專題03正方形的性質與判定(原卷版+解析)(重點突圍)-【學霸滿分】2022-2023學年九年級數學上冊重難點專題提優(yōu)訓練(北師大版)

專題03正方形的性質與判定考點一根據正方形的性質與判定求角度考點二根據正方形的性質與判定求線段長考點三根據正方形的性質與判定求面積考點四根據正方形的性質與判定求動點中的最值問題考點五根據正方形的性質與判定求折疊問題考點六根據正方形的性質與判定無刻度作圖考點一根據正方形的性質與判定求角度例題：（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對角線、相交于點O．E、F分別為、上一點，且，連接，，．若，則的度數為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【變式訓練】1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點P是正方形ABCD內位于對角線AC下方的一點，∠1＝∠2，則∠BPC的度數為_____°．2．（2020·山東濱州·八年級期末）如圖，正方形中，為邊上一點，為延長線上一點，且，若，則____________．考點二根據正方形的性質與判定求線段長例題：（2021·江西九江·九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將繞點A順時針旋轉90°得到，若，則BE的長為__________．【變式訓練】1．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在正方形ABCD中，，點P在正方形內，，交邊AD于點F，，交PF延長線于點E，且，連結AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則的度數為______，PC的長為______．2．（2022·遼寧沈陽·二模）（1）問題情境：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E為射線BC上一動點，將△ABE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，延長EF，射線EF與射線CD交于點G，連接AG．①當點E在線段BC上時，求證：DG＝FG；②當CE＝3時，則CG的長為______．（2）思維深化：在△ABC中∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高，且BD＝+1，CD＝﹣1，請直接寫出AD的長．考點三根據正方形的性質與判定求面積例題：（2021·黑龍江·訥河市第三中學九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若線段AE＝4，則四邊形ABCD的面積為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【變式訓練】1．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學八年級階段練習）如圖，已知點E為正方形ABCD外一點，連接AE、BE，∠AEB=90°，過C點作CF//AE，過D點作DF//BE，交點為F，連接EF，若AE=5，BE=4，則四邊形EBCF的面積為________．2．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．考點四根據正方形的性質與判定求動點中的最值問題例題：（2022·全國·八年級）如圖，正方形中，，動點在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運動過程中最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·江蘇揚州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．22．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動點，連接CD，以CD為直角邊在CD左側作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長度的最小值為_____；△ADE面積的最大值為_____．考點五根據正方形的性質與判定求折疊問題例題：（2022·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．【變式訓練】1．（2022·上海市張江集團中學八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為________．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一個動點，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折得到△FBE．(1)如圖1，若點F落在對角線BD上，則線段DE與AE的數量關系是______；(2)若點F落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△FBE（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接DF，則∠EDF＝______°；(3)如圖3，連接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的長．考點六根據正方形的性質與判定無刻度作圖例題：（2021·江西九江·九年級期中）如圖，點E是正方形ABCD內一點，且，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中，作出邊BC的中點；(2)在圖2中，作出邊CD的中點．【變式訓練】1．（2022·江西九江·三模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在邊BC上．請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，以AE為邊，在正方形ABCD內作一個平行四邊形；(2)在圖2中，以AE為邊，在正方形ABCD內作一個等腰三角形．2．（2022·江西吉安·一模）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，以點E、F為頂點作正方形EGHF；(2)在圖②中，連接AE、BF交于點P，以點P為頂點作正方形．一、選擇題1．（2022·廣東·雷州四中八年級期中）已知正方形ABCD的周長為4，則它的對角線AC的長為（

）A．1 B． C． D．22．（2022·天津紅橋·三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，頂點C，D在第一象限，若點，點，則點C的坐標為（

