∴∴FG＝AE，EG＝DA，∴點(diǎn)F在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)，∵EG＝DA，∴EG＝DA，∴EG－EB＝DA－EB，即BG＝AE，∴BG＝FG，是等腰直角三角形，，∴，∴點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)D、F、三點(diǎn)共線時(shí)，DF＋CF＝最小，在中，AD＝4，，∴，∴DF＋CF的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱性質(zhì)、最短路徑，能夠?qū)⒕€段的和通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為直角邊在CD左側(cè)作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)____；△ADE面積的最大值為_(kāi)____．【答案】

【解析】【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，過(guò)C作AB的垂線交AB于F，CF即為CD=CE的最小值，然后運(yùn)用勾股定理即可求得DE的最小值；當(dāng)DE最小時(shí)，△ADE為等腰直角三角形，此時(shí)其面積有最大值，然后求解即可．【詳解】解：如圖：過(guò)C作AB的垂線交AB于F∴CF是CD的最小值∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝∴AB=∵CF⊥AB∴CF=1∴CD=CE的最小值為1，AF=1∴DE的最小值為∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1∴四邊形AFCG是正方形∴AF=AG=1∴當(dāng)D點(diǎn)在F點(diǎn)時(shí)，△ADE的面積最大，且等腰△AGF的面積∴△ADE的面積最大值為：．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求折疊問(wèn)題例題：（2022·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．【答案】2【解析】【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長(zhǎng)度為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用正方形的邊長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：由軸對(duì)稱可知：∴陰影部分的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了陰影部分的周長(zhǎng)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行邊的轉(zhuǎn)化．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折得到△FBE．(1)如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線BD上，則線段DE與AE的數(shù)量關(guān)系是______；(2)若點(diǎn)F落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△FBE（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．連接DF，則∠EDF＝______°；(3)如圖3，連接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)圖見(jiàn)解析，75°(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，求解即可；（2）先作出CD的垂直平分線MN，以B為圓點(diǎn)，以BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交MN于點(diǎn)F（正方形內(nèi)部的點(diǎn)），連接BF，作的角平分線，交AD于點(diǎn)E，連接EF，即可，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（3）方法一：取CD邊的中點(diǎn)為O，連接BO，F(xiàn)O，通過(guò)證明△BCO≌△BFO得到點(diǎn)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線，設(shè)AE＝EF＝x，勾股定理求解即可；方法二：延長(zhǎng)BF交AD于G．先證明FG＝DG，再在Rt△ABG中應(yīng)用勾股定理可求解．(1)解：正方形ABCD中，，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴為等腰直角三角形，即，由勾股定理可得：，即，(2)解：作圖如下：則△FBE為所求的三角形，由題意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，點(diǎn)F在MN上，則AF=BF，由折疊的性質(zhì)可得，AB=BF∴為等邊三角形，∴，為等腰三角形∴，∴；(3)解：取CD邊的中點(diǎn)為O，連接BO，F(xiàn)O，如圖：∵∠CFD＝90°∴OF＝CO＝OD＝2．∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，∴△BCO≌△BFO（SSS）．∴∠BFO＝∠BCO＝90°．∴∠EFB＋∠BFO＝180°．∴點(diǎn)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線．設(shè)AE＝EF＝x，則DE＝4－x．在Rt△ODE中，．∴解這個(gè)方程，得．即AE的長(zhǎng)是．方法二：延長(zhǎng)BF交AD于G．如圖：由題意可得：AB=BF=BC∴，∴∴，∴FG＝DG，設(shè)，則AG=4-x，BG=4+x，Rt△ABG中，由勾股定理可得：，解得，設(shè)，，在Rt△EFG中，由勾股定理可得：，解得【點(diǎn)睛】此題考查了正方形與折疊的綜合問(wèn)題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖（垂直平分線和角平分線），等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．考點(diǎn)六根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定無(wú)刻度作圖例題：（2021·江西九江·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求作圖（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(1)在圖1中，作出邊BC的中點(diǎn)；(2)在圖2中，作出邊CD的中點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接AC，BD交于O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于F，點(diǎn)F即為所求；（2）如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長(zhǎng)交CD于H，點(diǎn)H即為所求；(1)解：如圖所示，點(diǎn)F即為所求；連接AC，BD交于O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于F，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，即點(diǎn)C在BC的線段垂直平分線上，同理可證E在線段BC的垂直平分線上，∴EO是BC的線段垂直平分線，∴F即為BC的中點(diǎn)；(2)解：如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長(zhǎng)交CD于H，點(diǎn)H即為所求；∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，又∵CG=CG，∴△BCG≌△DCG（SAS），∴∠BGC=∠DGC，又∵∠BGF=∠DGH，∴∠HGC=∠FGC，∵CG=CG，∠CGH=∠CGF，∴△CFG≌△CHG（ASA），∴CH=CF，∵F是BC的中點(diǎn)，即BC=2CF，∴BC=CD=2CH，即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西九江·三模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在邊BC上．