）．A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）3．（2022·河南許昌·二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OB的中點，連接AE，若AB=4，則線段AE的長為（

）A． B．3 C． D．4．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應點為點E，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2022·安徽宿州·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若，，則點D到CF的距離為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·全國·八年級）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC的中點，連接AE．若AB＝2，則AE的長為_____．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，添加一個條件____________，使菱形是正方形．8．（2022·山東臨沂·八年級期中）如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，連接CE，過點E作，垂足為點F．若，，則正方形ABCD的面積為___．9．（2022·上海市張江集團中學八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5厘米，EGAD，點H在邊AD上，△CEH的面積為8平方厘米，則FG＝________厘米．10．（2022·廣東·執(zhí)信中學二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．三、解答題11．（2022··八年級階段練習）如圖，正方形ABCD中，E為邊BC上一點，連結AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．(1)若n＝1時，①求∠BAE的度數；②設BE＝x，S四邊形AGFD＝S1，S△ABE＝S2，求S1?S2．(用含x的代數式表示)(2)若CF＝mBG，求證：mn?n＝1．12．（2022·全國·八年級）如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于點G，連接DG．(1)填空，∠EDG=_________°．(2)如圖2，若正方形邊長為6，點E為BC的中點，連接BF．①求線段AG的長；②求△BEF的面積；(3)填空：當DE=DG時，若令CE=a，則BF=_________（用含a的式子表示）．13．（2022·廣東·珠海市拱北中學八年級期中）如圖1，正方形和正方形如圖所示放置，連接，，，與交于點．(1)請判斷與的數量及位置關系，并說明理由；(2)如圖2，連接，求證：是的平分線；(3)如圖3，連接，若面積為12，求的面積．14．（2022·遼寧遼陽·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點H．(1)如圖1，當點G在CD上時，請直接寫出線段BG與DE的數量關系和位置關系；(2)將正方形CEFG繞點C旋轉一周．①如圖2，當點E在直線CD右側時，求證：；②當∠DEC＝45°時，若AB＝3，CE＝1，請直接寫出線段DH的長．專題03正方形的性質與判定考點一根據正方形的性質與判定求角度考點二根據正方形的性質與判定求線段長考點三根據正方形的性質與判定求面積考點四根據正方形的性質與判定求動點中的最值問題考點五根據正方形的性質與判定求折疊問題考點六根據正方形的性質與判定無刻度作圖考點一根據正方形的性質與判定求角度例題：（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對角線、相交于點O．E、F分別為、上一點，且，連接，，．若，則的度數為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根據正方形的性質證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進而得到∠CBE的度數．【詳解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故選：C．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，熟記正方形的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點P是正方形ABCD內位于對角線AC下方的一點，∠1＝∠2，則∠BPC的度數為_____°．【答案】135【解析】【分析】由正方形的性質可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內角和定理可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案為：135．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形內角和定理，掌握正方形的性質是本題的關鍵．2．（2020·山東濱州·八年級期末）如圖，正方形中，為邊上一點，為延長線上一點，且，若，則____________．【答案】64°【解析】【分析】由正方形的性質得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS證明△BCE≌△DCF，得出對應角相等即可求出∠BEC的度數．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，∴∠DCF=90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC，∵CE=CF，∠ECF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，∴∠EFC=45°，則∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，∴∠BEC＝64°，故答案為：64°.【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．考點二根據正方形的性質與判定求線段長例題：（2021·江西九江·九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將繞點A順時針旋轉90°得到，若，則BE的長為__________．【答案】2【解析】【分析】根據旋轉的性質可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根據已知條件證明△EAG≌△EAF，設，在中，由勾股定理可以求出BE的長．【詳解】解：由旋轉可知，△ADF≌△ABG，∴，∠DAF=∠BAG，∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠BAG+∠EAB=45°，∴∠EAF=∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF(SAS)，∴GE=FE，設，則，，∴，∵CD=6，DF=3，∴，∵∠C=90°，∴在中，，即，解得，，即BE=2．故答案為：2．【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解題．【變式訓練】1．（2022·浙江溫州·三模）如圖，在正方形ABCD中，，點P在正方形內，，交邊AD于點F，，交PF延長線于點E，且，連結AP，AE．若五邊形AEDCP的面積為24，則的度數為______，PC的長為______．【答案】

45°

【解析】【分析】過C作CG⊥ED于G，即可得到正方形PCGE，可得,進而得到E、F、P、B四點在一條直線上，過A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，易證，即可得到AE平分，即，再利用五邊形AEDCP的面積為24列方程求出PC的長即可．【詳解】過C作CG⊥ED于G，過A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，連結PB∵，，，CG⊥ED∴四邊形PCGE是正方形∴,∵正方形ABCD∴,∴∴(SAS)∴∴∴E、F、P、B四點在一條直線上，∴∵AM⊥DE于M，AN⊥PE∴四邊形AMEN是矩形∴(AAS)∴∴矩形AMEN是正方形，AE平分分，∴，設，∵∴（AAS）∴∵∴∴即【點睛】本題綜合考查正方形的性質與判定、全等三角形的性質與判定、角平分線的判定通過手拉手模型構造正方形證明E、F、P、B四點在一條直線上是解題的關鍵．2．（2022·遼寧沈陽·二模）（1）問題情境：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E為射線BC上一動點，將△ABE沿AE所在直線翻折，得到△AFE，延長EF，射線EF與射線CD交于點G，連接AG．①當點E在線段BC上時，求證：DG＝FG；②當CE＝3時，則CG的長為______．（2）思維深化：在△ABC中∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高，且BD＝+1，CD＝﹣1，請直接寫出AD的長．【答案】（1）①見解析；②4或；（2）AD的長為或【解析】【分析】（1）①根據翻折得到，進而有，結合正方形性質得到，再利用全等性質即可得證；②由①可知，進而有，在中利用勾股定理求解即可；（2）結合（1）中所給的提示，構造出滿足題意的圖形，分兩種情況求解：①設正方形邊長為，則，，在中，由勾股定理可知，代值解方程可得；②設正方形邊長為，則，，在中，由勾股定理可知，代值解方程可得，從而得到AD的長為或．【詳解】解：（1）①證明：將△ABE沿AE所在直線翻折得到△AFE，，，在正方形ABCD中，，，在和中，，，；②由①中兩組全等的三角形可得，正方形ABCD中，AB＝6，，，設，則，在中，，，，則根據勾股定理得，即，解得，即，故答案為：；（2）根據題意，結合（1）可知，有兩種情況，①三角形在正方形內部，如下圖所示：已知，由（1）知，，，則，設正方形邊長為，則，，在中，由勾股定理可知，即，化簡得，解得，是正方形邊長，滿足，，即；②三角形在正方形外部，如下圖所示：已知，由（1）知，，，則，設正方形邊長為，則，，在中，由勾股定理可知，即，化簡得，解得，即綜上所述，AD的長為或．【點睛】本題考查正方形綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質、翻折的性質特征、勾股定理等知識點，讀懂題意，根據題意找到有特殊到一般題型的解題思路是解決問題的關鍵．考點三根據正方形的性質與判定求面積例題：（2021·黑龍江·訥河市第三中學九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若線段AE＝4，則四邊形ABCD的面積為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】【分析】延長CD，作的延長線于點F，構造出全等三角形，，即可得到四邊形ABCD的面積就等于正方形AECF的面積．【詳解】解：如圖，延長CD，作的延長線于點F，∵，∴，∵，∴，∵，∴四邊形AECF是矩形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴四邊形AECF是正方形，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，正方形的性質和判定，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形．【變式訓練】1．（2021·湖北·武漢第三寄宿中學八年級階段練習）如圖，已知點E為正方形ABCD外一點，連接AE、BE，∠AEB=90°，過C點作CF//AE，過D點作DF//BE，交點為F，連接EF，若AE=5，BE=4，則四邊形EBCF的面積為________．【答案】##30##30.5【解析】【分析】延長EB、FC交于點H，延長EA、FD交于點G，得到邊長為9的正方形GEHF，根據四邊形EBCF的面積=即可求解．【詳解】解：延長EB、FC交于點H，延長EA、FD交于點G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵CF//AE，DF//BE，∴四邊形GEHF是平行四邊形，∵∠AEB=90°，∴平行四邊形GEHF是矩形，∴∠AEB=∠G=∠CFD=∠H=90°，根據等角的余角相等，∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC，∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC，∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4，∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是邊長為9的正方形，∴四邊形EBCF的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．2．