請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，以AE為邊，在正方形ABCD內(nèi)作一個(gè)平行四邊形；(2)在圖2中，以AE為邊，在正方形ABCD內(nèi)作一個(gè)等腰三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)與對(duì)角線的交點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形即為所求，（2）在（1）的基礎(chǔ)上，記CF交BD于點(diǎn)H，連接AH并延交CD于點(diǎn)M，則△ADM≌△CDF，則AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，連接EM,則△AEM即為所求．(1)如圖（1）所示，連接，過(guò)點(diǎn)與對(duì)角線的交點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形即為所求，(2)如圖（2）所示，等腰三角形即為所求，在（1）的基礎(chǔ)上，記CF交BD于點(diǎn)H，連接AH并延交CD于點(diǎn)M，，，∴，，AD=CD，△ADM≌△CDF，則AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，連接EM，則△AEM即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江西吉安·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，以點(diǎn)E、F為頂點(diǎn)作正方形EGHF；(2)在圖②中，連接AE、BF交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作正方形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接AC，BD，AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，延長(zhǎng)EO交AD于H，連接FO，延長(zhǎng)FO交AB于G，四邊形EGHF即為所求作；（2）同（1）作出四邊形EGHF，連接CH、DG，CH交DG于點(diǎn)M，DG交AE于點(diǎn)N，CH交BF于點(diǎn)L，四邊形PNML即為所求作(1)解：如圖，四邊形EGHF即為所求作．；(2)解：如圖，四邊形PNML即為所求作．．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．一、選擇題1．（2022·廣東·雷州四中八年級(jí)期中）已知正方形ABCD的周長(zhǎng)為4，則它的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)正方形的周長(zhǎng)為4，求出邊長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為4，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC==，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．2．（2022·天津紅橋·三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)C，D在第一象限，若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，證明△AOB≌△BEC，得到BE=AO，EC=OB，計(jì)算OE的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E．∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A（0，2），B（3，0），∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，∴∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，∴△AOB≌△BEC，∴BE=AO=2，EC=OB=3，∴OE=OB+BE=2+3=5，∴點(diǎn)C（5，3），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段與坐標(biāo)的關(guān)系，熟練掌握正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解線段與坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南許昌·二模）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，連接AE，若AB=4，則線段AE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得AO=BO=2，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，∴AC=BD=4，AC⊥BD，∴AO=BO=2，∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，∴EO=，在Rt△EOA中，EO=，AO=2，∴AE=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的對(duì)角線相等且垂直平分．4．（2022·河南洛陽(yáng)·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：連接BF，則EF≥BF－BE，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，EF的長(zhǎng)度有最小值，如圖由翻折的性質(zhì)，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，∴CF=2，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識(shí)，正確找出線段最小值的臨界點(diǎn)，從而進(jìn)行解題．5．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接CF，若，，則點(diǎn)D到CF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】點(diǎn)D到CF的距離為，根據(jù)正方形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，求得的值，在利用勾股定理及直角三角形斜邊的中線可求得的值，再利用等面積法求高的方法，即即可求得答案．【詳解】解：點(diǎn)D到CF的距離為，四邊形ABCD是正方形，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，是的中位線，是的中線，是的中位線，是的中位線，，，，，，，在中，，，，，，，，解得，點(diǎn)D到CF的距離為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線性質(zhì)及三角形等面積法求高，熟練掌握等面積法求相應(yīng)邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，連接AE．若AB＝2，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知AB＝2，BE＝1，利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝90°，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形四邊相等、四個(gè)角為直角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件____________，使菱形是正方形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定來(lái)添加合適的條件．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角，（2）對(duì)角線相等．如∠ABC=90°或AC=BD．