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）正方形ABCD的面積為【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得出結論；（2）證明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC（三線合一），即BD⊥AC，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵?ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面積＝AB2＝a2．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、正方形的判定與性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質等知識，證明四邊形ABCD為菱形是解題的關鍵．考點四根據正方形的性質與判定求動點中的最值問題例題：（2022·全國·八年級）如圖，正方形中，，動點在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運動過程中最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過點作，交的延長線于點，根據題意，首先證出，得到，，進而證出為等腰直角三角形，得到，當在上移動時，點在的角平分線上移動，當時，最短．再證得為等腰直角三角形，解這個直角三角形得，進一步再求出的最小值，從而得解．【詳解】解：過點作，交的延長線于點，∵四邊形是正方形∴∴∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴∵∴∴∴，，∴，∴∴為等腰直角三角形∴∵∴∴當在上移動時，點在的角平分線上移動，當時，最短∵∴為等腰直角三角形∴∴∴∵，，∴故選：B．【點睛】本題主要考查的是線段的最小值的問題，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，熟練掌握各種圖形的性質與判定，確定點的運動軌跡是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇揚州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．2【答案】A【解析】【分析】連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，通過證明，確定點F在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點，由三角形全等得到，從而確定點在AB的延長線上，當D、F、三點共線時，DF＋CF＝最小，通過勾股定理即可求得長度．【詳解】解：如圖，連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵ED繞點E順時針旋轉90°到EF，∴，ED＝EF，∴，又∵在中，，∴，在和中，∴∴FG＝AE，EG＝DA，∴點F在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點，∵EG＝DA，∴EG＝DA，∴EG－EB＝DA－EB，即BG＝AE，∴BG＝FG，是等腰直角三角形，，∴，∴點在AB的延長線上，當D、F、三點共線時，DF＋CF＝最小，在中，AD＝4，，∴，∴DF＋CF的最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、軸對稱性質、最短路徑，能夠將線段的和通過軸對稱轉化為共線線段是解題的關鍵．2．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是邊AB上一動點，連接CD，以CD為直角邊在CD左側作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，連接AE，則DE長度的最小值為_____；△ADE面積的最大值為_____．【答案】

【解析】【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，過C作AB的垂線交AB于F，CF即為CD=CE的最小值，然后運用勾股定理即可求得DE的最小值；當DE最小時，△ADE為等腰直角三角形，此時其面積有最大值，然后求解即可．【詳解】解：如圖：過C作AB的垂線交AB于F∴CF是CD的最小值∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝∴AB=∵CF⊥AB∴CF=1∴CD=CE的最小值為1，AF=1∴DE的最小值為∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1∴四邊形AFCG是正方形∴AF=AG=1∴當D點在F點時，△ADE的面積最大，且等腰△AGF的面積∴△ADE的面積最大值為：．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質、旋轉的性質、正方形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．考點五根據正方形的性質與判定求折疊問題例題：（2022·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．【答案】2【解析】【分析】連接AP，根據正方形的性質和翻折的性質證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據勾股定理即可解決問題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．【變式訓練】1．（2022·上海市張江集團中學八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為________．【答案】【解析】【分析】利用軸對稱的性質將邊進行轉化，再利用正方形的邊長求解即可．【詳解】解：由軸對稱可知：∴陰影部分的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了陰影部分的周長問題，解題關鍵是利用軸對稱的性質進行邊的轉化．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一個動點，連接BE，將△ABE沿直線BE翻折得到△FBE．(1)如圖1，若點F落在對角線BD上，則線段DE與AE的數量關系是______；(2)若點F落在線段CD的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出△FBE（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接DF，則∠EDF＝______°；(3)如圖3，連接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的長．【答案】(1)(2)圖見解析，75°(3)【解析】【分析】（1）根據折疊的性質和正方形的性質，求解即可；（2）先作出CD的垂直平分線MN，以B為圓點，以BA長為半徑畫弧，交MN于點F（正方形內部的點），連接BF，作的角平分線，交AD于點E，連接EF，即可，根據垂直平分線的性質和等腰三角形的性質求解即可；（3）方法一：取CD邊的中點為O，連接BO，FO，通過證明△BCO≌△BFO得到點E，F，O三點共線，設AE＝EF＝x，勾股定理求解即可；方法二：延長BF交AD于G．先證明FG＝DG，再在Rt△ABG中應用勾股定理可求解．(1)解：正方形ABCD中，，由折疊的性質可得，，∴，∴為等腰直角三角形，即，由勾股定理可得：，即，(2)解：作圖如下：則△FBE為所求的三角形，由題意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，點F在MN上，則AF=BF，由折疊的性質可得，AB=BF∴為等邊三角形，∴，為等腰三角形∴，∴；(3)解：取CD邊的中點為O，連接BO，FO，如圖：∵∠CFD＝90°∴OF＝CO＝OD＝2．∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，∴△BCO≌△BFO（SSS）．∴∠BFO＝∠BCO＝90°．∴∠EFB＋∠BFO＝180°．∴點E，F，O三點共線．設AE＝EF＝x，則DE＝4－x．在Rt△ODE中，．∴解這個方程，得．即AE的長是．方法二：延長BF交AD于G．如圖：由題意可得：AB=BF=BC∴，∴∴，∴FG＝DG，設，則AG=4-x，BG=4+x，Rt△ABG中，由勾股定理可得：，解得，設，，在Rt△EFG中，由勾股定理可得：，解得【點睛】此題考查了正方形與折疊的綜合問題，涉及了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，尺規(guī)作圖（垂直平分線和角平分線），等腰三角形的判定與性質，勾股定理等，解題的關鍵是熟練掌握并靈活應用相關性質進行求解．考點六根據正方形的性質與判定無刻度作圖例題：（2021·江西九江·九年級期中）如圖，點E是正方形ABCD內一點，且，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中，作出邊BC的中點；(2)在圖2中，作出邊CD的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接AC，BD交于O，連接EO并延長交BC于F，點F即為所求；（2）如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長交CD于H，點H即為所求；(1)解：如圖所示，點F即為所求；連接AC，BD交于O，連接EO并延長交BC于F，∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，即點C在BC的線段垂直平分線上，同理可證E在線段BC的垂直平分線上，∴EO是BC的線段垂直平分線，∴F即為BC的中點；(2)解：如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長交CD于H，點H即為所求；∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，又∵CG=CG，∴△BCG≌△DCG（SAS），∴∠BGC=∠DGC，又∵∠BGF=∠DGH，∴∠HGC=∠FGC，∵CG=CG，∠CGH=∠CGF，∴△CFG≌△CHG（ASA），∴CH=CF，∵F是BC的中點，即BC=2CF，∴BC=CD=2CH，即點H為CD的中點；【點睛】本題主要考查了正方形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質，熟知正方形的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江西九江·三模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在邊BC上．請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，以AE為邊，在正方形ABCD內作一個平行四邊形；(2)在圖2中，以AE為邊，在正方形ABCD內作一個等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接，過點與對角線的交點作交于點，則四邊形即為所求，（2）在（1）的基礎上，記CF交BD于點H，連接AH并延交CD于點M，則△ADM≌△CDF，則AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，連接EM,則△AEM即為所求．(1)如圖（1）所示，連接，過點與對角線的交點作交于點，則四邊形即為所求，(2)如圖（2）所示，等腰三角形即為所求，在（1）的基礎上，記CF交BD于點H，連接AH并延交CD于點M，，，∴，，AD=CD，△ADM≌△CDF，則AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，連接EM，則△AEM即為所求．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形全等的性質與判定，等腰三角形的判定，平行四邊形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2022·江西吉安·一模）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中，以點E、F為頂點作正方形EGHF；(2)在圖②中，連接AE、BF交于點P，以點P為頂點作正方形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接AC，BD，AC交BD于點O，連接EO，延長EO交AD于H，連接FO，延長FO交AB于G，四邊形EGHF即為所求作；（2）同（1）作出四邊形EGHF，連接CH、DG，CH交DG于點M，DG交AE于點N，CH交BF于點L，四邊形PNML即為所求作(1)解：如圖，四邊形EGHF即為所求作．；(2)解：如圖，四邊形PNML即為所求作．．【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．一、選擇題1．（2022·廣東·雷州四中八年級期中）已知正方形ABCD的周長為4，則它的對角線AC的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】先根據正方形的周長為4，求出邊長，然后根據勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：∵正方形ABCD的周長為4，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC==，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．2．（2022·天津紅橋·三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，頂點C，D在第一象限，若點，點，則點C的坐標為（