故答案為：AC=BD（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查特殊四邊形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定解答．8．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F．若，，則正方形ABCD的面積為_(kāi)__．【答案】196【解析】【分析】連接AE可得AE=CE，勾股定理求出EF，DF=EF，求出AD可得答案．【詳解】解：連接AE，如圖，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=EC=10，∵EF⊥AD，AF=6，∴EF=，∴DF=EF=8，AD=8+6=14，∴正方形ABCD的面積為196，故答案為：196．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5厘米，EGAD，點(diǎn)H在邊AD上，△CEH的面積為8平方厘米，則FG＝________厘米．【答案】##1.8【解析】【分析】過(guò)H作HM⊥EG于M，由四邊形ABCD是正方形，，HM⊥EG，可得四邊形AEGD、四邊形HMGD是矩形，根據(jù)△CEH的面積為8平方厘米，有EF?MH+EF?CG=8，即得EF?CD=8，可求出EF=厘米，故FG=EG-EF=厘米．【詳解】解：過(guò)H作HM⊥EG于M，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為5厘米，∴AD=CD=5厘米，∠A=∠D=90°，∵，HM⊥EG，∴四邊形AEGD、四邊形HMGD是矩形，∴EG=AD=5厘米，MH=DG，∵△CEH的面積為8平方厘米，∴EF?MH+EF?CG=8，∴EF?（MH+CG）=8，∴EF?（DG+CG）=8，即EF?CD=8，又CD=5，∴EF=，∴FG=EG-EF=（厘米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)△CEH的面積為8平方厘米，列出關(guān)于EF的方程，從而求得EF的長(zhǎng)度．10．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為_(kāi)_________．【答案】5【解析】【分析】以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，由“SAS”可證△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂線段最短可得當(dāng)EH⊥AB時(shí)，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，∴當(dāng)EH⊥AB時(shí)，EH有最小值，即AF有最小值，

∵∠EAH＝90°?∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30°直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022··八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．(1)若n＝1時(shí)，①求∠BAE的度數(shù)；②設(shè)BE＝x，S四邊形AGFD＝S1，S△ABE＝S2，求S1?S2．(用含x的代數(shù)式表示)(2)若CF＝mBG，求證：mn?n＝1．【答案】(1)①22.5°；②x2(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）①連接GE，由正方形ABCD得∠B＝90°，由n＝1可得BG＝BE，可得出∠BGE＝45°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AG＝GE，由等邊對(duì)等角得∠BAE＝∠AEG，由三角形外角的性質(zhì)即可求解；②過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形AMFD是矩形，證明△ABE≌△FMG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得MG＝BE＝GB＝x，根據(jù)勾股定理可得GE＝AG＝x，求出AM＝DF＝x?x，用含x的式子表示出S1，S2，即可得出S1?S2；（2）首先由CF＝mBG，BG＝nBE得CF＝mnBE，則CF?BG＝mnBE?nBE＝（mn?n）BE，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，證明△GFN≌△FGM，可得△GNF≌△ABE≌△FMG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BE＝FN，可得CF?BG＝CF?CN＝FN＝BE，即可求解．(1)解：①如圖，連接GE，∵BG＝nBE，n＝1，∴BG＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴∠BGE＝45°，∵AE的垂直平分線交AB于G，∴AG＝GE，∴∠BAE＝∠AEG，∵∠BGE＝∠BAE+∠AEG＝45°，∴2∠BAE＝45°，∴∠BAE＝22.5°；②如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形AMFD是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，∴MF＝AD＝AB，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE的垂直平分線交AB于G，∴∠BAE+∠FGM＝90°，∴∠AEB＝∠FGM，∵∠B＝∠FMG＝90°，AB＝FM，∴△ABE≌△FMG（AAS），∴MG＝BE＝GB＝x，∴GE＝AG＝x，∴AM＝DF＝x?x，∴S1＝S四邊形AGFD＝AD（DF+AG）＝（x+x）（x?x+x）＝（3+）x2，S2＝S△ABE＝AB?BE＝（x+x）?x＝（1+）x2，∴S1?S2＝（3+）x2?（1+）x2＝（+??）x2＝x2；(2)證明：∵CF＝mBG，BG＝nBE，∴CF＝mnBE，∴CF?BG＝mnBE?nBE＝（mn?n）BE，如圖，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，則四邊形GNFM是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，∴MG＝NF，MF＝NG，GN∥MF，∴CN＝BG，∴CF?BG＝CF?CN＝NF，∵GN∥MF，∴∠NGF＝∠MFG，∵∠GNF＝∠FMG＝90°，GF＝FG，∴△GFN≌△FGM（AAS），∵△ABE≌△FMG，∴△GNF≌△ABE≌△FMG，∴BE＝MG＝NF，∴CF?BG＝CF?CN＝FN＝BE，∵CF?BG＝（mn?n）BE，∴mn?n＝1．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．12．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接DG．(1)填空，∠EDG=_________°．(2)如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BF．①求線段AG的長(zhǎng)；②求△BEF的面積；(3)填空：當(dāng)DE=DG時(shí)，若令CE=a，則BF=_________（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)①；②(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根據(jù)翻折前后兩個(gè)圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，從而得解；（2）①設(shè)AG=x，則BG=6-x，根據(jù)勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的長(zhǎng)；②先計(jì)算△BEG的面積，根據(jù)同高三角形面積的關(guān)系可得：S△BEF=；（3）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得F是EG的中點(diǎn)，由（1）和折疊得：AG=FG=EF=CE=a，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．(1)解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△D