）．A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）【答案】D【解析】【分析】過點C作CE⊥x軸，垂足為E，證明△AOB≌△BEC，得到BE=AO，EC=OB，計算OE的長即可．【詳解】如圖，過點C作CE⊥x軸，垂足為E．∵四邊形ABCD是正方形，點A（0，2），B（3，0），∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，∴∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，∴△AOB≌△BEC，∴BE=AO=2，EC=OB=3，∴OE=OB+BE=2+3=5，∴點C（5，3），故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，線段與坐標的關系，熟練掌握正方形的性質，準確理解線段與坐標的關系是解題的關鍵．3．（2022·河南許昌·二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OB的中點，連接AE，若AB=4，則線段AE的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據正方形的性質求得AO=BO=2，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∴AC=BD=4，AC⊥BD，∴AO=BO=2，∵點E是OB的中點，∴EO=，在Rt△EOA中，EO=，AO=2，∴AE=，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理，解題的關鍵是熟知正方形的對角線相等且垂直平分．4．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應點為點E，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點，然后結合正方形的性質，折疊的性質，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：連接BF，則EF≥BF－BE，當點B、E、F在同一條直線上時，EF的長度有最小值，如圖由翻折的性質，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵點F為邊的中點，∴CF=2，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，最短路徑問題，解題的關鍵掌握所學的知識，正確找出線段最小值的臨界點，從而進行解題．5．（2022·安徽宿州·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若，，則點D到CF的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】點D到CF的距離為，根據正方形的性質及中位線的性質，求得的值，在利用勾股定理及直角三角形斜邊的中線可求得的值，再利用等面積法求高的方法，即即可求得答案．【詳解】解：點D到CF的距離為，四邊形ABCD是正方形，，對角線AC與BD相交于點O，F是DE的中點，是的中位線，是的中線，是的中位線，是的中位線，，，，，，，在中，，，，，，，，解得，點D到CF的距離為，故選D．【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理的應用、中位線性質、直角三角形斜邊的中線性質及三角形等面積法求高，熟練掌握等面積法求相應邊長是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·全國·八年級）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC的中點，連接AE．若AB＝2，則AE的長為_____．【答案】【解析】【分析】根據題意可知AB＝2，BE＝1，利用勾股定理即可求出結果．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝90°，∵E為BC中點，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質，勾股定理，熟練掌握正方形四邊相等、四個角為直角的性質是解題關鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，添加一個條件____________，使菱形是正方形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據菱形的性質及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內角是直角，（2）對角線相等．如∠ABC=90°或AC=BD．故答案為：AC=BD（答案不唯一）【點睛】本題考查特殊四邊形的判定，關鍵是根據菱形的性質及正方形的判定解答．8．（2022·山東臨沂·八年級期中）如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，連接CE，過點E作，垂足為點F．若，，則正方形ABCD的面積為___．【答案】196【解析】【分析】連接AE可得AE=CE，勾股定理求出EF，DF=EF，求出AD可得答案．【詳解】解：連接AE，如圖，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=EC=10，∵EF⊥AD，AF=6，∴EF=，∴DF=EF=8，AD=8+6=14，∴正方形ABCD的面積為196，故答案為：196．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．9．（2022·上海市張江集團中學八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5厘米，EGAD，點H在邊AD上，△CEH的面積為8平方厘米，則FG＝________厘米．【答案】##1.8【解析】【分析】過H作HM⊥EG于M，由四邊形ABCD是正方形，，HM⊥EG，可得四邊形AEGD、四邊形HMGD是矩形，根據△CEH的面積為8平方厘米，有EF?MH+EF?CG=8，即得EF?CD=8，可求出EF=厘米，故FG=EG-EF=厘米．【詳解】解：過H作HM⊥EG于M，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為5厘米，∴AD=CD=5厘米，∠A=∠D=90°，∵，HM⊥EG，∴四邊形AEGD、四邊形HMGD是矩形，∴EG=AD=5厘米，MH=DG，∵△CEH的面積為8平方厘米，∴EF?MH+EF?CG=8，∴EF?（MH+CG）=8，∴EF?（DG+CG）=8，即EF?CD=8，又CD=5，∴EF=，∴FG=EG-EF=（厘米），故答案為：．【點睛】本題考查正方形性質及應用，解題的關鍵是根據△CEH的面積為8平方厘米，列出關于EF的方程，從而求得EF的長度．10．（2022·廣東·執(zhí)信中學二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．【答案】5【解析】【分析】以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，由“SAS”可證△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂線段最短可得當EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，∴當EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，

∵∠EAH＝90°?∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短，含30°直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．三、解答題11．（2022··八年級階段練習）如圖，正方形ABCD中，E為邊BC上一點，連結AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．(1)若n＝1時，①求∠BAE的度數；②設BE＝x，S四邊形AGFD＝S1，S△ABE＝S2，求S1?S2．(用含x的代數式表示)(2)若CF＝mBG，求證：mn?n＝1．【答案】(1)①22.5°；②x2(2)見解析【解析】【分析】（1）①連接GE，由正方形ABCD得∠B＝90°，由n＝1可得BG＝BE，可得出∠BGE＝45°，根據線段垂直平分線的性質可得AG＝GE，由等邊對等角得∠BAE＝∠AEG，由三角形外角的性質即可求解；②過點F作FM⊥AB于點M，則四邊形AMFD是矩形，證明△ABE≌△FMG，根據全等三角形的性質得MG＝BE＝GB＝x，根據勾股定理可得GE＝AG＝x，求出AM＝DF＝x?x，用含x的式子表示出S1，S2，即可得出S1?S2；（2）首先由CF＝mBG，BG＝nBE得CF＝mnBE，則CF?BG＝mnBE?nBE＝（mn?n）BE，過點G作GN⊥CD于點N，證明△GFN≌△FGM，可得△GNF≌△ABE≌△FMG，根據全等三角形的性質得BE＝FN，可得CF?BG＝CF?CN＝FN＝BE，即可求解．(1)解：①如圖，連接GE，∵BG＝nBE，n＝1，∴BG＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴∠BGE＝45°，∵AE的垂直平分線交AB于G，∴AG＝GE，∴∠BAE＝∠AEG，∵∠BGE＝∠BAE+∠AEG＝45°，∴2∠BAE＝45°，∴∠BAE＝22.5°；②如圖，過點F作FM⊥AB于點M，則四邊形AMFD是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，∴MF＝AD＝AB，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE的垂直平分線交AB于G，∴∠BAE+∠FGM＝90°，∴∠AEB＝∠FGM，∵∠B＝∠FMG＝90°，AB＝FM，∴△ABE≌△FMG（AAS），∴MG＝BE＝GB＝x，∴GE＝AG＝x，∴AM＝DF＝x?x，∴S1＝S四邊形AGFD＝AD（DF+AG）＝（x+x）（x?x+x）＝（3+）x2，S2＝S△ABE＝AB?BE＝（x+x）?x＝（1+）x2，∴S1?S2＝（3+）x2?（1+）x2＝（+??）x2＝x2；(2)證明：∵CF＝mBG，BG＝nBE，∴CF＝mnBE，∴CF?BG＝mnBE?nBE＝（mn?n）BE，如圖，過點G作GN⊥CD于點N，則四邊形GNFM是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，∴MG＝NF，MF＝NG，GN∥MF，∴CN＝BG，∴CF?BG＝CF?CN＝NF，∵GN∥MF，∴∠NGF＝∠MFG，∵∠GNF＝∠FMG＝90°，GF＝FG，∴△GFN≌△FGM（AAS），∵△ABE≌△FMG，∴△GNF≌△ABE≌△FMG，∴BE＝MG＝NF，∴CF?BG＝CF?CN＝FN＝BE，∵CF?BG＝（mn?n）BE，∴mn?n＝1．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，三角形的外角性質、等腰三角形的性質、矩形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質等；解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，靈活運用正方形的性質等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．12．（2022·全國·八年級）如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于點G，連接DG．(1)填空，∠EDG=_________°．(2)如圖2，若正方形邊長為6，點E為BC的中點，連接BF．①求線段AG的長；②求△BEF的面積；(3)填空：當DE=DG時，若令CE=a，則BF=_________（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)①；②(3)【解析】【分析】（1）根據正方形的性質可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根據翻折前后兩個圖形能夠完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”證明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，從而得解；（2）①設AG=x，則BG=6-x，根據勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的長；②先計算△BEG的面積，根據同高三角形面積的關系可得：S△BEF=；（3）根據等腰三角形三線合一的性質可得F是EG的中點，由（1）和折疊得：AG=FG=EF=CE=a，根據勾股定理可得結論．(1)解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△D